Şifre Sıfırlama

Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler

Polinomlarda Temel Kavramlar

\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),...,\(a_n\) sayıları gerçel sayılar kümesinin elemanı olacak ve \(a_n\) sayısı \(0\) dan farklı olacak şekilde, \(x\) değişken ve n\(\in\)N olmak üzere P(x)=\(a_n\).\(x^n\)+...\(a_2\).\(x^2\)+\(a_1\).\(x^1\)+\(a_0\).\(x^0\) şeklindeki ifadelere \(n.\) dereceden reel katsayılı bir Polinom denir.

  • \(a_n\).\(x^n\),\(a_2\).\(x^2\),\(a_1\).\(x^1\),\(a_0\).\(x^0\)  ifadelerine polinomun terimleri denir.  \(a_n\),..,\(a_2\),\(a_1\),\(a_0\) sayıları polinomun katsayılarıdır.
  • Terimler içerisinde , kuvveti en büyük olan terimin kuvvetine  polinomun derecesi denir ve \(der[P(x)]\) ile gösterilir
  • Kuvveti \(0\) olan terimin (yani değişken bulundurmayan terim) katsayısına Sabit terim denir ek olarak derecesi en yüksek terimin katsayısına Polinomun Başkatsayısı denir

ÖRNEK

 P(x)=\(3x^4+5x+8\) polinomu verilsin. P(x) polinomunun derecesini , başkatsayısını , sabit terimini bulunuz?

ÇÖZÜM

 Polinomun derecesi polinomdaki terimlerde üssü en büyük olan terimin derecesidir. O halde \(der[P(x)]=4\) tür. Ayrıca üssü en büyük terimin katsayısı bize polinomun başkatsayısını verecektir. Yani polinomun başkatsayısı \(3\)'tür. P(x) polinomunda değişken bulundurmayan \(8\) ise polinomun sabit terimidir.

NOT: Bir polinomda sabit terimi bulmanın bir yolu da o polinomdaki değişken yerine \(0\) yazmaktır. Yani Sabit terim=P(0) dır.
NOT: Bir polinomda terimlerin katsayılar toplamı bulunmak isteniyorsa o polinomdaki değişken yerine \(1\) yazılması yeterlidir.Yani Terşm katsayılar toplamı=P(1) dir.

TANIM: Sabit terimi dışındaki tüm terimlerinin katsayıları \(0\) olan polinama Sabit polinom denir. Eğer sabit terim de \(0\) ise polinoma Sıfır polinom denir. Sabit polinomun derecesi \(0\) iken sıfır polinomun derecesi belli değildir.

TANIM: Eğer iki polinom eşit ise bu iki polinom şunlara uyar:

  • Bu iki polinomun dereceleri eşit olmalıdır.
  • Aynı dereceli terimlerin katsayıları da eşit olmalıdır

Bu tip polinomlara eşit polinomlar denir.

ÖRNEK

P(x)=\((2n+5)x^3+5x^2+7\) ve Q(x)=\((3n-2)x^3+(m+3)x^2+(z-2)x+k+4\) polinomları verilsin. Bu iki polinom eşit polinomlar ise n,m,z,k değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

İki polinomun eşitliğine bakarken ilk yapacağımız şey bu polinomların derecelerinin eşit olup olmadığına bakacaktık. Polinomlara baktığımızda derecelerinin \(3\) olduğunu görüyoruz. Yani ilk adımda bir sıkıntı çıkmadı. İkinci adımda ise üsleri eşit tüm terimlerin eşit olması gerekir. Yani:

1)\(2n+5=3n-2\) olmalıdır.O halde \(n=7\)' dir.

2) \(5=m+3\) olmalıdır. O halde \(m=2\)' dir.

3) \(0=z-2\)' dir.Buradan\(z=2\) olur.( P(x) polinomunun \(x^1\)' li terimi olmadığı için \(0\).\(x^1\) şeklinde yazılabilir. Bundan dolayı \(x^1\) li terimin katsayısı 0'dır dedik.)

4) \(7=k+4\)' tür.Bu eşitlikten k' nın 3 olduğu görülür.

Sonuç olarak yukarıdaki işlemlerden \(n=7,m=2,z=2,k=3\) olduğunu görmüş olduk.

TANIM: Bir polinomun birden çok değişgeni varsa bu polinoma çok değişkenli polinom denir. P(x,y,z...) şeklinde gösterilir.Çok değişkenli polinomlarda kuvvetler doğal sayılardan oluşur. Polinomun derecesi de terimlerin derecelerinden en büyük olandır.

ÖRNEK

P(x,y)=\(5x^2y^3+5x^2y+8x+2y+9\) polinomunun derecesi kaçtır?

ÇÖZÜM

\(5x^2y^3\) teriminin derecesi \(2+3=5\)' tir.(Bilinmeyenler çarpım durumunda ise bilinmeyenlerin üsleri toplanır. \(5x^2y\) teriminin derecesi \(2+1=3\)' tür. \(8x\) ve \(2y\)' nin birinci dereceden ve \(9\)' un sabit sayı olduğunu açıkça görmekteyiz. P(x) polinomunun derecesi terimlerinin derecelerinden en büyük olması gerektiği için \(5\)' tir.

Polinomlarda İşlemler

Polinomlarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken aynı dereceli terimler kendi aralarında toplama ve çıkarma işlemleri uygulanırken farklı dereceli terimler olduğu gibi kalırlar. Bu işlemler yapıldıktan sonra sonuç tekrar bir polinom olacaktır ve bu polinomun derecesi derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. Kısacası:

der[P(x)]=a ve der[Q(x)]=b ve b>a olsun. O halde der[P(x)+Q(x)]=b=der[P(x)-Q(x)] olur.

 ÖRNEK

 P(x)=\(5x^2+7x-3\), Q(x)=\(x^3-3x+4\)  polinomlarının toplamını ve oluşan polinomun derecesini bulunuz.

ÇÖZÜM

P(x)+Q(x)=( \(5x^2+7x-3\) )+(\(x^3-3x+4\))=\(x^3+x^2\)+\(x(7+(-3))+((-3)+4)\)=\(x^3+x^2\)+\(4x+1\) olur. Buradan P(x)+Q(x)' in derecesinin \(3\) olduğuda görünmektedir. Yani P(x)+Q(x)' in derecesinin derecesi büyük olan Q(x)' in derecesine eşittir.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

İki polinom arasında çarpma işlemi yapılırken birinci polinomun tüm terimleri ile ikinci polinomun terimleri ile ayrı ayrı çarpılır ve oluşan yeni terimler toplanır. Polinomlarda çarpma işleminin bazı özellikleri şunlardır:

der[P(x)]=a ve der[Q(x)]=b olsun.

  • der[P(x).Q(x)]= \(a+b\) olur.
  • der[\(P^k\)(x)]=der[P(\(x^k\))]=\(a.k\)' dır.
  • der{P[Q(x)]}= \(a.b\) dir.

ÖRNEK 

P(x)=\(x^2+2\) ve Q(x)=\(x^3+5x\)' tir. Buna göre P(x).Q(x) işlemi sonucu oluşacak polinomu bulunuz.

ÇÖZÜM

 P(x).Q(x)=(\(x^2+2\)).(\(x^3+5x\))

                                 =\(x^2.x^3\)+\(x^2.5x\)+\(2.x^3\)+\(2.5x\)

                                 =\(x^5\)+\(5x^3\)+\(2x^3\)+\(10x\)

                                 =\(x^5\)+\(7x^3\)+\(10x\) bulunur.

Polinomlarda Bölme İşlemi

P(X)=Bölünen, Q(x) =Bölen, B(x)=Bölüm, K(x)=Kalan polinomudur.

P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x)\(\neq\)0  ve der[P(x)]\(\geq\)der[Q(x)] olmak üzere

  • der[K(x)]
  • K(x)=0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür denir.
  • der[P(x)]=a ve der[Q(x)]=b ise der[P(x)/Q(x)]= \(a-b\) olur.

ÖRNEK

P(x)= \(\frac{x^3+2}{x+1}\) bölme işlemi sonucunda bölüm ve kalan polinomlarını bulunuz.

ÇÖZÜM

Polinomlarda bölme işlemi yapma yöntemlerinden birisi paydaki polinomu paydadaki polinoma tam bölünebilecek hale getirmeye çalışarak farklı polinomlara ayırmaktır. Bu doğrultuda  \(x^3+2\) polinomu  \((x^3+1)+1\) şeklinde yazılabilir. O halde polinomumuz \(\cfrac{x^3+1}{x+1}\)+\(\cfrac{1}{x+1}\) haline gelir. Sonra \(x^3+1=(x+1).(x^2-x+1)\) olduğundan \(\cfrac{(x+1).(x^2-x+1)}{x+1}\)+\(\cfrac{1}{x+1}\) şeklinde yazılır. Buradan sonra çarpım durumunda oldukları için (\(x+1\))'ler sadeleştirebiliriz. Ve polinomun son hali \(x^2-x+1\)\(\cfrac{1}{x+1}\) olur. Buradan bölüm=\(x^2-x+1\) kalan ise \(1\)'dir. 

Polinomlarda Bölme İşleminde Kalan Bulma

Yukarıdaki bölme işlemindeki gibi bölen polinomumuz \(ax+b\) şeklinde ise kalanı bulmak için yapmamız gereken ilk şey \(ax+b\) polinomunu "\(0\)" a eşitleyip bu eşitliği sağlayan \(x \) değerini bulmaktır. O halde  bu \(x\) değeri \(-\cfrac{b}{a}\)'ya eşit olur. Sonra kalanı bulmak için bu \(-\cfrac{b}{a}\) değerini polinomda \(x \) yerine yazdığımız zaman P(x) polinomunun \(ax+b\) polinomuna bölümünden kalanı bulmuş oluruz.

NOT: Yukarıdaki bölme işlemine baktığımızda \(P(x)=(ax+b).B(x)+K\) olduğu açıkça görünmektedir. Burada görüldüğü gibi \(ax+b\)'nin  "\(0\)" olduğu durumda eşitliğin sağında sadece \(K\)(yani kalan) kalmaktadır. Yani eşitliğin sağında, sadece istemiş olduğumuz kalanı yalnız bırakmak olduğundan \(ax+b\)'yi "\(0\)" a eşitleriz. 

ÖRNEK

P(x)=\(x^3-2x+3\) polinomunun Q(x)=\(x-2\) polinomuna bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM

P(x)'in Q(x)'e bölümünden kalanı bulmak için Q(x)'i \(0\)'a eşitleriz yani \(x-2=0\)\(x=2\)'dir. P(x) polinomunda \(x\) yerine \(2\) yazarsak kalanı elde ederiz.\(2^3-2.2+3=7\) elde edilir yani P(x)'in Q(x)'e bölümünden kalan \(7\)'dir.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

22 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 03.06.2020 17:25
Son Güncelleme: 31.07.2020 22:03

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!