Şifre Sıfırlama

Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Çarpanlara Ayırma

  • P(x),B(x) ve K(x) birer polinom olmak üzere P(x)=B(x).K(x) şeklinde yazılabiliyorsa B(x) ve K(x) polinomları, P(x) polinomunun çarpanlarıdır. 
  • P(x) polinomu, sabit polinom olmamak koşulu ile en az iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa P(x) polinomuna çarpanlara ayrılabilen polinom(indirgenebilir polinom); yazılamıyorsa çarpanlara ayrılamayan polinom(indirgenemeyen polinom) denir.
  • Başkatsayısı \(1\) olan ve çarpanlarına ayrılamayan polinoma asal polinom denir.
  • Bir polinomun kendi derecesinden daha düşük derecedeki iki veye daha fazla polinomun çarpımı şeklinde yazılmasına o polinomun çarpanlara ayrılması denir.

Örneğin \(P(x)=x^3-1\) polinomu, \(P(x)=(x-1).(x^2+x+1)\) şeklinde yazılabildiği için \((x-1)\) ve \((x^2+x+1)\) polinomları \(P(x)\) polinomunun çarpanlarıdır. 

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Ortak Çarpan Parantezine Alma Yöntemi

 Bir ifade çarpanlarına ayrılırken ifadenin her teriminde ortak çarpan varsa; polinomdaki tüm terimler bu ortak çarpana bölünür. Sonra parantez dışarısına bu ortak çarpan yazılır ve parantez içerisine de yaptığımız bölme sonucu oluşan yeni terimler yazılır. Elde edilen sonuç polinomun ortak paranteze alınmış hali olur. Örneğin \(P(x)=x^2yz^3-x^3z\) polinomunda her terinde \(x^2z\) ortak çarpan olarak bulunur. O halde P(x) in ortak paranteze alınmış şekli \((x^2z).(yz^2-x)\)'dir.

NOT: \(n\in Z\) olmak üzere \((x-y)^{2n}=(y-x)^{2n}\) ve \((x-y)^{2n+1}=(-1)(y-x)^{2n+1}\) eşitlikleri geçerlidir.

ÖRNEK

\((2x-3y)^4-(3y-2x)^3\) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM

\((2x-3y)^4=(3y-2x)^4\) olduğundan \((2x-3y)^4-(3y-2x)^3\)=\((3y-2x)^4-(3y-2x)^3\)=\((3y-2x)^3.(3y-2x)-(3y-2x)^3.1=(3y-2x)^3.(3y-2x+1)\) bulunur.

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Verilen bir ifade de bazı terimlerinde ortak çarpan bulunabilir veya bazı gruplar halinde ortak çarpanları bulunabilir. Bu durumda ortak çarpanı olan terimler ortak çarpan paranteze alınır ve çarpanlara ayırma işlemi yapılır.

\(K(x).M(x)+L(x).N(x)+K(x).L(x)+M(x).N(x)\) ifadesini ele alalım.

=\([K(x).M(x)+K(x).L(x)]+[L(x).N(x)+M(x).N(x)]\) ilk terim ve üçüncü terimi ortak çarpan parantezine alınmak için yan yana bir köşeli paranteze alınmştır. Aynı şekilde ikinci ve dördüncü terimlere de aynı şey uygulanmıştır.

=\(K(x)[M(x)+L(x)]+N(x)[M(x)+L(x)]\) sonra birinci ve üçüncü terimler K(x) parantezine alınırken ikinci ve dördüncü terimler N(x) parantezine alınır.

=\((K(x)+N(x)).(M(x)+L(x))\) son olarak oluşan terimleri M(x)+L(x) parantezine alıp çarpanlara ayırma işlemi tamamlanmış olur.

ÖRNEK

\(x^3-2x^2+x-2\) ifadesinin terimlerini gruplandırarak çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM

\(x^3-2x^2+x-2\) ifadesinde bulunan \(x^3\) ve \(-2x^2\) terimlerini \(x^2\) parantezine alarak \(x^2(x-2)\) elde edilir. Benzer şekilde \(x\) ve \(-2\) termleri de \(1\) parantezine alınarak \(1.(x-2)\) elde edilir. elde edilen iki ifadeye bakacak olursak \((x-2)\) ler ortaktır. Bunlarıda \((x-2)\) parantezine alacak olursak \((x-2).(x^2+1)\) elde edilir.

Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Polinomlarda çarpanlara ayırma işlemi yapılırken şu özdeşliklerden faydalanılabilir.

  • \(x^2-y^2=(x+y).(x-y)\) (iki kare farkı özdeşliği)
  • \(x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)\) (iki küp farkı özdeşliği)
  • \(x^3+y^3=(x+y).(x^2-xy+y^2)\) (iki küp toplamı özdeşliği)
  • \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)\((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) ve \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\) tam kare ifadelerdir.
  • \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) ve \((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\) ifadeleri tam küp ifadelerdir.
NOT: \(n\in Z^+\) olmak koşulu ile \((x^n-y^n)=(x-y).(x^{n-1}.y^0+x^{n-2}.y^1+...+x^1.y^{n-2}+x^0.y^{n-1})\) eşitliği sağlanır. Ayrıca \((x^n+y^n)=(x-y).(x^{n-1}.y^0-x^{n-2}.y^1+...-x^1.y^{n-2}+x^0.y^{n-1})\) eşitliği de \(n\) sayısının pozitif tek sayılardan olduğu zaman sağlanmaktadır.

ÖRNEK

\(\cfrac{(x^6-1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}=36\) ise bu eşitliği sağlayan \(x\) değerlerinin toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM

  • \(\cfrac{(x^6-1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}=\cfrac{((x^2)^3-1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}\)(\(x^6\) ifadesi \(x^2\)'nin küpü olduğu için ifade bu hale getirilebilir. Bu işlem yapmamızda kolaylık sağlayacaktır.)
  • \(\cfrac{((x^2)^3-1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}=\cfrac{(x^2-1).(x^4+x^2+1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}\) (\((x^2)^3-1^3\) ifadesinin küp kök açılımı yapıldı)
  • \(\cfrac{(x^2-1).(x^4+x^2+1).(x-1)}{(x^4+x^2+1).(x+1)}=\cfrac{(x^2-1).(x-1)}{x+1}\) ( Burada ise pay ve paydada ortak olan \((x^4+x^2+1)\) ifadeleri sadeleştirildi.)
  • \(\cfrac{(x^2-1).(x-1)}{x+1}=\cfrac{(x-1).(x+1).(x-1)}{x+1}\) ( Burada ise (\(x^2-1\)) ifadesi iki kare farkı açılımı yapıldı.)
  • \(\cfrac{(x-1).(x+1).(x-1)}{x+1}=(x-1)^2=36\) ( Burada ise pay ve paydadaki \((x+1)\)'ler sadeleştirilerek ilk başta verilen ifadenin en sade haline ulaşmış olduk)
  • Son olarak \((x-1)^2=36\) ise \(x-1=6\) ya da \(x-1=-6\)'dır. \(x-1=6\) ise \(x=7\) ve \(x-1=-6\) ise \(x=-5\)'tir. O halde bu sayıların toplamı \(7+(-5)=2\)'dir.

Değişken Değiştirme İle Çarpanlara Ayırma Yöntemi 

Değişken değiştirme yöntemi, karmaşık ifadeleri daha bilindik hale (örneğin iki kare farkı) getirerek bu ifadelerin çözümünü kolaylaştırır. İfade çarpanlarına ayrıldıktan sonra yeni değişkene göre elde edilen sonuç, verilen değişkene göre düzenlenir.

ÖRNEK

\(\sqrt{1449.1457+16}\) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM

\(1449\) sayısına \(x\) dersek \(1457\) sayısı \(x+8\) olur. O halde işlemimiz \(\sqrt{a.(a+8)+16}=\sqrt{x^2+8x+16}=\sqrt{(x+4)^2}\) şekline gelir. Son olarak \(\sqrt{(x+4)^2}=|x+4|\)'dir. \(|x+4|=|1449+4|=|1453|=1453\) bulunur. 

\(ax^2+bx+c\) Biçimindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması

\(m,n\in R\) ve \(a=1\) olduğu durumlarda;  \(b=m+n\) ve \(c=m.n\) olacak şekilde \(ax^2+bx+c\) şeklinde ki üç terimli ifadeler \(ax^2+bx+c=x^2+(m+n)x+m.n=(x+m).(x+n)\) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Örneğin \(x^2+5x-6=0\) ifadesi \(x^2+5x-6=x^2+(6+(-1))x+(6.(-1))=(x+6).(x-1)\) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.

ÖRNEK

\(x^6-3x^3-4\) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM

  • \(x^6-3x^3-4=(x^3)^2-3(x^3)^1-4\) (\(x^6\) ifadesi \(x^3\)'ün karesidir. Burada ifade  \(ax^2+bx+c\) biçimine getirilmeye çalışıldı.)
  • İfademizin yeni halinde \(x^3=k\) değişken değiştirme işlemi yapılacak olursa ifademiz \((x^3)^2-3(x^3)^1-4=t^2-3t-4\) şeklini alır.(burada ifade tam da istediğimiz şekle getirildi.)
  • \(t^2-3t-4=(t-4).(t+1)\) ( ifademizi çarpanlara ayırdık.)
  • \(t=x^3\) olduğundan  \((t-4).(t+1)=(x^3-4).(x^3+1)\) ifademizin asıl haline ulaşmış olduk.

Terim Ekleyip Çıkarma Yoluyla Çarpanlarına Ayırma

Çarpanlarına ayıracağımız ifade bildiğimiz şekillerde değilse; uygun terimler eklenip çıkarılarak bilinen özdeşlik, tam kare gibi ifadelere benzetilerek çarpanlarına ayrılır.

ÖRNEK

\(16x^4+7x^2y^2+y^4\) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

ÇÖZÜM

  • \(16x^4+7x^2y^2+y^4\)=\((8x^4+8x^2y^2+y^4)-(x^2y^2)\) ifadesine \(x^2y^2\) eklenip çıkarıldı.
  • \((16x^4+8x^2y^2+y^4)-(x^2y^2)=(8x^2+y^2)^2-(x.y)^2\)  (iki kare farkı uygulanmalı)
  • \((8x^2+y^2)^2-(x.y)^2=(8x^2+y^2+xy).(8x^2+y^2-xy)\)  ifademizin çarpanlarına ayrılmış şeklidir.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

20 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 20.07.2020 21:28
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!