Şifre Sıfırlama

Özel Dörtgenler

Dörtgenler isimlerini kenar ve açı özelliklerine göre alırlar. Bunlar yamuk, paralelkenar, kare, dikdörtgen, deltoit, eşkenar dörtgendir.

Yamuk

TANIM: En az iki kenarı paralel olan dörtgenlere yamuk denir. Paralel olan kenarlar alt ve üst taban olarak, diğer kenarlara yan kenarlar denir. Alt taban, üst taban ve yan tabanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Yamuk İle İlgili Özellikler

1) Ortak yan kenarı  bulunan iç açıların toplamı \(180\)º'dir. Aşağıdaki şekle göre \(x+t=180\) ve \(y+z=180\)'dir.

2) Yamuğun orta tabanı; yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır ve alt taban ile üst tabana paraleldir. Ayrıca bir yamukta alt taban ve üst taban arasındaki en kısa mesafe o yamuğun yüksekliğidir.

3) Ortak yan kenarı bulunan açıların açıortayları orta taban üzerinde dik kesişirler.

 

 

ÖRNEK

Yukarıda verilen ABCD yamuğunda AG ve CG açıortaydır. O halde \(x\) kaç cm'dir?

ÇÖZÜM

AG ve CG ortak yan kenara sahip açıortaylar olduğu için bunlar orta tabanda dik kesişirler. AGC'den AC'ye inen kenar ortayın uzunluğu AC'nin yarı uzunluğu kadar olacaktır. O halde \(|EG|=11cm\) olur. Buradan orta taban \(11+7=18cm\) bulunur. Sonra orta tabanın uzunluğu alt taban ve üst tabanın uzunlukları toplamının yarısına eşit olduğunu öğrenmiştik. O halde \(18=\cfrac{10+x}{2}\) ve \(x=26cm\) bulunur.

4) Yan kenar uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. Ortak kenarı alt taban olan açıların ölçüleri birbirine eşitken; ortak tabanı üst taban olan açılarda birbirine eşittir.

5) İkizkenar yamukta üst tabanın uç noktalarından alt tabana inen dikmeler ile o dikmenin indiği nokta ile bu noktaya alt tabana ait en yakın noktanın uzunluğu alt taban ve üst taban arasındaki uzunluk farkının yarısına eşittir.

Şekle göre \(|CF|=\cfrac{c-a}{2}\)'dir.

6) Köşeğenleri dik kesişen ikizkenar yamuğun yüksekliği alt taban ve üst tabanın uzunlukları toplamının yarısı (yani orta tabanın uzunluğu ) kadardır.

 Şekilde gösterilen ve verilen bilgiye göre \(h=\cfrac{a+c}{2}\)'dir.

7) Bir yan kenarı tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Bu tip yamukların yüksekliği alt taban ve üst tabanın çarpımının kareköküne eşittir.

Şekilde gösterilen ve verilen bilgiye göre \(h=\sqrt{x.y}\)'dir.

ÖRNEK

Şekilde \(|AC|=14cm\) ve \(|AB|=7cm\) ve köşeğenleri dik kesişen bir dik yamuk verilmiştir. Buna göre alt tabanın uzunluğu kaç \(cm\)'dir?

ÇÖZÜM

Dik yamukların yüksekliği alt taban ve üst tabanın çarpımının kareköküne eşittir. Buna göre \(14=\sqrt{7.x}\) olur ve buradan \(x=28cm\) bulunur.

8) Alt taban ve üst tabanın uzunluklar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı bize yamığun alanını verir.

Şekildeki ABCD yamuğunun alanı \(\cfrac{(a+k)}{2}.h\) şeklinde hesaplanır.

9) Aşağıdaki şekilde bulunan  ABCD yamuğunda köşegenlerle oluşan üçgenlerin alanları arasında \(A_2.A_4=A_1.A_3\) ve \(A_1=A_3\) şeklinde bağıntılar vardır 

10) Bir yamukta yan kenarlardan birini taban olarak kabul eden ve seçilmeyen yan kenarın orta noktasını tepe noktası olarak kabul eden üçgenin alanı yamuğun alanının yarısına eşittir. 

 yani BEC üçgeninin alanı ABCD yamuğunun alanının yarısına eşittir.

Paralelkenar

Yamuğun tüm özellikleri paralelkenarlar içinde geçerlidir. Ek olarak karşılıklı bulunan kenarları birbirine paraleldir. Bundan dolayı ismi paralelkenardır.

Özellikler

1) Paralel kenarlarda bulunan karşılıklı kenarların uzunlukları ve karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir. Ayrıca ortak bir kenarı bulunan iki açının ölçüler toplamı \(180\)º'dir.

Şekildeki paralelkenara göre:

\(|AB|=|DC|\) ve \(|AD|=|BC|\)'dir. Ayrıca DAB açısı ve DCB açılarının ölçüleri birbirine eşitken ABC açısı ve ADC açılarının ölçüleri birbirine eşittir. Ek olarak \(\alpha+\beta=180\)º'dir.

2) Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. Ayrıca köşegenler paralel kenarı \(4\) eşit alana bölerler.

3) 

 Paralelkenarın alanı şu şekillerde hesaplanabilir:

  • Taban kenarın uzunluğu ile yüksekliğin çarpımı yani \(|DC|.h\) şeklinde hesaplanabilir.
  • Ardışık iki kenarın ve bu iki kenar arasında oluşan açının sinüs değeri ile çarpımının yarısı yani \(|AD|.|DC|.sin\alpha\) şeklinde hesaplanabilir.
  • Köşegenlerin uzunlukları ile aralarında bulunan açının çarpımının yarısına yani \(\cfrac{|BD|.AC|}{2}.sin\beta\) şeklinde hesaplanabilir.

4) Paralelkenarda ardışık bulunan iki açının açıortayları dik kesişir.

5) 

ABCD bir paralelkenar ve AC'de bu paralelkenara ait bir köşegendir. Ayrıca C,B,G noktaları ve DEFG noktaları doğrusaldır. O halde \(|DE|^2=|EF|.|EG|\) yazılır.

ÖRNEK

ABCD paralelkenarında C,B,G noktaları ve DEFG noktaları doğrusal ve AC bir köşegendir. \(|DE|=6x-5\)\(|EF|=4x-3\) ve \(|FG|=5x-7\) birim olduğuna göre \(x\) kaç birimdir?

ÇÖZÜM

Bu tip sorularda \(|DE|^2=|EF|.|EG|\) eşitliğinin geçerli olduğunu söylemiştik. O halde \((6x-5)^2=(4x-3).((4x-3)+(5x-7))\)'dir. Buradan \((6x-5).(6x-5)=(4x-3).(9x-10)\) ve \(36x^2-60x+25=36x^2-67x+30\) elde edilir. Bu eşitlikten \(7x=5\) ve \(x=\cfrac{5}{7}\) birim elde edilir.

6) Paralelkenarda bir köşeden çıkan kenarortaylar bu köşenin karşısında bulunan köşegeni \(3\) eşit parçaya böler.

 

Şekilde AF ve AE, A köşesinden çıkan kenarortaylardır. \(|DF|=|FC|\) ve \(|CE|=|EB|\) olmak üzere \(|DG|=|GK|=|KB|\) olur.

7)  

Bir paralelkenarda köşegenlerin uzunluklarının karelerinin toplamı tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir. Yani \(|BD|^2+|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2\)'dir. \(|AB|=|DC|\) ve \(|AD|=|BC|\) olduğu için \(|BD|^2+|AC|^2=2.(|AD|^2+|AB|^2)\) şeklinde de yaazılabilir.

8) Bir paralel kenarda bir kenarı taban ve bu kenarın karşısında bulunan kenar üzerinde herhangi bir noktayı tepe noktası kabul eden üçgenin alanı paralelkenarın alanının yarısı kadardır.

 

Şekilde bulunan AED üçgeninin alanı \(m\), EDC üçgeninin alanı \(k\) ve EBC üçgeninin alanı \(n\)'dir. Yukarıdaki bilgiye göre \(k=\cfrac{A(ABCD)}{2}=\cfrac{m+n+k}{2}\) olur. Buradan \(k=m+n\) elde edilir.

9) Paralelkenar içerisinde seçilen hethangi bir noktadan köşelere çizilen doğru parçaları ile verilen paralelkenar \(4\) üçgensel bölgeye ayrılır. Bu üçgensel bölgelerin alanları ile ilgili, seçilen noktanın sağında ve solunda oluşan üçgenlerin alanları toplamı yukarısında ve aşağısında olauşan üçgenlerin alanları toplamı birbirine eşittir.

Yukarıdaki paralelkenar da oluşturulan üçgenlerin alanları çemberler içerisinde verilmiştir. Yukarıda verilen bilgiye göre \(m+z=k+n\)'dir.

ÖRNEK

Yukarıdaki şeklide \(\cfrac{|BF|}{|FD|}=\cfrac{3}{7}\) ve \(\cfrac{|EF|}{|FC|}=\cfrac{3}{5}\) oranları ile \(A(FBC)=15br^2\) olarak verilmiş olsun. Bu bilgilere göre ABCD paralelkenarının alanı kaç \(br^2\)'dir?

ÇÖZÜM

BF'nin uzunluğunun FD'nin uzunluğuna oranı \(\cfrac{3}{7}\) ise BFC üçgeninin alanının FCD üçgeninin alanına oranı da \(\cfrac{3}{7}\)'dir. Çünkü tepe noktaları aynı olan ve tabanlarında bulunan uç noktaları doğrusal ise bu üçgenlerin alanı tabanlarının uzunluklarıyla orantılıdır. O halde \( A(BFC)=15br^2\) ise \(A(FCD)=35br^2\)'dir. Benzer şekilde \(\cfrac{|EF|}{|FC|}=\cfrac{3}{5}\) ve \(A(FCD)=35br^2\) olduğundan \(A(EFD)=21br^2\) olur. Sonra \(8.\) özellikten \(A(EDC)=\cfrac{A(ABCD)}{2}\) ve \(A(EDC)=56br^2\) olduğundan \(A(ABCD)=112br^2\) elde edilir.

Eşkenar Dörtgen

TANIM: Tüm kenar uzunlukları eşit olan ve karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgenler tanımdan da anlaşılacağı üzere tüm kenar uzunlukları eşit olan paralelkenarlardır. Bundan dolayı paralelkenarın tüm özelliklerini taşır.

Özellikler

1) Eşkenar dörtgenlerde köşegenler açıortaydır ve birbirlerinin orta noktalarında dik kesişirler.

Yani şekildeki \(|AO|=|OC|\) ve \(|BO|=|OD|\)'dir. Ayrıca BD ve AC köşegenleri ikisinin de orta noktası olan "O" noktasında dik kesişirler ve uç noktalarında bulunan açıları ortalarlar.

2) Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerin uzunlukları çarpımının yarısı kadardır. Ayrıca kenar uzunlukları ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpımı şeklinde de bulunur.Diğer bir yol ise taban kenar ve bu kenara ait yüksekliğin çarpımı şeklinde bulunabilir.

NOT: Bu işlemde istediğiniz açıyı seçebilirsiniz. Çünkü ardışık iki açının toplamı \(180\)º'dir ve bu açılardan birisine \(\alpha \) diyecek olursak diğer açı \(180-\alpha\) olur ve \(sin(\alpha)=sin(180-\alpha)\)'dır.

ÖRNEK

Yukarıda verilmiş olan eşkenar dörtgende,\(|BE|=|EF|\)\(|DF|=5cm\) ve \(|FC|=8cm\) olduğuna göre \(A(EDF)\) kaç \(cm^2\)'dir?

ÇÖZÜM

Şekilde eşkenar döretgen verildiğine göre köşegenlerin birbirini dik ortalamaış olması gerekir. O halde \(|BE|=|EC|\)'dir ve \(|BE|=|EF|\) olduğundan \(|EF|=|EC|\)'dir. Buna göre \(EFC\) üçgeni bir ikizkenar üçgendir ve ikizkenar üçgende tepe noktadan inen dikme indiği kenarı iki eşit parçaya ayırır. O halde şekil şu şekle gelir:

Buradan \(EDC\) üçgeni için \(h^2=|DK|.|KC|=9.4=36\) ve \(h=6\) bulunur. Yani \(EDF\) üçgeninin DF kenarına ait yükseklik \(6cm\) bulundu. Herhangi bir üçgenin alanı taban kenar uzunluğuile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşit olduğuna göre \(A(EDF)=\cfrac{5cm.6cm}{2}=15cm^2\) bulunur.

Dikdörtgen

Bütün açıları dik açı olan ve karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgenlere dikdörtgen denir. Paralel kenarın açıları dik olan özel bir halidir. 

Özellikler

1) Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca köşegen uzunluklarıda birbirine eşittir ve birbirlrtini belirli bir açıyla ortalarlar.

2) Dikdörtgenin alanı birbirine dik olan iki kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir. Ayrıca köşegen uzunluklarının çarpımının yarısı şeklinde de bulunabilir.

3) Bir dikdörtgenin içerisinden ya da dışarısından alınan bir noktanın dikdörtgenin sol tarafındaki noktaların bu noktaya olan uzaklıklarının karelerinin farkı, dikdörtgenin sağında bulunan noktaların bu noktaya oYlan uzaklıklarının karelerinin farkına eşittir. Yani:

\(|ED|^2-|EA|^2=|EC|^2-|EB|^2\)'dir.

ÖRNEK

Şekilde verilen ABCD dikdörtgeninde \(|AE|=25cm\) ve \(|EB|=9cm\)\(ED\bot EC\) ise ABCD dikdörtgeninin alanı kaç \(cm^2\)'dir?

ÇÖZÜM

E noktasından DC kenarına bir dikme indirip DC'yi kestikiği noktaya H dersek \(|HC|=|EB|=9cm\) ve \(|DH|=|AE|=25cm\) olur.  Verilenleri şekle dökecek olursak:

olur. Ve buradan \(h^2=|DH|.HC|=25cm.9cm\) ve \(h=15cm\) elde edilir. O halde şeklimiz yüksekliği \(15cm\) ve bu yüksekliğe ait tabanın uzunluğu \(34cm\) olan bir dikdörtgen olmuş olur. Bir dikdörtgenin alanı taban ile bu tabana ait yüksekliğin çarpımına eşit olduğuna göre \(A(ABCD)=34.15=510cm^2\)'dir.

Kare

Kenar uzunlukları eşit, karşılıklı kenarları birbirine paralel ve bütün açıları dik açı olan dörtgene kare denir. Kısaca kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgendir.

Özellikler

1) Köşegenlerinin uzunlukları eşittir ve birbirlerini dik ortalarlar. Ayrıca karede bulunan köşegenler açıortaydırlar. Ek olarak kare de bulunan bir köşegenin uzunluğu bir kenarın uzunluğunun \(\sqrt{2}\) katıdır.

2) Bundan önce özelliklerini vermiş olduğumuz paralelkenar, dikdörtgen, yamuk ve eşkenar dörtgenin özelliklerinin hepsi kare için de geçerlidir.

3) Karenin alanı bir kenarın uzunluğunun kendisi ile çarpımına ya da köşegenlerden birinin uzunluğununun kendisi ile çarpımının yarısına eşittir.

ÖRNEK

Şekilde verilmiş olan ABCD karesinde \(|AD|=(5x-13)br\) ve \(|AB|=(3x+5)br\) olarak verilmiştir. Buna göre bu karenin bir kenar uzunluğunu, köşegen uzunluğunu ve alanını bulunuz.

ÇÖZÜM

Karenin özelliklerinden birisi kenar uzunluklarının eşit olmasıdır. Buna göre \(5x-13=3x+5\)'ten \(x=9cm\) olur. \(x=9cm\) ise karenin bir kenarı \(3.9+5=32cm\) olur. O halde bu karenin köşegeni \(32\sqrt2\)cm olur. Son olarak bu karenin alanı ise \(32cm.32cm=1024cm^2\) olarak bulunur.

Deltoid

Taban uzunlukları eşit olan iki tane ikizkenar üçgenin bu taban üzerinde ve tepe noktaları bu tabanın farklı bölgelerinde bulunduran dörtgene deltoid denir.

Özellikler

1) DB kenarı DBC ve DBA ikizkenar üçgenlerinin ortak tabanlarıdır ve CA köşegeni DB köşegenini dik ortalar. (Burada tersi (yani DB köşegeni AC'yi dik keser fakat ortalamaz) geçerli değildir.

2) AC köşegeni hen açıortay hem de simetri eksenidir. DB için bunlar geçerli değildir.

3) DBC ve DBA ikizkenar üçgenler oldukları için \(|AD|=|AB|\) ve \(|CD|=|CB|\)'dir.

4) Deltoidin alanı köşegenlerin uzunluklarının çarpımının yarısıdır. Farklı olarak bu deltoidler iki üçgensel bölgenin alanından oluştuğu için bu üçgenlerin alanı tek tek hesaplanıp toplanarak da bulunabilir.

ÖRNEK

 

Şekilde bulunan deltoidin \(|DB| \) köşegeni \(15cm\) ve \(|AC|\) köşegeni ise \(24cm\) olarak verilmiş olsun. O halde bu deltoidin alanı kaç \(cm^2\)'dir?

ÇÖZÜM

Bir deltoidin alanı köşegen uzunlukları çarpımının yarısı kadardır demiştik. O halde ABCD deltoidinin alanı \(A(ABCD)=\cfrac{|AC|.|BD|}{2}=\cfrac{24.15}{2}=180cm^2\)'dir.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

32 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 26.07.2020 21:34
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!