Şifre Sıfırlama

Trigonometrik Denklemler

İçerisinde trigonometrik fonksiyonları barındıran denklemlere trigonometrik denklemler denir.

\(sinx=a\) Denkleminin Çözüm Kümesi

 

ÖRNEK:

\(sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\) denkleminin \([0,2\pi)\) aralığında iki çözümü vardır.

1. bölgede \(x=\frac{\pi}{2}\) ve 2. bölgede \(x=\frac{3\pi}{4}\) tür.

\(sinx\) periyodik bir fonksiyon olduğundan ve periyodu \(2\pi\) olduğundan her \(2\pi\) periyotta aynı değer tekrar eder.

\(k\in Z\) olmak üzere \(sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\)  denkleminin  kökleri

\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)  ve \(x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\)  Buradan

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \) v \(x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\)}  bulunur.


NOT:
\(-1 \leq{b} \leq1\)  ve  \(sinx=b\) denkleminin köklerinden biri \(a\) olmak üzere çözüm kümesi 
Ç={\(x|x=a+2k\pi \) v \(x=(\pi-a)+2k\pi\) , \(k\in Z\)}  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(sinx=\frac{1}{2}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(sinx=\frac{1}{2}\) denkleminin \([0,2\pi)\) aralığında bir kökü  \(x=\frac{\pi}{6}\) olur.

Buradan çözüm kümesi 

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \) v \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) , \(k\in Z\) }

   ={\(x|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \) v \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\) , \(k\in Z\) } olarak bulunur.

 

NOT: \(sinx=a\) gibi denklemlerde 1. kök bulunduktan sonra 2. kök \(\pi\) den 1. kök çıkarılarak bulunur.

 

 \(cosx=a\) Denkleminin Çözüm Kümesi

 

ÖRNEK:

\(cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\) denkleminin \([0,2\pi)\) aralığında iki çözümü vardır.

1. bölgede \(x=\frac{\pi}{2}\) ve 4. bölgede \(x=\frac{7\pi}{4}\) tür.
\(cosx\) periyodik bir fonksiyon olduğundan ve periyodu \(2\pi\) olduğundan her \(2\pi\) periyotta aynı değer tekrar eder.

\(k\in Z\) olmak üzere \(cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}\)  denkleminin  kökleri

\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)  ve \(x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi\)  Buradan

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \) v \(x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi\)}  olarak bulunur.

NOT:
 \(cosx=b\) denkleminin köklerinden biri \(a\) olmak üzere çözüm kümesi 
Ç={\(x|x=a+2k\pi \) v \(x=-a+2k\pi\) , \(k\in Z\)}  olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\) denkleminin \([0,2\pi)\) aralığında bir kökü  \(x=\frac{\pi}{6}\) olur.

Buradan çözüm kümesi 

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \) v \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) , \(k\in Z\) } 

NOT:   \(cosx=a\) gibi denklemlerde 1. kök bulunduktan sonra 2. kök 1. kökün negatif işaretlisidir.

 

 \(tanx=a\) Denkleminin Çözüm Kümesi

 

ÖRNEK:

\(tanx=\sqrt{3}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(tanx=\sqrt{3}\)  denkleminin  \([0,\pi)\) nda bir kökü \(x=\frac{\pi}{3}\) tür.
\(tanx\) periyodik bir fonksiyon olduğundan ve periyodu \(\pi\) olduğundan her \(\pi\) periyotta aynı değer tekrar eder.

\(x=\frac{\pi}{3}+k\pi\) , \(k\in Z\) olarak bulunur. 

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{3}+k\pi \), \(k\in Z\) }  bulunur.

NOT:
  \(tanx=a\) denkleminin köklerinden biri \(a\) olmak üzere çözüm kümesi 
Ç={\(x|x=a+k\pi \),  \(k\in Z\)}  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(tanx=-\sqrt{3}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 

 \(tanx=-\sqrt{3}\) denkleminin \([0,2\pi)\) aralığında bir kökü  \(x=-\frac{\pi}{3}\) olur.

Buradan çözüm kümesi 

Ç={\(x|x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \), \(k\in Z\) } 

 

 \(cotx=a\) Denkleminin Çözüm Kümesi

 

ÖRNEK:

\(cotx=\sqrt{3}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(cotx=\sqrt{3}\)  denkleminin \([0,\pi)\) nda bir kökü \(x=\frac{\pi}{6}\) dir

\(cotx\) periyodik bir fonksiyon olduğundan ve periyodu \(\pi\) olduğundan her \(\pi\) periyotta aynı değer tekrar eder.

\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) , \(k\in Z\) olarak bulunur. 

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{6}+k\pi \), \(k\in Z\) }  bulunur.

NOT:
  \(cotx=a\) denkleminin köklerinden biri \(a\) olmak üzere çözüm kümesi 
Ç={\(x|x=a+k\pi \),  \(k\in Z\)}  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(cotx=1\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 

 \(cotx=1\) denkleminin \([0,\pi)\) nda  kökü  \(x=\frac{\pi}{4}\) olur.

Buradan çözüm kümesi 

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{4}+k\pi \), \(k\in Z\) } 

 

SONUÇ:
   \(sinf(x)=sing(x)\)  ise \(f(x)=g(x)+2k\pi\)  veya  \(f(x)=\pi-g(x)+2k\pi\)
  \(cosf(x)=cosg(x)\)  ise \(f(x)=g(x)+2k\pi\)  veya  \(f(x)=-g(x)+2k\pi\)
  \(tanf(x)=tang(x)\)  ise \(f(x)=g(x)+k\pi\)
  \(cotf(x)=cotg(x)\)  ise \(f(x)=g(x)+k\pi\)

 

ÖRNEK:

\(2sin2x=\sqrt{3}\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(2sin2x=\sqrt{3}\)

\(sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)   Buradan

\(2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)   veya   \(2x=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)  

\(x=\frac{\pi}{6}+k\pi\)       veya    \(x=\frac{2\pi}{6}+k\pi\)  şeklinde bulunur.

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{6}+k\pi\) v \(x=\frac{2\pi}{6}+k\pi\)\(k\in Z\)}

 

ÖRNEK:

\(sin(2x+\frac{\pi}{6})=cos(4x-\frac{\pi}{3})\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(sin(2x+\frac{\pi}{6})=cos(4x-\frac{\pi}{3})\) ⇒ \(cos(\frac{\pi}{2}-(2x+\frac{\pi}{6}))=cos(4x-\frac{\pi}{3})\)

\(cos(\frac{\pi}{2}-(2x+\frac{\pi}{6}))=cos(4x-\frac{\pi}{3})\) ⇒  \(cos(-2x+\frac{\pi}{3})=cos(4x-\frac{\pi}{3})\)

\(-2x+\frac{\pi}{3}=4x-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)  veya  \(-2x+\frac{\pi}{3}=-(4x-\frac{\pi}{3})+2k\pi\)

\(-6x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\)  veya \(2x=2k\pi\)

\(x=\frac{\pi }{9}-\frac{k\pi}{3}\) veya \(x=k\pi\)  olur.

Ç={\(x|x=\frac{\pi}{9}-\frac{k\pi}{3} \) v \(x=k\pi\) , \(k\in Z\)} olarak bulunur.

 

NOT:
   \(sinf(x)=0\) ⇒ \(f(x)=k\pi\)

    \(sinf(x)=1\) ⇒ \(f(x)=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) 
   \(sinf(x)=-1\) ⇒ \(f(x)=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)

   \(cosf(x)=0\) ⇒ \(f(x)=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
   \(cosf(x)=1\) ⇒ \(f(x)=2k\pi\)
   \(cosf(x)=-1\) ⇒ \(f(x)=\pi+2k\pi\)

 

ÖRNEK:

\(sin4x-2sin2x=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(sin4x-2sin2x=0\) ⇒ \(2sin2x.cos2x-2sin2x=0\) 
\(2sin2x(cos2x-1)=0\)   
Buradan 

\(sin2x=0\) veya \(cos2x=1\)

\(2x=k\pi\)  veya \(2x=2k\pi\)

\(x=\frac{k\pi}{2}\)  veya \(x=k\pi\) olur.

Ç={\(x|x=\frac{k\pi}{2}\) v \(x=k\pi\) , \(k\in Z\)} olarak bulunur.

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

12 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 27.07.2020 10:04
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!