Şifre Sıfırlama

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri

 

Tekrar Edelim:
Yukarıdaki ABC dik üçgeninde 
\(sina=\frac{a}{c}\)
\(cosa=\frac{b}{c}\)
\(tana=\frac{a}{b}\)
\(cota=\frac{b}{a}\)  
olur.

 

Kosinüs İçin Toplam ve Fark Formülleri

\(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)

\(cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb\)

 

Sinüs İçin Toplam ve Fark Formülleri

\(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)  formülünde  \(a\) yerine \(\frac{\pi}{2}-a\) yazarsak 
\(sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb\) formülünü elde ederiz.
Elde ettiğimiz formülde \(b \) yerine \(-b\) yazarsak 
\(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)  formülünü elde ederiz.

ÖRNEK:

\(sin105°\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°.sin45°\) olarak yazılır.
\(sin60°.cos45°+cos60°.sin45°=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+{\sqrt{2}}}{4}\) olarak bulunur.
 

Tanjant ve Kotanjant İçin Toplam ve Fark Formülleri

\(tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\)
\(tan(a-b)=\frac{tanatanb}{1+tana.tanb}\)

\(cot(a+b)=\frac{cota.cotb-1}{cota+cotb}=\frac{1}{tan(a+b)}\)
\(cot(a-b)=\frac{cota.cotb+1}{cota-cotb}=\frac{1}{tan(a-b)}\)

tanjant ve kotanjant için toplam fark formülleridir.

Sonuç Olarak:
 \(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)
\(cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb\)
\(sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb\)
\(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)
\(tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\)
\(tan(a-b)=\frac{tanatanb}{1+tana.tanb}\)
\(cot(a+b)=\frac{cota.cotb-1}{cota+cotb}=\frac{1}{tan(a+b)}\)
\(cot(a-b)=\frac{1}{tan(a-b)}\)

 


ÖRNEK:

\(cot105°\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(cot105°\) nin değerini bulmak için önce \(tan105°\) yi bulalım.
\(tan(105°)=tan(60°+45°)\)
\(tan(60°+45°)=\frac{tan60°+tan45°}{1-tan60°.tan45°}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}.1}\) olur.
Paydayı eşleniği ile çarpalım.

\(\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}.1}=\frac{(1+\sqrt{3}).(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3}).(1+\sqrt{3})}=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{1+\sqrt{3}-\sqrt{3}-3}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}=-(2+\sqrt{3})\)  
olarak bulunur.
\(cot(a+b)=\frac{1}{tan(a+b)}\) olduğundan  \(cot(105°)=\frac{1}{tan105°}=\frac{1}{-(2+\sqrt{3})}\)  olur.
Paydayı eşleniği ile çarpalım.
\(\frac{(-2+\sqrt{3})}{(-2-\sqrt{3}).(-2+\sqrt{3})}=\frac{-2+\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3}=\frac{-2+\sqrt{3}}{1}=-2+\sqrt{3}\) 
\(cot(105°)=-2+\sqrt{3}\) 
olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(cos75°.cos15+sin75°.sin15°\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb\)  olduğundan yukarıdaki ifade 
\(cos75°.cos15°+sin75°.sin15°=cos(75°​​-15°)=cos60°\) ye eşit olur ve
\(cos60°=\frac{1}{2}\) olarak bulunur.

 

 

İki Kat Açı Formülleri

İki kat açı formülleri bir açının iki katının trigonometrik değeri ile bu açının arasındaki bağıntıların ifade edildiği formüllerdir.
 

Kosinüs ve Sinüs İki Kat Açı Formülleri

\(cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb\)  toplam formülünde \(b\) yerine \(a\) yazarsak
\(cos(a+a)=cosa.cosa-sina.sina=cos^2a-sin^2a\)  formülünü elde ederiz.

\(sin^2x+cos^2x=1\) özdeşliğinden yararlanarak
\(cos(2a)=cos^2a-sin^2a\) formülünde
\(sin^2a\) yerine \(1-cos^2a\)  yazarsak    \(cos(2a)=2cos^2a-1\) ve 
\(cos^2a\) yerine \(1-sin^2a\) yazarsak     \(cos(2a)=1-2sin^2a\)  formülünü elde ederiz.

 

\(sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb\)  toplam formülünde \(b\) yerine \(a\)yazarsak 
\(sin(a+a)=sina.cosa+cosa.sina\)
\(sin(2a)=2sina.cosa\) formülünü elde ederiz.

 

Tanjant ve Kotanjant İki Kat Açı Formülleri

\(tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana.tanb}\) toplam formülünde \(b\) yerine \(a\) yazarsak 
\(tan(a+a)=\frac{tana+tana}{1-tana.tana}\)
\(tan(2a)=\frac{2tana}{1-tan^2a}\) formülünü elde ederiz.

 

\(cot(a+b)=\frac{cota.cotb-1}{cota+cotb}\) toplam formülünde \(b\) yerine \(a\) yazarsak 
\(cot(a+a)=\frac{cota.cota-1}{cota+cota}\)
\(cot(2a)=\frac{cot^2a-1}{2cota}=\frac{1}{tan(2a)}\) formülünü elde ederiz.

 

ÖRNEK:

\(\frac{sin40°}{sin20°}.cos20°-1\) ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{sin40°}{sin20°}.cos20°-1=\frac{2.sin20°.cos20°}{sin20°}.cos20°-1\)
\(\frac{2.sin20°.cos20°}{sin20°}.cos20°-1=2.cos20°.cos20°-1=2cos^220°-1=cos40°\)
olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(cotx=\frac{4}{3}\) olduğuna göre \(tan(2x) \) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(tanx=\frac{1}{cotx}\) olduğundan  \(cotx=\frac{4}{3}\) ise \(tanx=\frac{3}{4}\) olur.
\(tan(2x)=\frac{2tanx}{1-tan^2x}=\frac{2.\frac{3}{4}}{1-(\frac{3}{4})^2}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7}\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(\frac{cos^2x-sin^2x}{2.sinx.cosx}.\frac{1}{cot2x}\) ifadesinin en sade halini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(cos(2x)=cos^2x-sin^2x\) ve \(sin(2x)=2sinx.cosx\) olduğundan 
\(\frac{cos^2x-sin^2x}{2.sinx.cosx}.\frac{1}{cot2x}=\frac{cos2x}{sin2x}.\frac{1}{cot2x}=cot2x.\frac{1}{cot2x}=1\) olarak bulunur.


 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

34 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 23.07.2020 11:03
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!