Şifre Sıfırlama

Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim çember( yarı çapı 1 br olan çemberdir) üzerinde P(x,y) noktası verilsin.
Pozitif yönlü \(m(\widehat{POH})=a\) olmak üzere 
P noktasının apsisine  \(a\) açısının kosinüsü denir ve \(cosa\) ile gösterilir.
P noktasının ordinatına \(a\) açısının sinüsü denir ve \(sina\) ile gösterilir.
\(x=cosa \) ve \(y=sina\) olur.
Buna göre  x eksenine kosinüs ekseni, y eksenine sinüs ekseni denir.
Bu durumda birim çember üzerindeki her nokta \((cosa,sina)\) biçiminde yazılabilir.
Yukarıda görüldüğü üzere kosinüs ve sinüs değerleri birim çember üzerinde olduğundan en büyük 1 ve en küçük -1 değerlerini alabilirler.
Buna göre  \(-1\leq sina\leq 1\)  ve \(-1\leq cosa\leq 1\) olur.

Birim çember üzerindeki bazı noktalar;
\((1,0)=(cos0°,sin0°)\)⇒  \(cos0°=1\) ve \(sin0°=0\)
\((0,1)=(cos90°,sin90°)\)⇒ \(cos90°=0\) ve \(sin90°=1\)
\((-1,0)=(cos180°,sin180°)\)⇒ \(cos180°=-1\) ve \(sin180°=0\) 
\((0,-1)=(cos270°,sin270°)\)⇒ \(cos270°=0\)  ve \(sin270°=-1\)   
  elde edilir.

 

 NOT: Yukarıdaki şekilde POH dik üçgen olduğu için pisagor teoremi uygularsak;
\(cos^2a + sin^2a= 1\) elde edilir. Buradan hareketle
\(cos^2a=1-sin^2a=(1-sina)(a+sina)\)
\(sin^2a=1-cos^2a=(1-cosa)(1+cosa)\)
  elde edilir.

 

ÖRNEK:

\(x\in R\)  olmak üzere \(\frac{1+cos^2x-sin^2x}{(1-sinx)(1+sinx)}-2\)  ifadesinin en sade halini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((1-sinx)(1+sinx)=1-sin^2x\)  ve \(1-sin^2x=cos^2x\) olduğundan
ifadede \(1-sin^2x\) yerine \(cos^2x\) yazalım.

\(\frac{1+cos^2x-sin^2x}{(1-sinx)(1+sinx)}-2=\frac{2cos^2x}{1-sin^2x}-2=\frac{2cos^2x}{cos^2x}-2=2-2=0\)    olur.

 

Trigonometrik Fonksiyonlar

Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları

Bir x reel sayısını \(cosx\) e  dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.
\(f:R→[-1,1] \)    \(f(x)=cosx\) biçiminde tanımlanır.

Bir x reel sayısını \(sinx\) e  dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.
\(f:R→[-1,1] \)   \(f(x)=sinx\) biçiminde tanımlanır. 

NOT: \(sin(a+k.2\pi)=sina\)  ve \(cos(a+k.2\pi)=cosa\)  olur. Çünkü esas ölçüleri aynıdır ve çember üzerinde belirttikleri yer aynıdır. 

ÖRNEK

\(A=6+3sinx\) olduğuna göre A nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır bulunuz.

ÇÖZÜM:

 Her \(x \in R\)  için    \(-1\leq sinx\leq 1\) olduğundan
\(3.-1\leq 3.sinx\leq 3.1=​​-3\leq 3.sinx\leq 3\)  şimdi her taraf 6 ekleyelim.
\(6+(-3)\leq 6+3.sinx\leq 6+3=3\leq 6+3.sinx\leq 9\)  olur.
A'nın alabileceği tam sayı değerleri 3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere 7 tanedir.

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları 

Tanjant Fonksiyonu

 

 



Her \(x\in R-\{\frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}\) gerçek sayılarını \(tanx\) e dönüştüren fonksiyona tanjant fonksiyonu denir.

\(f: R-\{\frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}→R\)\(f(x)=tanx\)  şeklinde tanımlanır.

NOT: Tanjant fonksiyonunun tanım kümesinden \(\{\frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}\) kümesinin çıkarılmasının nedeni ,fonksiyonun bu noktalarda tanımsız olmasıdır.
Aşağıda daha iyi anlaşılacaktır.

 

Yukarıdaki şekilde birim çemberde ölçüsü \(a\) olan \(\widehat{AOP} \) verilsin ve OP ışının x=1 doğrusu ile kesiştiği  T(1,t) noktasının ordinatı \(\widehat{AOP} \)  nın tanjantıdır ve \(tana\) ile gösterilir.
\(tana=\frac{| AT |}{| OA |}=t\) elde edilir.                    

Yukarıdan haraketle 
\(a=0°\) ise \(tan0°=0\)
\(a=90°\) olduğunda OP ışını x=1 doğrusuna paralel olur ve OP ışını x=1 doğrusunu kesmediği için  \(tan90°=tan\frac{\pi}{2}=tanımsız\)  olur.
\(a=180°\) ise \(tan180°=tan\pi=0\) olur.
\(a=270°\) olduğunda OP ışını x=1 doğrusuna paralel olur ve OP ışını x=1 doğrusunu kesmediği için  \(tan270°=\frac{3\pi}{2}=tanımsız\) olur.

 

Kotanjant Fonksiyonu

 

 


Her \(x\in R-\{k.\pi,k\in Z\}\) gerçek sayılarını \(cotx\) e dönüştüren fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir.
\(f: R-\{k.\pi,k\in Z\}→R\)\(f(x)=cotx\) şeklinde tanımlanır.

Birim çemberde ölçüsü \(a\) olan \(\widehat{AOP} \)  verilsin. OP ışınının y=1 doğrusunu kestiği noktanın apsisine \(\widehat{AOP} \) nın kotanjantı denir ve \(cota\) ile gösterilir.
\(cota=\frac{| BK |}{| OB |}=k\) olur.
Buradan y=1 eksenine kotanjant ekseni denir.
Yukarıdan haraketle

\(a=0°\) olduğunda OP ışını y=1 doğrusuna paraleldir ke y=1 doğrusuyla kesişmezler bundan dolayı \(cot0 °\)  tanımsızdır.
\(a=90 °\) ise \(cot90 °=cot\frac{\pi}{2}=0 \) olur.
\(a=180 °\) olduğunda 0° de olduğu gibi \(cot180 °\)  tanımsızdır.
\(a=270°\) ise \(cot270°=cot\frac{3\pi}{2}=0\) olur. 

NOT:
\(tana=\frac{sina}{cosa}\)  \(cosa\neq0\)
\(cota=\frac{cosa}{sina}\)  \(sina \neq0\)
\(tana.cota=1\)
\(tana=\frac{1}{cota}\)
\(cota=\frac{1}{tana}\)

 

 

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere göre İşaretleri

1.BÖLGEDE               
0°<\(a\)<90°
\(sina>0 \)
\(cosa>0\)
\(tana>0\)
\(cota>0\)

2.BÖLGEDE
90°<\(a\)<180°
\(sina>0\)
\(cosa<0\)
\(tana<0 \)
\(cota<0\)

3.BÖLGEDE
180°<\(a\)<270°
\(sina<0\)
\(cosa<0\)
\(tana>0\)
\(cota>0\)

4.BÖLGEDE
270°<\(a\)<360°
\(sina<0\)
\(cosa>0\)
\(tana<0\)
\(cota<0\)

ÖRNEK:

a=sin250°, b=cos300°, c=tan260° ve d=cot320° olduğuna göre a,b,cve d yi büyükten küçüğe sıralayınız.

ÇÖZÜM:

\(sin250°<0\) ve \(cos300°>0\) olduğundan \(b>a\) olur.
grafikten bakılırsa
ölçüsü 320° olan kotanjantın değeri -1 den küçüktür.
ölçüsü 260° olan tanjantın değeri 1 den büyüktür.
Bundan dolayı \(c>b>a>d\) olur.

NOT:
1. bölgedeki açıların büyüklükleri arttıkça sinüs değerleri artar,kosinüs değerleri azalır.
1. bölgedeki her açının tanjant değeri sinüs değerinden büyüktür.

Sekant ve Kosekant Fonksiyonları

Her \(x\in R-\{ \frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}\) gerçek sayılarını \(secx\) dönüştüren fonksiyona sekant fonksiyonu denir.
\(f:R-\{ \frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}→R-(-1,1)\)\(f(x)=secx\) şeklinde tanımlanır.

Her \(x\in R-\{ k\pi,k\in Z\}\) gerçek sayılarını \(cosecx\) dönüştüren fonksiyona kosekant fonksiyonu denir.
\(f: R-\{ k\pi,k\in Z\}→R-(-1,1)\)\(f(x)=cosecx\) şeklinde tanımlanır.

NOT: 
\(seca=\frac{1}{cosa}\)
\(cosec a=\frac{1}{sina}\)

\(1+tan^2a=sec^2a\)
\(1+cot^2a=cosec^2a\)

 

ÖRNEK:

\(0<\beta<\frac{\pi}{2}\) olmak üzere \(\frac{sin\beta+cos\beta}{sec\beta-cosec\beta}\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Yukarıdaki dik üçgende pisagor teoremi uygularsak 
\(6^2+8^2=x^2\) 
\(x^2=100,x=10\)  olur  ve \(| AC |=10 \) birim olur.
\(sin\beta=\frac{karşı kenar}{hipotenüs}=\frac{8}{10}\)
\(cos\beta=\frac{komşu kenar}{hipotenüs}=\frac{6}{10}\)
\(sec\beta=\frac{1}{cos\beta}=\frac{1}{\frac{6}{10}}=\frac{10}{6}\)
\(cosec\beta=\frac{1}{sin\beta}=\frac{1}{\frac{8}{10}}=\frac{10}{8}\) 
olarak bulunur, şimdi verilen ifadeyi bulalım.
\(\frac{sin\beta+cos\beta}{sec\beta-cosec\beta}=\frac{\frac{8}{10}+\frac{6}{10}}{\frac{10}{6}-\frac{10}{8}}=\frac{84}{25}\)

 

Bir Açının Trigonometrik Değerlerinin Dar Açı Cinsinden Yazılması

\(cos(\frac{\pi}{2}-a)=sina\)         \(sin(\frac{\pi}{2}-a)=cosa\)
\(tan(\frac{\pi}{2}-a)=cota\)          \(cot(\frac{\pi}{2}-a)=tana\)


\(cos(\pi-a)=-cosa\)       \(sin(\pi-a)=sina\)
\(tan(\pi-a)=-tana\)      \(cot(\pi-a)=-cota\)


\(cos(\frac{\pi}{2}+a)=-sina\)       \(sin(\frac{\pi}{2}+a)=cosa\)
\(tan(\frac{\pi}{2}+a)=-cota\)       \(cot(\frac{\pi}{2}+a)=-tana\)


\(cos(\pi+a)=-cosa\)        \(sin(\pi+a)=-sina\)
\(tan(\pi+a)=tana\)          \(cot(\pi+a)=cota\)


\(cos(\frac{3\pi}{2}-a)=-sina\)      \(sin(\frac{3\pi}{2}-a)=-cosa\)
\(tan(\frac{3\pi}{2}-a)=cota\)         \(cot(\frac{3\pi}{2}-a)=tana\)


\(cos(2\pi-a)=cosa\)          \(sin(2\pi-a)=-sina\)
\(tan(2\pi-a)=-tana\)       \(cot(2\pi-a)=-cota\)

 

ÖRNEK:

Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini bulunuz.

a) \(cos130°\)
b) \(sin240°\)
c) \(tan\frac{4\pi}{3}\)
d) \(cot\frac{7\pi}{4}\)

e) \(sin\frac{5\pi}{4}\)
 

ÇÖZÜM: 
Bu değerlerin dar açı cinsinden yazılımı aşamasında ilk önce verilen ifadenin işareti incelenir ,daha sonra eğer çıkarma ve toplama işlemi (\(\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)) ile yapılıyorsa verilen trigonometrik fonksiyon sinüs ise kosinüse ,kosinüs ise sinüse ,tanjant ise kotanjanta 
kotanjant ise tanjanta dönüşür ve daha sonra çıkarılan veya toplanan açı yazılır.Eğer çıkarma veya toplama işlemi  (\(\pi, 2\pi\)) ile yapılıyorsa trigonometrik fonksiyon aynen yazılır,değişmez. Aşağıda inceleyiniz.

a) Şimdi \(cos130°\) ifadesinin işaretini inceleyelim.
\(cos130°\) ikinci bölgede olduğundan kosinüs ikinci bölgede negatiftir.
Daha sonra \(cos130°\) yi   \(cos130°=cos(180°-50°)\) olarak yazalım.Burada çıkarma işlemi \(180°=2\pi\) ile yapılmış bundan dolayı fonksiyon değişmez.
şimdi ifadenin değerini yazalım.  
\(cos130°=cos(180°-50°)=-cos50\) olarak bulunur.

b) \(sin240°=sin(270°-30°)=-cos30°\)

c) \(tan\frac{4\pi}{3}=tan(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{6})=cot\frac{\pi}{6}\)

d) \(cot\frac{7\pi}{4}=cot(2\pi-\frac{\pi}{4})=-cot\frac{\pi}{4}\)   olarak bulunur.

e) \(sin\frac{5\pi}{4}=sin(\pi+\frac{\pi}{4})=-sin\frac{\pi}{4}\)

 

Kosinüs Teoremi

Kosinüs teoreminde uzunluğu bilinen iki kenar ve bu kenar arasındaki açı biliniyorsa ,üçgenin bilinmeyen üçüncü kenarı bulunabilir.

\(a^2=b^2+c^2-2.b.c.cosa\)  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(0° olmak üzere \(m(\widehat{A})\) nü bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(m(\widehat{A})\) bulmak için kosinüs teoremini uygulayalım.
\((\sqrt{3})^2=1^2+2^2-2.1.2.cosa\)
\(3=5-4.cosa\)  ,\(4cosa=2\)
\(cosa=\frac{1}{2}\) ve \(a=60°\) olarak bulunur.

 

Sinüs Teoremi

Bir üçgende her kenarın uzunluğu karşıdaki açının sinüs değeri ile doğru orantılıdır.

\(\frac{a}{sin\widehat{A}}=\frac{b}{sin\widehat{B}}=\frac{c}{sin\widehat{C}}\) tir.

 

ÖRNEK:

Yukarıdaki üçgende c değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı \(180°\)olduğundan \(m(\widehat{B})=180°-(75°+45°)=60°\) olarak bulunur.
Sinüs teoremi uygularsak
 \(\frac{c}{sin45}=\frac{9}{sin60}  → \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)  olur.
Buradan \(\frac{2c}{\sqrt{2}}=\frac{18}{\sqrt{3}}→\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{3}}\)
\(c=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) olarak bulunur.

 

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Bazı hareketler belirli aralıklarla tekrar eder, Bu hareketlerden bahsederken 'periyot' kelimesini kullanırız.
Ayın dünya etrafında dönmesi periyodik harekete örnek verilebilir.Çevremizde daha birçok periyodik hareket gözlemleyebiliriz.
Bir fonksiyonun grafiği eşit aralıklarla tekrarlıyorsa bu fonksiyona periyodik fonksiyon, grafiğine de periyodik grafik denir.

Periyodik Fonksiyonlar

\(f:A→B\) bir fonksiyon olmak üzere \(\forall x \in A\) için \(f(x+T)=f(x)\) eşitliğini sağlayan en az bir \(T\neq0\) gerçek sayısı varsa \(f\) fonksiyonu periyodik fonksiyon ,T gerçek sayısınada \(f\) fonksiyonunun bir periyodu denir.
Bu T sayılarından pozitif olanların en küçüğüne bu fonksiyonun esas periyodu denir.

ÖRNEK:

\(f:R→R\)\(f(x)=2x-6\) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını inceleyiniz.

ÇÖZÜM:

Yukarıdaki tanımdan hareketle \(f(x+T)=f(x)\)  eşitliğini sağlayan en az bir \(T\neq0\) gerçek sayısı varsa \(f\) fonksiyonu periyodik fonksiyon demiştik.
\(f(x+T)=2(x+T)-6=2x+2T-6\) olur.
\(f(x+T)=f(x)→2x+2T-6=2x-6\) 
\(2T=0\) ve \(T=0\)  olduğundan \(f(x)\) periyodik değildir.

 

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Periyotları 
 

  \(x\)

  0

  \(\frac{\pi}{2}\)

  \(\pi\)

  \(\frac{3\pi}{2}\)

  \(2\pi\)

  \(\frac{5\pi}{2}\)

  \(3\pi\)

  \(\frac{7\pi}{2}\)

  \(4\pi\)

   ....

  \(sinx \)

  0

  1

  0 

  -1

  0

  1

  0

  -1

  0

  ....


Yukarıdaki değerleri incelediğimiz de  \(sinx \) fonksiyonunun  belirli aralıklarla tekrar ettiğini görüyoruz , bu yüzden \(sinx \) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu \(2\pi\) dir.

 

  \(x\)

0

  \(\frac{\pi}{2}\)

   \(\pi\)

  \(\frac{3\pi}{2}\)

  \(2\pi\)

  \(\frac{5\pi}{2}\)

  \(3\pi\)

  \(\frac{7\pi}{2}\)

  \(4\pi\)

   ....

  \(cosx\)

  1

  0

  -1

  0

  1

  0

  -1

  0

  1

   ....


Yukarıdaki değerleri incelediğimiz de  \(cosx\) fonksiyonunun  belirli aralıklarla tekrar ettiğini görüyoruz , bu yüzden \(cosx\) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu \(2\pi\) dir.

ÖRNEK:

\(f(x)=sin(2x-6)\) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(f(x+T)=f(x)\) eşitliğini sağlayan en az bir \(T\neq0\) gerçek sayısı varsa \(f\) fonksiyonu periyodik fonksiyondur demiştik.

\(sin(2x-6)=sin(2(x+T)-6)\)
\(sin(2x-6)=sin(2x+2T-6)\)   \(sinx \) fonksiyonunun periyodu \(2\pi\) olduğundan
\(2T=2\pi\)  ise \(T=\pi\) olarak bulunur.

 

NOT: \(a\neq0\) ve \(a,b,c \in R\)  olmak üzere 
\(sin(ax+b)+c\)  ve \(cos(ax+b)+c\)  fonksiyonlarının periyodu  \(\frac{2\pi}{| a |}\)  olur.

 

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlarının Periyotları 


   \(x\)
 
0      \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\)      \(\frac{3\pi}{2}\) \(2\pi\)      \(\frac{5\pi}{2}\) \(3\pi\)      \(\frac{7\pi}{2}\) \(4\pi\)  ....
\(tanx\) 0 tanımsız 0 tanımsız 0 tanımsız 0 tanımsız 0

 ....


Yukarıdaki değerleri incelediğimiz de  \(tanx\) fonksiyonunun  belirli aralıklarla tekrar ettiğini görüyoruz , bu yüzden \(tanx\) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu \(\pi\) dir.

 

 

  \(x\)   0 \(\frac{\pi}{2}\)   \(\pi\)


\(\frac{3\pi}{2}\) 

  \(2\pi\) \(\frac{5\pi}{2}\)   \(3\pi\) \(\frac{7\pi}{2}\)   \(4\pi\)   ....

\(cotx\)

 tanımsız  0  tanımsız   0  tanımsız   0  tanımsız   0  tanımsız   ....


Yukarıdaki değerleri incelediğimiz de  \(cotx\) fonksiyonunun  belirli aralıklarla tekrar ettiğini görüyoruz , bu yüzden \(cotx\) periyodik bir fonksiyondur ve periyodu \(\pi\) dir.
 

NOT: \(a\neq0\) ve \(a,b,c \in R\)  olmak üzere
\(tan(ax+b)+c\)  ve \(cot(ax+b)+c\)  fonksiyonlarının periyodu  \(\frac{\pi}{| a |}\)  olur.

 

Sinüs Fonksiyonunun Grafiği

\(f: R→[-1,1]\)\(f(x)=sinx\) fonksiyonunun periyodu \(2\pi\) olduğundan fonksiyon \([0,2\pi]\) aralığında çizilir ve grafik  ......\([-4\pi,-2\pi]\) ,\([-2\pi,0]\),\([0,2\pi]\),\([2\pi,4\pi]\)..... aralıklarında aynen tekrar eder.
Şimdi yukarıdaki \(sinx\)  fonksiyonunun değerleri üzerinden grafiği çizelim.
Yukarıdaki tablodan \(sinx\) fonksiyonunun \([0,2\pi]\) aralığındaki değerlerini analitik düzlemde işaretleyelim ve birleştirelim.
Bu grafiği periyot aralığında tekrarlayalım.

Yukarıdaki işaretli noktalar
\(P(0,0)\) ,  \(G(\frac{\pi}{2},1)\) , \(F(\pi,0)\)\(L(\frac{3\pi}{2},-1)\) ,\(K(2\pi,0)\) dır.

 

NOT: Yukarıdaki grafik incelendiğinde \(sinx\) fonksiyonu orjine göre simetriktir ve  orjine göre simetrik olan bir fonksiyon tek fonksiyondur.
\(f(-x)=sin(-x)=-f(x)=-sinx\)  olur.

 

Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

 

 \(f: R→[-1,1]\)\(f(x)=cosx\) fonksiyonunun periyodu \(2\pi\) olduğundan fonksiyon \([0,2\pi]\) aralığında çizilir ve grafik  ......\([-4\pi,-2\pi]\) ,\([-2\pi,0]\),\([0,2\pi]\),\([2\pi,4\pi]\)..... aralıklarında aynen tekrar eder.
Şimdi yukarıdaki \(cosx \)  fonksiyonunun değerleri üzerinden grafiği çizelim.
Yukarıdaki tablodan  \(cosx\) fonksiyonunun  \([0,2\pi]\) aralığındaki değerlerini analitik düzlemde işaretleyelim ve birleştirelim.
Bu grafiği periyot aralığında tekrarlayalım.

Yukarıdaki işaretli noktalar
\(M(0,1)\) ,  \(D(\frac{\pi}{2},0)\) , \(J(\pi,-1)\)\(E(\frac{3\pi}{2},0)\) ,\(K(2\pi,1)\) dır.
 

NOT: Yukarıdaki grafik incelendiğinde \(cosx\) fonksiyonu y eksenine  göre simetriktir ve y eksenine göre simetrik olan bir fonksiyon çift fonksiyondur.
\(cos(-x)=cosx\)  olur.

 

Tanjant  Fonksiyonunun Grafiği

\(f: R-\{\frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}→R\)   de tanımlı \(f(x)=tanx\)  fonksiyonunun periyodu \(\pi\) dir.
\((\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) aralığının uzunluğu \(\pi\) olduğundan bu aralıktaki \(tanx\)  fonksiyonunun grafiğini çizelim ve  fonksiyonun periyodu \(\pi\) olduğundan uzunluğu her \(\pi\) olan aralıkta grafiği tekrar ederek çizelim.
Şimdi yukarıdaki \(tanx\) tablosundan yararlanarak çizelim.

 

 

Yukarıdaki işaretli noktalar
\(O(-\pi,0)\) ,  \(J(\frac{-\pi}{2},0)\) , \(G(0,0)\)\(K(\frac{\pi}{2},0)\) ,\(E(\pi,0)\) dır.
Yukarıdaki \(tanx\) fonksiyonunda J,K tanımsızlık noktalarıdır. Fonksiyonun tanım aralığından \(\frac{\pi}{2}\) nin katlarında tanımsızdır.

NOT: Yukarıdaki grafik incelendiğinde \(tanx\) fonksiyonu orjine göre simetriktir ve  orjine göre simetrik olan bir fonksiyon tek fonksiyondur.
\(tan(-x)=-tanx\)  olur.

 

Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği

\(f: R-\{k.\pi,k\in Z\}→R\)  de tanımlı \(f(x)=cotx\)  fonksiyonunun periyodu \(\pi\) dir.
\((0,\pi)\) aralığının uzunluğu \(\pi\) olduğundan bu aralıktaki \(cotx\)  fonksiyonunun grafiğini çizelim ve  fonksiyonun periyodu \(\pi\) olduğundan uzunluğu her \(\pi\) olan aralıkta grafiği tekrar ederek çizelim.
Şimdi yukarıdaki \(cotx\) tablosundan yararlanarak çizelim.

 

Yukarıdaki işaretli noktalar
\(J(-\pi,0)\) ,  \(C(\frac{-\pi}{2},0)\) , \(K(0,0)\)\(D(\frac{\pi}{2},0)\) ,\(I(\pi,0)\) , \(E(\frac{3\pi}{2},0)\) dır.

Yukarıdaki \(cotx \) fonksiyonunda J ,K ,I değerleri tanımsızdır.  Fonksiyonun tanım aralığından \(\pi\) nin katlarında tanımsızdır.

NOT: Yukarıdaki grafik incelendiğinde \(cotx\) fonksiyonu orjine göre simetriktir ve  orjine göre simetrik olan bir fonksiyon tek fonksiyondur.
\(cot(-x)=-cotx\)  olur.

 

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 

Bir \(f\) fonksiyonunun tersinin olabilmesi için \(f\) fonksiyonunun bire bir ve örten olması gerekmektedir.
Yukarıda da gördüğümüz gibi trigonometrik fonksiyonlar bire bir ve örten değildirler, bu fonksiyonların tersinin tanımlanması için belirli aralıklarda tanımlanmaları gerekmektedir.

Sinüs Fonksiyonunun Tersi 

\(f:R→[-1,1]\) ,\(f(x)=sinx\)  fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu alt kümelerinden biri olan \([\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) aralığını tanım kümesi olarak alalım.
\(f:[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]→[-1,1]\) , \(f(x)=sinx \) fonksiyonu bire bir ve örten olur. Şimdi \(f(x)=sinx \) fonksiyonunun tersini tanımlayabiliriz.
\(f^{-1}:[-1,1]→[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)  , \(f^{-1}(x)=arcsinx\) fonksiyonuna sinüs fonksiyonunun tersi denir.
\(y=sinx ⇔x=arcsiny\) ve \(arcsin(sinx)=x\) olur.

ÖRNEK:

\(x=arcsin(\frac{4}{5})\) olduğuna göre \(tanx\) değerini bulunuz.

 

ÇÖZÜM:

\(y=sinx ⇔x=arcsiny\)
\(x=arcsin(\frac{4}{5})⇒sinx=sin(arcsin(\frac{4}{5}))\)
\(sinx=\frac{4}{5}\) 
olur.
Şimdi dik üçgenden yararlanarak tanx değerini bulalım.
 
ABC üçgeni 3-4-5 özel dik üçgeni olduğundan \(tanx=\frac{4}{3}\) olarak bulunur.

 

Kosinüs Fonksiyonunun Tersi

\(f:R→[-1,1]\) ,\(f(x)=cosx\)  fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu alt kümelerinden biri olan \([0,\pi]\) aralığını tanım kümesi olarak alalım.
\(f:[0,\pi]→[-1,1]\) , \(f(x)=cosx\) fonksiyonu bire bir ve örten olur. Şimdi \(f(x)=cosx\) fonksiyonunun tersini tanımlayabiliriz.
\(f^{-1}:[-1,1]→[0,\pi]\)  , \(f^{-1}(x)=arccosx\) fonksiyonuna kosinüs fonksiyonunun tersi denir.
\(y=cosx ⇔x=arccosy\) ve \(arccos(cosx)=x\) olur.

ÖRNEK:

\(x=arccos(\frac{1}{2})\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(y=cosx ⇔x=arccosy\)
\(x=arccos(\frac{1}{2})⇒cosx=cos(arccos(\frac{1}{2}))\)
\(cosx=\frac{1}{2}⇒x=\frac{\pi}{3}\)
 olarak bulunur.

 

Tanjant Fonksiyonunun Tersi 
 

\(f: R-\{\frac{\pi}{2}+k.\pi,k\in Z\}→R\) , \(f(x)=tanx\) fonksiyonu \((\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) aralığında bire bir ve örtendir .
Bu aralıkta ters fonksiyonu tanımlanabilir.
\(f:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})→R\)  olmak üzere \(f(x)=tanx\)  fonksiyonu bire bir ve örtendir.O halde tersi vardır.
\(f^{-1}:R→(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)\(f^{-1}(x)=arctanx\)  fonksiyonuna tanjant fonksiyonunun tersi denir.
\(y=tanx⇔x=arctany\) ve \(arctan(tanx)=x\) olur.

ÖRNEK:

 \(x=arctan(\sqrt{3})\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(y=tanx⇔x=arctany\)
\(x=arctan(\sqrt{3})⇒tanx=tan(arctan(\sqrt{3})\)
\(tanx=\sqrt{3}⇒x=\frac{\pi}{3}\)
 olarak bulunur

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

16 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 09.07.2020 16:51
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!