Şifre Sıfırlama

Üstel, Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

Üstel Denklemler

TANIM: Tabanı birden farklı olan ve üs olarak bilinmeyen bulunduran denklemlere üstel denklemler denir.

Örneğin;

\(3^{2x}=9\)

\(4^{2x}+5^{x}+3=9\)

gibi denklemler üstel denklemlerdir. Bu konumuzda üslü sayıların kuralları kullanılıyor.

ÖRNEK:

Aşağıdaki üstel fonksiyonların çözüm kümelerini bulunuz.

A) \(6^{3x}=216\)

B)\(2^{2x+3}=128\)

C)\((0,25)^{x-1}=4\)

ÇÖZÜM:

A)\(6^{3x}=216 \)

   \(216=6^3\)

    \(6^{3x}=6^3\)

       \(x=1\)

B)\(2^{2x+3}=128\)

       \(128=2^7\)

    \(2^{2x+3}=2^7\)

 \(2x+3=7\)

         \(2x=4\)

           \(x=2\)

C)\((0,25)^{x-1}=4\)

    \((0,25)^{x-1}=({1 \over 4})^{x-1}\)

         \(\)\(({1 \over 4})^{x-1} = 4 \)

         \(({1 \over 4})^{x-1} = ({1 \over 4})^{-1}\)

            \(x-1=-1\)

                    \(x=0\)

 

\(3^{2x}=16\) gibi aynı tabanda yazılmayan üstel fonksiyonları şu şekilde çözeriz

    1) Üstel ifade yalnız bırakılır.

    2) Verilen üstel ifadenin tabanında her iki tarafın logaritması alınarak bilinmeyen aşağı indirilir.

    3) Bilinmeyen yalnız bırakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

Örneğin; \(3^{2x}=16\) denkleminde her iki tarafın 3 tabanında logaritması alınır.

\(log_33^{2x}=log_316\)

\(log_33^{2x}=2x. log_33=2x.1=2x\) 

\(2x=log_316\)

\(x={log_316 \over 2} = log_316^{1 \over 2}= log_3 \sqrt16=log_34\)

 

Logaritmik Denklemler

TANIM: Logaritmada bilinmeyen bulunan denklemlere logaritmik denklemler denir. \(a > 0, a≠1\) , \(f(x)>0 \) ve \(g(x)>0 \) olmak üzere \(log_af(x)=log_ag(x)\) veya \(log_af(x)=b\) gibi denklemler logaritmik denklemlerdir.

     1) Logaritmik denklemlerde tabanlar aynı ise aşağıdaki gibi işelm yapılır

\(log_af(x)=log_ag(x) \to f(x)=g(x) \) olur.

ÖRNEK:

\(log_2((x+1).(x+2))= log_2(x+1)\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Logaritmada tabanlar aynı olduğundan;

\((x+1)(x+2)=x+1\)

    \(x^2+3x+2=x+1\)

    \(x^2+2x+1=0\)

         \((x+1)^2=0\)

                   \(x=-1\)

     

     2) \(f(x)>0\) olmak üzere \(log_af(x)=b\) denkleminin çözüm kümesini bulurken;

            1) Logaritma fonksiyonu yalnız bırakırız.

            2) Denklem üstel denkleme dönüştürürüz.

            3) Denklem çözülerek çözüm kümesini \(f(x)>0\) yapan çözümleri alırız.

ÖRNEK:

\(log_3(x+1)=4\) logaritmik fonksiyonunun çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(3^{log_3(x-1)}=3^4\)

\(3^{log_3(x-1)}=(x-1)^{log_33}=x-1\)

\(x-1=3^4=81\)

\(x=82\)

 

Üstel Eşitsizlikler

TANIM:  \(a > 0, a≠1\) olmak üzere üssü bilinmeyen olan, \(a^{f(x)} > a^{g(x)},\)      \( a^{f(x)} < a^{g(x)}, \)    \(a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}, \)      \(a^{f(x)} ≤ a^{g(x)},\)  \(a^{f(x)}>b, \)   \(a^{f(x)}≤b, \)   \(a^{f(x)}≥b \), \(b>a^{f(x)}\) şeklindeki eşitsizlikler üstel eşitsizlikledir.

NOT: \(a > 1\) için \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) ise \(f(x) < g(x)\) olur.  \(0 < a < 1\) için \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) ise \(f(x) > g(x)\) olur

 ÖRNEK:

Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.

A) \(8^{x-1}<4^{2x-3}\)      B)\(({3 \over 5})^{x}<({5 \over 3})^{2x-3}\)     C)\(\pi^{3x}≥\pi^{x-1}\)

ÇÖZÜM:

A) \(8^{x-1}<4^{2x-3}\)

     \((2^3)^{x-1}<(2^2)^{2x-3}\)

      \(2^{3x-3}<2^{4x-6}\)

      \({3x-3}<{4x-6}\)

      \(x>3\)

     ÇK= (3, ∞)

B)\(({3 \over 5})^{x}<({5 \over 3})^{2x-3}\)

    \(({3 \over 5})^{x}=({5 \over 3})^{-x}\)

    \(({5 \over 3})^{-x}<({5 \over 3})^{2x-3}\)

    \(-x<2x-3\)

     \(3<3x\)

     \(x>1\)

     ÇK= (1, ∞)

C) \(\pi^{3x}≥\pi^{x-1}\)

    \({3x}≥{x-1}\)

    \({2x}≥{-1} \)

    \({x}≥{-1\over 2} \)

    ÇK= [\(-1\over 2\), ∞)

Logaritmik Eşitsizlikler

TANIM: İçerisinde logaritma fonksiyonu bulunan \(a > 0, a≠1\)\(f(x)>0 \) ve \(g(x)>0\) olmak üzere \(log_af(x)>log_ag(x)\) , \(log_ag(x)>log_af(x)\),   \(log_af(x) ≥log_ag(x)\),   \(log_af(x) ≤log_ag(x)\),  \(log_af(x)>b\)

\(b>log_af(x)\),  \(log_af(x) ≥b\),    \(log_af(x) ≤b\) şeklindeki eşitsizliklere logaritmik eşitsizlikler denir.

 

\(a > 0, a≠1\)\(f(x)>0 \) ve \(g(x)>0\)  olmak üzere 

\(a>1\) için;

\(log_af(x)>log_ag(x) \to f(x)>g(x)\)

\(log_ag(x)>log_af(x)\to g(x)>f(x)\)

\(log_af(x)≥log_ag(x) \to f(x)≥g(x)\)

\(log_af(x)≤log_ag(x) \to f(x)≤g(x)\)

 \(1>a>0\)  için;  \(log_af(x)>log_ag(x) \to f(x)

\(log_ag(x)>log_af(x)\to g(x)

\(log_af(x)g(x)\)

\(log_af(x)≥log_ag(x) \to f(x)≤g(x)\)

\(log_af(x)≤log_ag(x) \to f(x)≥g(x)\)

 

ÖRNEK:

\(log_3(log_{1 \over 2}3x+1)<1\) eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(1=log_33\) olduğundan 

\(log_3(log_{1 \over 2}3x+1)  olur ve 

\(log_{1 \over 2}3x+1<3\)  olur. Daha sonra, 

\(3=log_{1 \over 2}({1 \over 2})^3\) olduğundan 

\(log_{1 \over 2}3x+1 olur.

\(3x+1>({1 \over 2})^3 \)

\(3x+1>{1 \over 8}\)

\(3x>-{7 \over 8}\)

\(x>-{7 \over 24}\)

ÇK= (\(-{7 \over 24}\), ∞)

 

Üstel fonksiyonlar İle Modelleme

TANIM: n değeri ile başlayan ve t zamandaki değişim miktarı y ile gösterilen \(y=n.e^{kt}\) üstel değişim bağıntısıdır. Bu bağıntıda k > 0 ise üstel büyüme, k < 0 ise üstel bozunma denir. k değişim oranı sabitidir.

 

ÖRNEK:
Bir biyolog harhangi bi bakteri türünü uygun bir büyüme ortamına koyarak gözlemliyor. 100 bakteri 8 saat sonra 480 bakteri olarak ölçen biyolog 12 saat sonra yaklaşık kaç bakteri bulmuştur.

ÇÖZÜM:

Formülden ilerleyelim,

başlangıçtaki bakteri sayısı n = 100

t = 8 saat sonraki bakteri sayısı y = 480 olduğundan 

\(y=n.e^{kt}\) formülünde herşeyi yerine koyarsak;

\(480=100. e^{8.k}\) olur 

\(480=100. e^{8.k} \to e^{8.k} =4,8\)

\(ln e^{8.k} = ln4,8\)

\({8.k} = ln4,8\)

\(k={ln4,8 \over 8}≅0,196\)

büyüme sabitini bulduk. Şimdi 12 saat sonra kaç bakteri olacağını bulalım

\(y=n.e^{kt}\)

\(y=100. e^{12.(0,196)}=1051\)

bakteri bulunur.

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

15 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 20.07.2020 22:29
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:19

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!