Şifre Sıfırlama

Üçgenin Alanı

Herhangi bir üçgenin alanı bir kenar ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Kısacası  \(\frac{Taban.Yükseklik}{2}\) olarak da düşünülebilir.


\(Alan(ABC)=\frac{a.h_a}{2}=\frac{b.h_b}{2}=\frac{c.h_c}{2}\)

 

 

Dik Üçgende Alan


Dik üçgende alan dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

\(Alan(ABC)=\frac{a.c}{2}=\frac{b.h_b}{2}\)

 

Geniş Açılı Üçgende Alan

 


Geniş açılı üçgenlerin yüksekliği dışarıda çizilir.

\(Alan(ABC)=\frac{a.h_a}{2}=\frac{c.h_c}{2}\)

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki verilere göre Alan(ABC) nin kaç \(cm^2\) dir ?

ÇÖZÜM:

AN kenarı BC kenarına ait yükseklik olduğundan 

\(Alan(ABC)=\frac{6.8}{2}=24\) olarak bulunur.

 

 

 

Yukarıda \(d_1//d_2\)  olmak üzere  Alan(EFG)=Alan(FHG) dir.

Çünkü E noktasını \(d_1\) doğrultusunda haraket ettirdiğimizde yeni oluşan üçgenlerin taban ve yükseklikleri  EFG üçgeninin taban ve yüksekliğine eşit olur ve alanlar değişmez.

 

 


Kenarortay üçgeni alanları eşit iki parçaya ayırır.

Alan(KLN)=Alan(KNM)

 

 

Kenarortayların kesim noktası olan ağırlık merkezi üçgenin alanını 6 eş parçaya ayırır.

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki üçgende \(\frac{Alan(KTE)}{Alan(TLNE)}\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:


[KN] kenarortay olduğundan

Alan(KNM)=Alan(KLN)

Alan(KNM)=4S ⇒ Alan(KLN)= 4S olur.

[MT] kenarortay olduğundan  Alan(KMT)=Alan(TML)=4S olmalıdır. Buradan

Alan(KTE)=S

Alan(TLNE)=3S olur ve  \(\frac{Alan(KTE)}{Alan(TLNE)}=\frac{1}{3}\) olarak bulunur.

 

 

Heron Alan Formülü

ABC üçgeninin çevre uzunluğunun yarısı \(u=\frac{a+b+c}{2}\)   olmak üzere  

\(Alan(ABC)=\sqrt{u.(u-a).(u-b).(u-c)}\) ile bulunur.

 

ÖRNEK:

Yukarıda verilenlere göre Alan(ABC) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:  

\(u=\frac{3+4+5}{2}=6\)

\(Alan(ABC)=\sqrt{u.(u-a).(u-b).(u-c)}\) ise 

\(Alan(ABC)=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6 cm^2\)  olarak bulunur.

 

 

İç Teğet Çember Yardımıyla Alan Bulma

 

u=yarı çevre olmak üzere

Alan(ABC)=u.r

Alan(ABC)=Alan(BOC)+Alan(AOC)+Alan(AOB)

\(Alan(ABC)=\frac{a.r}{2}+\frac{b.r}{2}+\frac{c.r}{2}\)

                     = \(\frac{1}{2}(a+b+c).r\)

                     = \(\frac{1}{2}.2u.r=u.r\)   olur.

 

 

Eşkenar Üçgenin Alanı

Bir kenarının uzunluğu \(a\) birim olan eşkenar üçgenin alanı 

\(Alan(ABC)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) ile hesaplanır.

 

ÖRNEK:

Bir kenarı \(6cm\) olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(Alan(ABC)=\frac{6.(3\sqrt{3})}{2}=9\sqrt{3}\)  olarak bulunur.

 

 

Benzer Üçgenlerin Oranları

Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

Şimdi bunu ispatlayalım.

Yuakrıdaki iki üçgen benzer ve benzerlik oranı k olmak üzere

\(\frac{a}{d}=\frac{h}{h_1}=k\)  olur şimdi alan hesabı yapalım

\(\frac{Alan(ABC)}{Alan(DEF)}=\frac{\frac{h.a}{2}}{\frac{h_1.d}{2}}\)  ⇒  \(\frac{Alan(ABC)}{Alan(DEF)}=\frac{h.a}{h_1.d}=\frac{h}{h_1}.\frac{a}{d}=k.k=k^2\) olarak bulunur.

Sonuç olarak iki üçgenin benzerlik oranı \(k\)  iken alanlar oranı  \(k^2\) olur.

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki şekilde [DE]//[BC]  dir.

 2[AD]=[DB]  ve Alan(ABC)=90 \(cm^2\)  olduğuna göre  BDCE dörtgeninin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ADE})\)  ve  \(m(\widehat{ACB})=m(\widehat{AED})\) olur ve \(ADE\sim ABC\) dir.

[AD]= b dersek 

[DB]= 2b olur.

\(\frac{[AD]}{[AB]}=\frac{1}{3}\) dir.

Alanların oranı benzerlik oranının karesi olduğundan 

\(\frac{Alan(ADE)}{Alan(ABC)}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\) olur.

Alan(ADE)= k  dersek

Alan(ABC)= 9k olur ve 

\(Alan(ABC)= 9k=90cm^2\) ⇒ \(k=10cm^2\) olur.

\(Alan(ADE)=10cm^2\) olarak bulunur ve tüm alandan Alan(ADE) nı çıkarırsak BDCE dörtgeninin alanını buluruz.

\(90cm^2-10cm^2=80cm^2\)    \(Alan(BDCE)=80cm^2\) olur.

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

11 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 10.08.2020 19:49
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:19

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!