Şifre Sıfırlama

Üçgenlerde Temel Kavramlar

Üçgende Açı ve Özellikleri

Düzlemde başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşmesiyle oluşan açıklığa açı denir.Buradaki açıyı oluşturan ışınlara açının kolları, ortak noktaya da açının köşesi denir.

Açılar adlandırılırken köşe ve açının kolları üzerindeki noktalar kullanılır.
Örneğin yukarıdaki açı \(\widehat{BAC}\) , \(\widehat{CAB}\)  veya \(\widehat{A}\) şeklinde adlandırılır.

NOT: Saat yönü pozitif, saat yönünün tersi negatif yönlü olarak adlandırılır.

 

Tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece (\(1°\)) denir.

BC yayı tam çember yayının 360'ta biridir.

 

AÇI ÇEŞİTLERi

Dar açı ölçüsü   \(0°<\widehat{BAC}<90°\) olan açılardır.

Dik açı ölçüsü \(90°\) olan açılardır.

Geniş açı ölçüsü   \(90°<\widehat{BAC}<180°\) olan açılardır.

 

Doğru açı ölçüsü \(180°\) olan açılardır.

Tam açı ölçüsü \(360°\) olan açılardır.

Tümler açılar birbirlerini \(90°\) ye tamamlayan açılardır.
\(\widehat{EOG}=90°\) olmak üzere \(a+b=90°\) olur ve 
\(a \)' nın tümleyeni \(b\)
\(b\)' nin tümleyeni \(a\) dır.

Bütünler açılar birbirlerini \(180°\) ye tamamlayan açılardır.
A ,O,B doğrusal olmak üzere  \(a+b=180°\) olur ve 
\(a\)' nın bütünleyeni \(b\)
\(b\)' nin bütünleyeni \(a\) dır.

ÖRNEK:

Tümler iki açıdan büyük açı küçük açının 2 katı olduğuna göre küçük olan açıyı bulunuz.

ÇÖZÜM:

Tümler açıların birbirlerini \(90°\)ye tamamlayan açılar olduğunu söylemiştik.

Şimdi  bilinmeyen küçük açıya \(x\) dersek büyük açı \(2x\) olur.

Tümler açıların ölçüleri taoplamı \(90°\) olduğundan 
\(x+2x=90°\)

\(3x=90°\) , \(x=30°\) dir. Küçük olan açı \(30°\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki şekilde H,O,I noktaları doğrusaldır. x, y ve z açıları  sırasıyla 1,2,3 sayıları ile doğru orantılı olduğuna göre z açısının bütünlerinin ölçüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

x, y ve z açıları  sırasıyla 1,2,3 sayıları ile doğru orantılı olduğundan

\(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=k\) dir. Buradan  \(x=k \) ,\(y=2k\) \(z=3k\)  ve \(x+y+z=180°\) olduğundan

\(k+2k+3k=180°\)⇒ \(6k=180°\) ve \(k=30°\) olur.

\(z=3k\) olduğundan  \(z=3.30°=90°\)  

z açısının bütünleri ise \(180°-90°=90°\) olarak bulunur.

 

AÇIORTAY

 

Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açıortay denir. Yukarıdaki şekilde 
\([OB\) , AOC açısını iki eş açıya böldüğünden açıortaydır.

\(m(\widehat{AOB})=m(\widehat{BOC})\)

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki şekilde G,O,K doğrusal ve \([OJ\), IOK açısının ; \([OH\), GOI  açısının açı ortayı olduğuna göre HOJ açısının ölçüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

\([OJ\)  açıortay olduğundan \(m(\widehat{IOJ})=m(\widehat{JOK})=x\)  ve   \(m(\widehat{IOH})=m(\widehat{HOG})=y\)  olarak alırsak
G,O,K doğrusal olduğundan \(x+x+y+y=180°\) yazılır. Buradan 
\(m(\widehat{HOJ})=x+y=90°\) olur.

 

 

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

 

NOT:
\(d_1//d_2\) ve \(d_3\) doğrusu bu doğruları kesendir.
\(a\) ile c ,  b ile d , f ile h , e ile g  ters açılar olup ölçütleri eşittir.
d ile e , c ile h  iç ters açılar olup ölçüleri eşittir.
b ile g , \(a\) ile f  dış ters açılar olup ölçüleri eşittir.
h ile \(a\) , g ile d , b ile e , f ile c  yöndeş açılar olup ölçüleri eşittir.
h ile d  karşı durumlu açılardır ve ölçüleri toplamı  \(180°\) dir.  \(h+d=180°\)
e ile c  karşı durumlu açılardır ve ölçüleri toplamı  \(180°\) dir.  \(e+c=180°\)

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki şekilde \(d_1//d_2\) ve  \(d_3//d_4\) 

\(m(\widehat{MTK})=5x+40°\) 

 \(m(\widehat{ÇME})=3x+20°\)  olduğuna göre x değerinin kaç derece olduğunu bulunuz.

 

ÇÖZÜM:

Verilen şekile göre 

\(m(\widehat{ÇME})=m(\widehat{HMT})=3x+20°\) (Ters Açı)

\(m(\widehat{MTK})+m(\widehat{HMT})=180°\)( Karşı Durumlu Açılar)

\(3x+20°+5x+40°=180°\)

\(8x+60°=180°\) ,  \(8x=120°\)

\(x=15°\) olarak bulunur.

 

 

SONUÇLAR

 


\(d_1//d_2\) olmak üzere \(b=a+c\) 

 



\(d_1//d_2\) olmak üzere 
sağa bakan açılar:\(a,c,e\)
sola bakan açılar: \(b,d\)
sağa bakan açıların toplamı ile sola bakan açıların toplamı birbirine eşittir.
\(a+c+e​​​=b+d\)

 


\(d_1//d_2\) olmak üzere 
\(a+b+c=360°\)
NOT: Bu kurala kalem ucu kuralı denir.

 


  \(b+d=a+c+e+f\)

 


\(d_1//d_2\) olmak üzere
\(a_1+a_2+a_3+.....+a_n=(n-1).180°\)

 


\(k+l+m+n+o=180°\)

 

 ÖRNEK:


\([UN//[KS\)  ve \([KR//[UT\)
\(m(\widehat{RKS})=50°\)

\(m(\widehat{NUT})=a\) 

Yukarıdaki verilenlere göre \(a\) yı bulunuz.

ÇÖZÜM:

RKS ile RNU açıları yöndeş açı olduğundan değerleri eşittir.

\(m(\widehat{RKS})=50°=m(\widehat{RNU})\)

RNU ile NUT açıları karşı durumlu açılar olduğundan ölçüleri toplamıları \(180°\) dir.

\(50°+m(\widehat{NUT})=180°\)  Buradan \(m(\widehat{NUT})=130°\) olur ve 

\(a=230°\) olarak bulunur.

 

Üçgende Açı

Düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle elde edilen şekle üçgen denir.

A,B,C noktaları üçgenin köşeleridir.

[AB],[AC],[BC] üçgenin kenarlarıdır.

\(a,c,e\)  üçgenin iç açıları, \(b,f,d\) üçgenin dış açılarıdır.

 

Üçgende Açı Özellikleri

 1- Üçgenin iç açıları toplamı \(180°\)dir.  \(a+c+e=180°\)

 2- Üçgenin dış açıları toplamı \(360°\)dir.  \(b+f+d=360°\)

 3- Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
\(d=a+e\) ,  \(f=c+a\) , \(b=c+e\) 

 4-  

Yukarıda verilen dörtgende 
\(d=a+b+c\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki  ABC üçgeninde \(a\) nın kaç derece olduğunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

Üçgenin dış açıları toplamı \(360°\)olduğundan \(120°+110°+m(\widehat{ACT})=360°\) olur. Buradan 

\(m(\widehat{ACT})=130°\) ve B,C,T doğrusal olduğundan  \(a+130°=180°\) ve \(a=50°\) olarak bulunur.

 

Üçgende Açıortay Özellikleri

1-

Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

2-


Bir üçgende iki iç açı ortay arasında kalan açının ölçüsü açı ortayı çizilmeyen açının yarısının \(90°\) fazlasıdır.

\(a=90°+\frac{m(\widehat{A})}{2}\)

3-


Bir üçgende iki dış açı ortay arasındaki açının ölçüsü ile açı ortayı çizilmeyen açının ölçüsünün yarısı toplamı \(90°\) eder.
\(a=90°-\frac{m(\widehat{A})}{2}\)

 

4-

Bir üçgende bir köşenin iç açı ortayı ile diğer köşenin dış açı arasında kalan açı , açı ortayı çizilmeyen köşenin iç açı ortayının yarısına eşittir.

 \(a=\frac{m(\widehat{A})}{2}\)

 

ÖRNEK:

ABC bir üçgen ve [BF] iç açıortay , [CF] dış açıortay olmak üzere x değerini derece cinsinden bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(m(\widehat{F})=\frac{m(\widehat{A})}{2}\) olduğundan 

\(\frac{10x+6°}{2}=2x+24°\) , \(5x+3°=2x+24°\)

\(3x=21°\) , \(x=7°\) bulunur.

 

5- 

Bir üçgende farklı köşelerdeki iki dış açıortay ile bir iç açıortay aynı oktada kesişir.

 

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen


İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.
İki kenar uzunluğu eşittir. [AB]=[AC]
Taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir. \(m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ACB})\)
Tabana ait yükseklik hem açıortay hem kenarortaydır. \(|AH|=h_a=n_a=V_a\)

 

 


Üç kenar uzunluğuda eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.
[AB]=[AC]=[BC]=b
\(m(\widehat{A})=m(\widehat{B})=m(\widehat{C})=60°\)
\(h=\frac{b\sqrt{3}}{2}\)

 

Üçgende Açı Kenar Bağıntıları

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
ABC üçgeninde
\(z>b>c\)  ⇒ \(m(\widehat{A})>m(\widehat{B})>m(\widehat{C})\) olur.

Bir üçgenin bir kenarı diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olur.Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.

|b-c|

|z-c|

|z-b|

 

Dar,dik,geniş açıların karşısındaki kenarlar ile diğer kenarlar arasında bağlantı vardır

 \(a=90°⇒z^2=b^2+c^2\)

 \(a​​>90°⇒z^2>b^2+c^2\)

 \(a​​<90°⇒z^2

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki ABC üçgeninde x kaç farklı tam sayı değeri alabilir ? 

ÇÖZÜM:

\(|7x-3x|<20<7x+3x\)   , \(x>0 \)  olduğundan (uzunluk negatif olmaz)

\(4x<20<10x\)  şimdi bu eşitsizliği ayrı ayrı inceleyelim

\(4x<20\)  ve \(20<10x\) 

\(x<5 \) ,   \(2

\(2 ⇒ \(x\in\) {3,4,5} ( 3 tanedir)

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki ABDC dörtgeninde [BC]=15cm olduğuna göre Ç(ABDC) nin alabileceği en küçük tam sayı değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Üçgen eşitsizliği kullanılırsa 

\(a+b>15\)  ve \(c+d>15\) eşitsizlikleri elde edilir. Taraf tarafa toplayalım

\(a+b+c+d>30\) bulunur ve Buradan \(Ç(ABDC)=a+b+c+d>30\)  ve en küçük tam sayı değeri 31 olarak bulunur.

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

42 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 02.06.2020 14:20
Son Güncelleme: 10.04.2021 15:47

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!