Şifre Sıfırlama

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

Eş Üçgenler

Tüm açıları eşit ve eşit olan açıların karşılarındaki kenar uzunlukları da eşit olan üçgenlere eş üçgen denir.

\(m(\widehat{A})=m(\widehat{D})\)  , \(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\)  ,\(m(\widehat{C})=m(\widehat{F})\)  ve \(a=d\) , \(b=e\) , \(c=f\)   ise
ABC ile DEF üçgenleri eş üçgendir ve  ABC \(\cong \)DEF biçiminde gösterilir.

Eşlik Teoremleri

İki üçgenin eş olması için karşılıklı bütün açıların ve karşılıklı bütün kenarların uzunlukları eşit olması gerekmektedir.


1- Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) Eşliği


İki üçgen arasında yapılan eşlemede karşılıklı ikişer kenarları eş ve bu kenarların oluşturduğu açılarda eş ise bu iki üçgen eştir.

ÖRNEK:

Yukarıdaki şekilde x değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Yukarıdaki GKL ve KLM üçgenlerinin  ikişer kenarları eştir ve bu kenarların oluşturduğu açılarda eş olduğundan bu iki üçgen eştir.

[GK]=[KM] , [KL]=[KL]  ve \(m(\widehat{GKL})=m(\widehat{LKM})\)  Buradan 

[ML]=[GL] olmak zorundadır.  \(3x-4=2x+3\)  ve \(x=7 \) olarak bulunur.

 

2- Açı-Kenar-Açı (A.K.A) Eşliği


İki üçgen arasında yapılan eşlemede karşılıklı ikişer açılarının ölçüleri eş ve bu açıların arasında kalan kenarlar da eş ise bu iki üçgen eştir.

 

ÖRNEK:


Yukarıdaki verilen bilgilere göre  \(x+y\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(m(\widehat{BAI})=m(\widehat{BPH})\) ,  \(m(\widehat{ABI})=m(\widehat{HBP})\) ve bu açılarınarasında kalan  [AB]=[BP]  olduğundan  A.K.A teoremine göre ABI ve HBP üçgenleri eşittir.

Buradan

[IB]=[BH] olduğundan \(x=8\) ve [AI]=[HP] olduğundan  \(6+y=16\) , \(y=10\)  bulunur.

\(x+y=8+10=18\) cm bulunur.

 

3- Kenar-Kenar-Kenar (K.A.K) Eşliği


İki üçgen arasındaki bire bir eşlemede karşılıklı tüm kenarlar eş ise bu iki üçgen eştir.

Yukarıdaki üçgenlerde  

[AB]=[DE] , [AC]=[DF] , [BC]=[EF] olduğundan   ABC \(\cong \)DEF dir. Buradan

 \(m(\widehat{A})=m(\widehat{D})\)  , \(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\)  ,\(m(\widehat{C})=m(\widehat{F})\) olur.

 

Benzer Üçgenler
 


Eşit açılara sahip iki üçgen benzerdir ve benzer üçgenlerde eşit açıların gördüğü kenarların uzunlukları orantılıdır.

  \(m(\widehat{A})=m(\widehat{D})\)  , \(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\)  ,\(m(\widehat{C})=m(\widehat{F})\)  ise 

\(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k\)  dir ve \(k\) ye benzerlik oranı denir. Bu benzerlik, \(​  ABC\sim DEF ​\) şeklinde gösterilir.

 

Benzerlik Teoremleri
 

1-Açı-Açı (A.A) Benzerliği


Karşılıklı ikişer açıları eşit olan iki üçgenin üçüncü açıları da eşittir, bundan dolayı bu üçgenler de eştir.

\(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\)  ,\(m(\widehat{C})=m(\widehat{F})\) olduğundan \(​  ABC\sim DEF ​\) dir.

\(​  ABC\sim DEF ​\)  olduğundan  \(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k\) dir.


ÖRNEK:


Yukarıdaki bilgilere göre \(x+y+z\) nin kaç cm olduğunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a+\beta=90° \) olmak üzere  \(m(\widehat{NOM})=m(\widehat{ORP})=a\)  ise  \(m(\widehat{NMO})=m(\widehat{ROP})=\beta\) olur.

Buradan (A.A) benzerlik teoreminden  \(​  MNO\sim OPR\) dir.

\(\frac{3}{9}=\frac{x}{15}\) ise \(x=5\)  olur.  

pisagor teoreminden  \(y^2+3^2=5^2\)   \(y^2=16\)   \(y=4 \) bulunur.

\(\frac{3}{9}=\frac{4}{z}\) buradan \(z=12\) bulunur ve \(x+y+z=5+4+12=21\) olur.

 

 

2- Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) Benzerliği


İki üçgen arasında bire bir eşlemede karşılıklı birer açı eş ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Üçüncü kenarlarda orantılıdır.

\(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\) ise ve \(\frac{c}{f}=\frac{a}{d}\) ise bu üçgenler benzerdir ve \(\frac{c}{f}=\frac{a}{d}=\frac{[AC]}{[DF]}\) olur.


ÖRNEK:

 

Yukarıdaki verilere göre [MA] kaç cm dir?

ÇÖZÜM:

MAK ve KPL üçgenlerinde \(m(\widehat{K})\) ortak , bu açıyı oluşturan kenarlara bakalım

[LK]=4 , [PK]=3 , [MK]=6, [AK]= 8 

\(\frac{[LK]}{[AK]}=\frac{[PK]}{[MK]}\) ⇒  \(​  KMA\sim KPL\) dir. 

Pisagor teoreminden \(3^2+[LP]^2=5^2\)  [LP]= 4 olarak bulunur.

\(\frac{3}{9}=\frac{5}{15}=\frac{4}{x}\) olduğundan \(x=12\) olur.

 

3- Kenar-Kenar-Kenar (K.A.K) Benzerliği

İki üçgen arasında bire bir eşlemede tüm kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

\(\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}\) ise  \(​  ABC\sim DEF ​\)   Bu durumda    \(m(\widehat{A})=m(\widehat{D})\)  , \(m(\widehat{B})=m(\widehat{E})\)  ,\(m(\widehat{C})=m(\widehat{F})\)  olur.

 

NOT:
Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlara ait yükseklikleri,kenarortayları ve açıortayları orantılıdır, bu oran benzerlik oranına eşittir.

 

Temel Benzerlik Teoremi


GHR üçgeninde [ST]//[HR] olduğundan \(m(\widehat{S})=m(\widehat{H})\),  \(m(\widehat{T})=m(\widehat{R})\)  G açısı ortak olduğundan

    \(​  GST\sim GHR​\)  dir ve     \(\frac{[GS]}{[GH]}=\frac{[GT]}{[GR]}=\frac{[ST]}{[HR]}\) olur.

Orantı özelliklerinden \(\frac{[GS]}{[SH]}=\frac{[GT]}{[TR]}\) elde edilir.


ÖRNEK:


 [DE]//[BC] ve [EG]//[AF]  olmak üzere yukarıdaki verilere göre  \(x\) uzunluğunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

Temel benzerlik teoreminden 

\(\frac{x}{x+3}=\frac{[AE]}{[EC]}=\frac{[FG]}{[GC]}=\frac{10}{12}\) ⇒ \(\frac{x}{x+3}=\frac{10}{12}\) 

\(12x=10x+30\) ,  \(2x=30\) \(x=15 \)  elde  edilir.

 

 Thales Teoremi

Parelel doğrular kendilerini kesen her doğru üzerinde orantılı parçalar ayırırlar.

\(d_1//d_2//d_3\) olmak üzere \(\frac{d}{e}=\frac{f}{g}\) dir.

\(a,b,c\) arasında  \(\frac{b-a}{c-b}=\frac{d}{e}\) bağıntısı vardır.

 

ÖRNEK:

[AD]//[EF]//[BC] olmak üzere \(x\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{6}{16}=\frac{3}{x-5}\) , \(6x-30=48\)  ,  \(6x=78\)

\(x=13\)  elde edilir.

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

144 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 06.08.2020 17:31
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:21

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!