Şifre Sıfırlama

Üstel Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyon

Üstel fonksiyonlara başlamadan önce üslü sayılar ile ilgili özellikleri hatırlayalım.

\( {a,b \in R} \) ve \( {m,n \in Z ^ { + }} \) için

  • \(a ^ { n }=a.a.....a\) (n tane a'nın çarpımı)

  • \(a ^ { n }.a ^ { m }=a ^ { n+m }\)

  • \((a ^ { n }) ^ { m }=a ^ { n.m }\)

  • \({a ^ { n } \over a ^ { m }}=a ^ { n-m }\) (a≠0)

  • \(a ^ { -n } ={1 \over a ^ { n }}\)

  • \(a ^ { n }.b^ { n } =(a.b)^ { n }\)

  • \(({{a \over b}) ^ { n } }={a ^ {n } \over b ^ {n }}\)

  • \({a ^ { n \over m } }= \sqrt [m] { a ^ n } =(\sqrt [m] { a })^ n\)

 

a, 1 den farklı bir reel sayı olsun. \(f:R\to R^ +\)\(f(x)=a^ x\) şeklinde tanımlanan fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. a üstel fonksiyonun tabanı, x üs olarak adlandırılır.

 

Herhangi bir üstel fonksiyon inceleyelim. Örneğin; bir bakteri çeşidi, 20 dakikada bir ikiye bölünüyor olsun. O halde 1 bakteriden 1 saat sonra kaç bakteri olacağını bulalım. 1 saatte toplam 3 bölünme gerçekleşeceğinden 

\(1\to 2 \to 4 \to 8\) şeklinde olur. Formülize edecek olursak \(2^ 3\) şeklinde yazabiliriz. Formüldeki "2" her seferde ikiye bölünmesinden dolayı yazılır.  Üs olan "3" ise bölünme sayısıdır.

ÖRNEK:

Aşağıdaki fonksiyonların üstel fonksiyon olup olmadıklarını inceleyiniz.

A) \(f(x)=a^ x\)   B)  \(g(x)=x^ a\)   C) \(h(x)=a^ n\)   D)  \(d(x)=2x\) 

ÇÖZÜM:

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için fonksiyonun üssünün değişken olması gereklidir.

 f fonksiyonu şıkkı üstel fonksiyondur.

g fonksiyonu üstel fonksiyon değildir.

h fonksiyonunda üs olan "n" sabit sayı olduğundan üstel fonksiyon değildir.

d fonksiyonu üstel fonksiyon değildir.

 

Üstel Fonksiyonun Grafiği

Üstel fonksiyonlarda, tanımdan gördüğümüz üzere \(f(x)=a^x\) fonksiyonunda "a" pozitif sayı olduğundan f fonksiyonunun görüntü kümesi \(R^+\) dır.

Örneğin \(f(x)=2^x\) fonksiyonun grafiğini çizelim;

NOT: Üstel fonksiyonlarda \(f:R \to R^+, f(x)=a^x \) fonksiyonunda;  a > 1 için f artan fonksiyon, 0 < a < 1 için f azalan fonksiyon, a = 1 için f sabit fonksiyondur.
UYARI: Grafiklerde soldan sağa doğru y değeri artıyorsa fonksiyon artandır, azalıyorsa fonksiyon azalandır

 

ÖRNEK:

\(f:R \to R^+, f(x)=a^x \) üstel fonksiyonunda birebirlik ve örtenliği inceleyiniz.

ÇÖZÜM:
Üstel fonksiyonlarda bildiğimiz gibi a'nın 1'den büyük olduğu ve 0 ile 1 arasında olduğu grafik biçimleri farklıdır bu sebeple iki farklı grafik üzerinden inceleyelim.

Birebirlik ve örtenlik incelemek için fonksiyonlar konusunda işlediğimiz yatay doğru testini kullanacağız.

Yatay doğru testinde x eksenine paralel doğrular çizilir ve grafiği kesiş şekli incelenir. Eğer grafiği her bir doğru tek noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, aksi halde birebir değildir. Eğer yatay doğruların fonksiyonu kesmediği yer var ise fonksiyon örten değildir, örten olması için yatay doğruların her biri grafiği en az bir noktadan kesmeli. 

 Görüldüğü üzere \( f(x)=a^x \) fonksiyonu birebir ve örtendir. 

\( f(x)=a^x \) fonksiyonu a > 1 için a değeri büyüdükçe grafiğin kolu y eksenine yaklaşır.

 \( f(x)=a^x \) fonksiyonu 0 > a > 1 için a değeri büyüdükçe grafiğin kolu y ekseninden uzaklaşır.

 

 

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

13 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 23.06.2020 19:04
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:52

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!