Şifre Sıfırlama

Üçgenin Yardımcı Elemanları

 ÜÇGENDE AÇIORTAY

Herhangi bir açıyı iki eş parçaya bölen ışına açıortay denir. [AK , \(\widehat{FAN}\) açısının açıortayıdır.

Açıortay simetri eksenidir. Açıortay üzerindeki bir noktanın açının kollarına olan uzaklıkları eşittir.

  [FK]=[KN]   

  [AF]=[AN]

  \(\widehat{FKA}=\widehat{AKN}\)  

  Alan(AFK)=Alan(AKN)




Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezini verir.

 

İç Açı Ortay Teoremi

İç açı ortayların ayırdığı parçaların uzunlukları diğer kenarların uzunlukları ile orantılıdır.

\(\frac{c}{b}=\frac{m}{n}\) 

iç açı ortay uzunluğu   \(x^2=b.c-m.n\) ile hesaplanır.

 

Dış Açı Ortay Teoremi


ABN üçgeninde [AC] dış açı ortay olmak üzere 

\(\frac{x}{c}=\frac{n}{n+m}\)

Dış açıortay uzunluğu \(b^2=n.(n+m)-c.x\)  ile hesaplanır.

 

ÖRNEK:

[AD] iç açıortay ve [AC]=[AB]+4 

yukarıda verilenlere göre x değerini bulunuz.

 

ÇÖZÜM:

[BD]=[DE]=3cm olur.

[AC]=[AB]+4  olduğundan ve  [AB]=[AE] olduğundan  [AB] yerine  [AE] yazalım.

[AC]=[AE]+4 olur ve [EC]=4 elde edilir.

Pisagor teoreminden  \(x^2=3^2+4^2\)  , \(x^2=25\)  , \(x=5\) elde edilir.

 

ÖRNEK:

[AC] dış açıortay 

Yukarıdaki verilere göre \(x.y\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{[NC]}{[BC]}=\frac{[AN]}{[AB]}\) ⇒  \(\frac{8}{12}=\frac{x}{3}\) \(x=2\) bulunur.

Dış açı ortay uzunluğu ise;

\(y^2=(8.12)-2.3\)  , \(y^2=90\) ,  \(y=3\sqrt{10}\) olur.

\(x.y=6\sqrt{10}\)  olarak bulunur.

 

 

Üçgende Kenarortay

Bir üçgende kenarortayların kesim noktası bize ağırlık merkezini verir.

Ağırlık merkezinin kenarlara uzaklığı köşelere uzaklığının yarısıdır.

NOT:
İki kenarortayın kesişme noktası ağırlık merkezidir.

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay , hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.

\(\frac{[AC]}{2}=[BD]\)

NOT:
Eğer  [AD]=[DC]=[BD]  ise  \(m(\widehat{ABC})=90°\) olur.

 

Orta Taban


Bir üçgenin iki kenarının orta noktasını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

[DE] orta taban ise  [DE]//[BC]  ve  2.[DE]=[BC] olur.

 

G noktası hem ABC hem de FDE üçgeninin ağırlık merkezidir.
 

NOT:
Bu oran 312 oranı olarak da bilinir.

 

Kenarortay Uzunluğu


Kenarortaylar ve kenarlar arasında bağıntı vardır.

\(2V_a^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}\)

Farklı kenarlara ait kenarortaylar için yukarıdaki bağıntı taraf tarafa toplanırsa

\(4(V_a^2+V_b^2+V_c^2)=3(a^2+b^2+c^2)\)  bağıntısı bulunur.
 



\([AD]=V_a\) ,   \([BR]=V_b\) ,   \([SC]=V_c\)  olmak üzere 

\(5V_a^2=V_b^2+V_c^2\)  olur.

 

ÖRNEK:


Yukarıdaki bilgilere göre x değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

[AD] kenarortay olduğundan 

\(2x^2=8^2+6^2-\frac{8^2}{2}\)

\(2x^2=68\) , \(x^2=34\) 

\(x=\sqrt{34}\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

ABC üçgeninde B,G,D ve E,L,D doğrusalıdır.
Yukarıdaki veilen bilgilere göre 2x+y değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

[ED] orta taban ve G noktası  kenarortayların kesim noktası olduğundan ağırlık merkezi olur.

sırasıyla [AL]=3k , [LG]=k , [GF]=2k  olur.

k=4 ⇒  3k=12 ve 2k=8  bulunur.

x=12 ve y=8 ⇒  2x+y=32  olarak bulunur.

 

Üçgenin Kenar Orta Dikmeleri


Bir üçgenin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir ve bu kesişim noktası çevrel çemberin merkezidir.

 

ÖRNEK:

ABC üçgeninde D noktası çevrel çemberin merkezidir. 
Yukarıdaki bilgilere göre \(a\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:


D noktası çevrel çemberin merkezi olduğundan D noktasının köşelere olan uzaklığı eşittir.

ADC üçgeninde 

\(2b+124°=180° \) ⇒ \(b=28°\) dir.

ABC üçgeninde   \(2b+2c+2d=180°\)  \(b=28°\) olduğundan 

\(56​​°+2c+2d=180°\) , \(2c+2d=124°\) 

\(a=c+d=62°\)  olarak bulunur.

 

Üçgende Yükseklik

Üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen dik uzaklığa üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir.

Bir üçgende \(h_a,h_b,h_c\) olmak üzere üç tane yükseklik vardır ve bu yüksekliklerin kesim noktası üçgenin diklik merkezini verir.

Üçgenin çeşidine göre diklik merkezi için üç farklı durum vardır.

 

1-

ABC üçgeni dar açılı ise diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir.

 

2-

ABC üçgeni dik açılı ise diklik merkezi üçgenin dik köşesidir.

 

3-

ABC üçgeni geniş açılı ise diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir.

 

İkizkenar Üçgenin Yardımcı Elemanları
 


1- [AB]=[AC]

2- [BH]=[HC]

3- [AH] \(\perp\) [BC]

4- \(m(\widehat{BAH})=m(\widehat{HAC})\)

Yukarıdaki 4 özellikten herhangi 2 si sağlanıyorsa o üçgen ikizkenardır ve diğer tüm özelliklerde o üçgende sağlanır.

 

İkizkenar üçgende eşit kenarlara ait kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.

[CR]=[SA]


İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortay uzunlukları birbirine eşittir.

[CR]=[SA]


İkizkenar üçgende eşit kenarlara ait yükseklik uzunlukları birbirine eşittir.

[CR]=[SA]

 

 

Eşkenar Üçgenin Yardımcı Elemanları


Eşkenar üçgende üç kenara ait yükseklik, kenarortay ve üç açıya ait açıortay uzunlukları birbirine eşittir.

[AB]=[BC]=[AC]=  \(a\)  ise

[AF]=[FB]=[BD]=[DC]=[CE]=[EA]=  \(\frac{a}{2}\)

\(V_a=V_b=V_c=n_a=n_b=n_c=h_a=h_b=h_c=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) olur.

 

ABC eşkenar üçgen ve P üçgenin içinde herhangi bir nokta ve 

[OD]//[AC]  ,   [OF]//[EC]  ,  [OE]//[AB] olmak üzere 

[OE]+[OD]+[OF] = [AB]=[BC]=[AC]   

 

ABC eşkenar üçgen ve P üçgenin içinde herhangi bir nokta VE 

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre 

[FE]+[EH]+[EG]=[AD]  olur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

129 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 07.08.2020 13:40
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:19

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!