Şifre Sıfırlama

Üslü İfadeler ve Denklemler

Üslü İfade İçeren Denklemler

Üslü İfadeler

\(x\in R\) ve \(n\in Z^+\) olmak üzere x sayısının kendisinin n defa çarpımı şeklinde gösterilir.\(x^n\) sayısı \(x\)'in \(n.\) kuvveti şeklinde okunur. Burada \(x\)'e taban \(n\)'ye üs denir.

Üslü Sayıların Özellikleri

1) \(0\)'dan farklı olan tüm sayıların \(0\). kuvveti 1'e eşittir.Örnek olarak \(2^0=1\)\((-3)^0=1\)(eğer\(-3\) paranetez içerisinde olmaz ise sonuç \(-1\) olur) bu sayılar gösterilebilir.

2) Üssü negatif olan üslü sayılarda üssü pozitif yapmak için tabanda bulunan sayıda bulunan pay ve payda yer değiştirilir. Örnek olarak  \((\cfrac{3}{2})^{-2}\) sayısı \((\cfrac{2}{3})^2\) sayısına eşittir.

3) Tabanları eşit olan iki veya daha fazla üslü ifade çarpıldığı zaman taban aynen kalır üsler toplanıp ortak bir kuvvet olarak yazılır. \(5^2.5^3.5^4=5^{2+3+4}=5^9\) işlemi buna örnek olarak verilebilir.

4) Bir üslü sayının da üssü alındığı zaman taban sayısının üzerinde bulunan sayılar çarpılır. Örneğin \((2^2)^3\) sayısısı \(2^{2.3}=2^6\) sayısına eşittir.

5)(\(-1\)) sayısının çift kuvvetleri \(+1\) tek kuvvetleri ise \(-1\)'dir.

6)Tabanları eşit olan iki üslü ifadeler ile bölme işlemi yaparken payın üssünden paydanın üssü çıkarılıp ortak üs olarak yazılır ayrıca tabanda bulunan sayı \(0\)'dan farklı olmak koşulu ile. Örnek olarak \(\cfrac{7^5}{7^2}=7^{5-2}=7^3\) verilebilir.

7)İki üslü sayının üsleri eşit fakat tabanları farklı ise tabanlar çarpılıp ortak tabana yazılır ve üs aynen kalır. \(3^5.7^5=(3.7)^5=21^5\) bu işleme örnektir.

8) İki üslü ifadede üsler eşit fakat tabanlar farklı ise bölünen sayının tabanı paya bölen sayının tabanı ise paydaya yazılarır ve üs aynen kalır. \(\cfrac{7^5}{3^5}=(\cfrac{7}{3})^5\) işlemi örnek olarak verilebilir.

9)Üslü ifadelerin bulunduğu toplama yada çıkarma işlemlerini yaparken ortak paranteze alma metodunu kullanmamız gerekecektir. Paranteze alma işlemi yaparak oluşan katsayılar arasında toplama yada çıkarma işlemi yapılarak işlemler bir sonuca ulaşabilir. Örneğin \(8.5^4+3.5^4=5^4(8+3)=11.5^4\) işeminde \(8.5^4\) ve \(3.5^4\) ifadelerini \(5^4\) ortak parantezine alıp sonra parantez içerisinde bulunan sayılar ile gereken işlemi yaptık.

NOT: Paranteze alma metodu yaparken ilk önce verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır. Sonra oluşan çarpanlardan ortak olanları parantez dışında çarpım durumunda bırakılır ve geri kalan çarpanlar parantez içinde toplanır yada çıkarılır.

ÖRNEK

\(2^5.3^5-\cfrac{6^4}{2^4}=?\) işleminin sonucu kaçtır?

ÇÖZÜM

\(2^5.3^5=(2.3)^5=6^5\) ve \(\cfrac{6^4}{2^4}=(\cfrac{6}{2})^4=3^4\) olduğundan dolayı \(2^5.3^5-\cfrac{6^4}{2^4}=6^5-3^4\)'tür.\(6^5\)'in çarpanlarına ayrılmış şekillerinden birisi \(6^5=3^4.3.2^5\)'tir. O halde ifademizin yeni şekli \(3^4.3.2^5-3^4\)'tür. Bu ifadeyi \(3^4\) parantezine alacak olursak \(3^4(3.2^5-1)=3^4.(3.32-1)=3^4.95\) olarak bulunur.

 

Üslü Denklemler

TANIM: Kısaca üslü ifadeler içeren denklemlere üslü denklemler denir.

Üslü ifadeler içeren denklemlerin çözümlerini yaparken bazı durmlar için yapılabilecek çözümler şöyledir:

1) Herhangi bir k sayısı -1,0,1 sayılarından farklı olmak koşulu ile \(k^x=k^y\) ise \(x=y\) olmak zorundadır. Yani üslü ifadeler ve bu ifadelerin tabanları eşitse üsleri de eşit olmak zorundadır.

2) k ve L  \(0\) ve \(1\)'den farklı olmak koşulu ile üsleri aynı olan iki ifade birbirine eşitse üst çift olduğunda tabanda bulunan sayıların mutlak değerleri; eğer üsler tek ise taban sayıları da birbirine eşit olmak zorundadır. Yani \(k^m=L^m\) ise olmak zorundadır.

3) n,y,a,b\(\neq\)\(0\) ve a,b\(\neq\)\(1\) olmak üzere ise \(\cfrac{m}{n}=\cfrac{x}{y}\)'dir.

ÖRNEK

\((3x+4)^{x^2-4}=(2-x^2)^{x-2}\) denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

Bu denklemdeki eşitliğin sağlanması için ya tabanda bulunan ifadelerin birbirine eşit olması gerekir yada kuvvetleri aynı sayı ile  \(0 \)'a eşitlemeliyiz. Tabanda bulunan ifadelerin eşit olması için gerekli olan x değerleri \(3x+4=2-x^2\) denkleminin çözüm kümesidir. Bu denklemdeki tüm ifadeleri denklemin soluna atarsak \(x^2+3x+2=0\) elde ederiz. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıracak olursak \(x^2+3x+2=(x+2).(x+1)=0\) ve buradan \(x=-1\) ve \(x=-2\) olur. Sonra üslere bakacak olursak \(x^2-4=0\) ve \(x-2=0\) olmalıdır. \(x^2-4=0\) ise \(x=2\) ve \(x=-2\)'dir. \(x-2=0\) ise \(x=2\)'dir. Buradan \(2\) sayısının iki üssü de \(0\) yaptığını görüyoruz. O halde aradığımız x değerleri \(-1,-2,2\)'dir.

 

Köklü İfade İçeren Denklemler

Köklü İfadeler

\(a\in R\) ve \(n\geq2\) olmak koşulu ile \(a=x^n\) denklemini sağlayan x reel sayılarına \(a\) sayısının \(n.\) dereceden kökleri denir. \(a=x^n\) ise \(x=a^{\cfrac{1}{n}}\)=\(\sqrt[n]{a}\)'dır. Benzer şekilde \(x^n=a^m\) ise \(x=a^{\cfrac{m}{n}}\)=\(\sqrt[n]{x^m}\)'dir.

NOT: \(\sqrt[n]{x^m}\) ifadesinde \(x\) sayısının bir reel sayı ifade etmesi için ya \(n\) sayısının tek yada \(n\) çift ise \(x^m\)'nin \(0\)'dan büyük yada eşit olması gerekmektedir.

ÖRNEK

\(\sqrt{x-4}+\sqrt{7-x}\) köklü ifadeler içeren ifadenin sonucu bir reel sayı ise \(x \)'in alabileceği değerlerin toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM

Verilen ifadelerde köklerin dereceleri çift olduğu için bu ifadelerin reel sayı belirtmesi için gereken şey kök içinde bulunan sayıların \(0\)'dan büyük yada eşit olması gerekir. O halde \(x\)'in alabileceği değerler \(x-4\geq0\) ve \(7-x\geq0\) ifadelerinin ortak çözümüdür.\(x-4\geq0\) ise \(x\geq4\) 'tür ve \(7-x\geq0\) ise \(x\leq7\) olur. Yani aradığımız sayılar \(7\)'den küçük yada eşit ve \(4\)'ten büyük yada eşit olmak zorundadır. O halde x değerlerimiz \(4,5,6,7\)'dir ve bunların toplamı \(4+5+6+7=22\)'dir.

NOT: \(n\) sayısı \(2\)'den büyük tamsayılar ve \(a\)'da bir reel sayı olmak koşuluyla \(\sqrt[n]{a^n}\) ifadesinde \(n \) tek bir sayı ise ifade \(a\)'ya eğer çift ise \(|a|\)'ya eşittir. Örneğin \(\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2\) iken \(\sqrt[4]{(-2)^4}=2\)'dir. 

Köklü sayıların (örneğin \(\sqrt[n]{a}=(a)^{\cfrac{1}{n}}\) bu şekildeki) düşünüldüğünde aynı zaman da üslü sayıdır. Buna dayanarak şu özellikler verilebilir:

1) n \(2\)'den büyük tamsayı olmak koşulu ile \((\sqrt[n]{a})^n=(a^{\cfrac{1}{n}})^n=a^{\cfrac{1}{n}.n}=a\)'dır.

2) \(x\in R+,a\geq0,n\geq2\) olmak koşulu ile \(x.\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{x^n.a}\)'dır.

3)\(n\geq2,a\geq0,{m,n}\in Z^+\) olmak koşulu ile \((\sqrt[n]{a})^m=(a^{\cfrac{1}{n}})^m=a^{\cfrac{1}{n}.m}=a^{\cfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)'dir.

4)\(x,y,z\in R,n\in Z^+,n\geq2,a\geq0\) olmak koşulu ile \(x\sqrt[n]{a}-y\sqrt[n]{a}-z\sqrt[n]{a}=(x-y-z).\sqrt[n]{a}\)'dır. Yani köklü ifadelerle toplama yada çıkarma işlemi yapılırken köklü ifadeler eşitse köklerin önünde bulunan katsayılar arasında işlem yapılıp köklü ifade aynen kalır.

5) Köklü ifadeler içeren çarpma yada bölme işlemlerinde köklü ifadelerin derecesi eşitse işlemler kök içerisinde yapılıp kökün derecesi değişmeden kök içerisine yazılır.Yani \(a,b,n\in Z^+,n\geq2\) olmak koşulu ile \(\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}\)'dir.

6) Köklü ifadelerde kökün içerisindeki ifadenin derecesi ile kökün derecesi aynı pozitif tamsayıya bölünüp yada çarpılılabilir. Bu işlem sonuç olarak bir şey değiştirmez sadece bazı durumlarda işlem kolaylığı sağlar. Yani \(m,n\in Z^+,a\geq0,n\geq2\) olmak koşulu ile \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n.r]{a^{m.r}}\)'dir.

7) Bir irrasyonel sayının eşleniği o sayı ile çarpıldığında bir rasyonel sayı elde edilen sayıdır. Köklü rasyonel ifadeler de paydayı kökten kurtarmak için o ifadenin payı ve paydası, payda da bulunan ifadenin eşleniği ile çarpılır. Örneğin \(a\geq b\geq0\) olmak üzere \(\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) ifadesinin pay ve paydasını, paydasında bulunan \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) ifadesinin eşleniği olan \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) ile çarptığımızda \(\cfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}).(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}).(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\cfrac{a-2.\sqrt{a.b}+b}{a-b}\)'dir.

8)\(x,y,a,b\)  \(0\)'dan farklı reel sayılar ve \(x=a+b,y=a.b\) olmak üzere \(\sqrt{x\pm2\sqrt{y}}\) şeklindeki ifadelerin eşiti \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\) şeklindedir. Örneğin \(\sqrt{6+2\sqrt{8}}=\sqrt{2}+\sqrt{4}\)'dir. Örnekteki duruma dikkat edilirse  \(y\) değerine karşılık gelen \(8\)\(4\) ve \(2\)'nin çarpımı ayrıca \(x\) değerine karşılık gelen \(6\) ise \(4\) ve \(2\)'nin toplamıdır. 

9) Kök içerisinde bulunan ve elemanları çarpım durumunda bulunan köklü ifadelerde yani \(\sqrt[m]{a.\sqrt[n]{y.\sqrt[k]{z}}}\) şeklindeki ifadelerde şu işlem yapılabilir:

\(\sqrt[m]{a.\sqrt[n]{y.\sqrt[k]{z}}}=\sqrt[m.n.k]{a^{n.k}.y^k.z}\) şeklinde bir eşitlik yazılabilir bunun sebebi ise şöyle açıklanabilir: 

Kök içerisinde bulunan ifadeler çarpım durumunda olduğundan dolayı ifademiz \(\sqrt[m]{a}.\sqrt[m]{\sqrt[n]{y}}.\sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[k]{z}}}\) çarpanlarına ayrılmış şekilde yazılabilir.\(\sqrt[m]{a}\) ifadesini \(z \) nin bulunduğu yere taşıyabilmek için üssünü \(n.k\) ile çarpıp bölmemiz gerekir(\(\sqrt[m]{a}=a^{\cfrac{1}{m}}=a^{\cfrac{n.k}{m.n.k}}=\sqrt[m.n.k]{a^{n.k}}\)(6. özellikten dolayı yapılabilir)'dir. Aynı işlem \(y\)'nin bulunduğu ifade için de yapılabilir. Tüm işlemler yapıldıktan sonra iddia ettiğimiz ifadeye ulaşılacaktır.

ÖRNEK

\(\sqrt[3]{2^4\sqrt[3]{2^2}}=?\) işleminin sonucu kaçtır?

ÇÖZÜM

Soruda verilen ifade \(\sqrt[3]{2^4\sqrt[3]{2^2}}=\sqrt[3]{2^4}.\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^2}}\) şeklinde yazılabilir. Bu ayrılan kısımlar \(\sqrt[3]{2^4}=2^{\cfrac{4}{3}}\) ve \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{2^2}}=((2^2)^{\cfrac{1}{3}})^{\cfrac{1}{3}}=(2)^{2.\cfrac{1}{3}.\cfrac{1}{3}}=2^{\cfrac{2}{9}}\) şeklinde yazıabilir. Bu elde ettiğimiz iki ifadenin çarpımı bize sorunun cevabını verecektir. Yani sonuç \(2^{\cfrac{4}{3}}.2^{\cfrac{2}{9}}=2^{\cfrac{14}{9}}=\sqrt[9]{2^{14}}\)'dur. 

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

57 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 14.07.2020 11:49
Son Güncelleme: 12.11.2020 09:40

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!