Şifre Sıfırlama

Önermeler ve Bileşik Önermeler

 

  İnsanı diğer canlılardan ayıran en temel özelliği düşünen bir varlık olmasıdır.                   

  Mantık,doğru düşünce yollarını araştıran bir disiplindir.Örneğin 'Van Gölü , büyük bir göldür.'cümlesi bazılarına göre doğru  bazılarına göre yanlış olabilir.

  Çünkü göllerin hangi şartlarda büyük olacağı belirlenmemiştir.Ama 'Van Gölü Türkiye'deki en büyük göldür ' cümlesi doğru bir cümledir.

 NOT: 'Koşma!','Gel!', 'Neredesin?' gibi cümleler soru ve ünlem cümlesi olduğu için bir hüküm bildirmez.   

 

  Doğru ya da yanlış, kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle 'p, q, r, s, t' gibi küçük harflerle gösterilir.

 

ÖRNEK : 

Aşağıdaki ifadeleri önerme olup olmadıklarını inceleyiniz.

a) p: "Bugün kitap okuyalım. "                                                                                             

  b) q: "İki basamaklı en büyük doğal sayı 10 dur."                                                               

  c)  r:" 8-3=5 olur."                                                                                                                

  d) s:" En küçük asal sayı 2 dir."                                                                                           

 ÇÖZÜM:

a) "Bugün kitap okuyalım. "  ifadesi bir istek cümlesi olduğundan önerme değildir.                

b) "İki basamaklı en büyük doğal sayı 10 dur." ifadesi kesin hüküm bildirdiğinden önermedir.                                                                                                                     

c) " 8-3=5 olur." ifadesi kesin hüküm bildirdiğinden önermedir.                                               

d) " En küçük asal sayı 2 dir."  ifadesi kesin hüküm bildirdiğinden önermedir.                          

Bir Önermenin Doğruluk Değeri 

Doğru yada yanlış kesin hüküm bildiren ifadeler önerme olarak tanımlandığından  bir önermenin iki farklı doğruluk değeri vardır.Eğer p önermesi doğru ise D veya 1, yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir. p önermesi doğru ise p≡1 , yanlış ise p≡0 şeklinde yazılır.                                              

 

    p
    D
    Y

      Bir p önermesinin doğruluk değeri 

      yandaki tablolardan biri ile 

       gösterilebilir.

  

    p
    1
    0

 

    p     q
    1     1
    1     0
    0     1
    0     0

         p ve q önermelerinin 

         doğruluk değerleri tablo biçiminde 

         yandaki gibi gösterilir.

 

 

 

                                                                        

    p    q     r
    1    1     1
    1    1     0
    1    0     1
    1    0     0
    0    1     1
    0    1     0
    0    0     1
    0    0     0

 

 

  Birbirinden bağımsız herhangi

  üç önerme için \(2^3 \)=8 farklı durum vardır.

 

 

 

 

 NOT: Tablo oluştururken kaç farklı durum olduğu bulunur.1. sütuna sırasıyla  durum sayısının yarısı kadar 1 ve 0, ikinci sütuna sırasıyla ilk sütunun yarısı kadar 1 ve 0,üçüncü sütuna sırasıyla 2.sütunun yarısı kadar 1ve 0 konularak tablo oluşturulur. 

 

NOT:\(\in \) \(Z^+\) olmak üzere birbirinden bağımsız n tane önermenin \(2^n \) tane doğruluk değeri vardır.

ÖRNEK : 

Birbirinden bağımsız p,q,r,s önermelerinin kaç farklı doğruluk değeri olduğunu bulunuz.

ÇÖZÜM : 

4 tane önerme olduğundan \(2^4\) = 16 farklı doğruluk değeri vardır.

Doğruluk değerleri aynı olan önermeler denk önermelerdir. p ve q önermelieri denk ise p≡q şeklinde gösterilir.

 

ÖRNEK:

p:"Ankara Türkiye'nin başkentidir."  

q:"2+6=8"       

p ve q denkmidir?                                                                                                                 

ÇÖZÜM:

Bu iki önermede doğrudur.Bundan dolayı p≡q olur.

 

Bir önermenin olumsuzu(değili)

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle oluşan yeni önermeye önermenin değili(olumsuzu) denir. 

p önermesinin değili p'  ya da ~p ile gösterilir.

ÖRNEK :

 p:"Tüm asal sayılar tek sayıdır." 

 p':"tüm asal sayılar tek sayı değildir."

1  in değili ⇒0             0 ın değili ⇒  1                      (p')'\(\equiv \)p  olur.           

 

BİLEŞİK ÖNERMELER               

 İki veya daha fazla önermenin ve ( \(\wedge \)), veya ( \(\vee \)), ya da (  ), ise ( \(\Rightarrow\)), ancak ve ancak ( \(\Leftrightarrow\))  bağlaçları  ile birleştirilmesiyle oluşturulan önermelerdir.

a) "ve bağlacı":

p ve q iki önerme olmak üzere; p\(\wedge \)q  önermesinin  oluştuğu iki önermede doğruysa doğru,en az biri yanlış ise yanlıştır.

   p    q    p\(\wedge \)q
   1    1      1
   1    0      0
   0    1      0
   0    0      0

                   1\(\wedge \)1\(\equiv \)1

                   1\(\wedge \)0\(\equiv \)0

                   0\(\wedge \)1\(\equiv \)0

                    0\(\wedge \)1\(\equiv \)0

 

 

b)"veya bağlacı":

p ve q iki önerme olmak üzere ; p\(\vee \)q önermesinin oluştuğu önermelerden en az biri doğruysa önerme doğru,ikiside yanlış ise  önerme yanlıştır.

   p    q    p\(\vee \)q
   1    1      1
   1    0      1
   0    1      1
   0    0      0

                                         

                  1\(\vee \)1\(\equiv \)1                0\(\vee \)1\(\equiv \)1             

                  1\(\vee \)0\(\equiv \)1               0\(\vee \)0\(\equiv \)0

                                 

 

 

 

"ve ile veya " bağlacı ile oluşturulan önermelerin özellikleri:

Tek kuvvet özelliği

p\(\wedge \)p\(\equiv \)p       

p\(\vee \)p\(\equiv \)p

 

Değişme özelliği

p\(\wedge \)q\(\equiv \)q\(\wedge \)

p\(\vee \)q\(\equiv \)q\(\vee \)

 

Birleşme özelliği

p\(\wedge \)(q\(\wedge \)r)\(\equiv \)(p\(\wedge \)q)\(\wedge \)r

p\(\vee \)(q\(\vee \)r)\(\equiv \)(p\(\vee \)q)\(\vee \)r

 

Dağılma Özelliği

p\(\wedge \)(q\(\vee \)r)\(\equiv \)(p\(\wedge \)q)\(\vee \)(p\(\wedge \)r)

p\(\vee \)(q\(\wedge \)r)\(\equiv \)(p\(\vee \)q)\(\wedge \)(p\(\vee \)r)

 

NOT: Dağılma özelliğinde sıralama önemlidir.Örneğin p önermesini soldan dağıttık ve p önermesi sürekli solda kaldı.

 

DE MORGAN KURALLARI

(p\(\wedge \)q)'\(\equiv \)p'\(\vee \)q'

(p\(\vee \)q)'\(\equiv \)p'\(\wedge \)q'

 

NOT:  p\(\wedge \)1\(\equiv \)p     p\(\wedge \)p'\(\equiv \)0    p\(\wedge \)0\(\equiv \)0     p\(\vee \)1\(\equiv \)1
          p\(\vee \)0\(\equiv \)p     p\(\vee \)p'\(\equiv \)1    p\(\wedge \)(p\(\vee \)q)\(\equiv \)p\(\vee \)(p\(\wedge \)q)\(\equiv \)p  

 

ÖRNEK: 

(p\(\wedge \)q)'\(\vee \)p bileşik  önermesinin en sade şeklini bulunuz.

ÇÖZÜM: 

(p\(\wedge \)q)'\(\equiv \)p'\(\vee \)q' olur  ve  p'\(\vee \)q'\(\vee \)p  ifadesi p'\(\vee \)p\(\vee \)q'  şeklinde yazılabilir , buradan  p'\(\vee \)p\(\equiv \)1  ve 1\(\vee \)q'\(\equiv \)1 bulunur.

 

ÖRNEK:

[(1\(\wedge \)0)'\(\wedge \)(1\(\vee \)0)]' bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

[0'\(\wedge \)1]'\(\equiv \)[1]'\(\equiv \)0  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

(p\(\vee \)q)'\(\wedge \)p\(\equiv \)0  olduğunu doğruluk tablosunda gösteriniz.

 

   p    q    (p\(\vee \)q)    (p\(\vee \)q)'    (p\(\vee \)q)'\(\wedge \)p
   1    1       1       0           0
   1    0       1       0           0
   0    1       1         0           0
   0    0       0       1           0

 

ve/ veya bağlaçlarının elektrik devrelerinde kullanışı

Elektrik devrelerinde akımın geçmesi 1, akımın geçmemesi 0 olarak ifade edilir.

p anahtarı açıksa doğruluk değeri  p\(\equiv \)0

p anahtarı kapalıysa doğruluk değeri  p\(\equiv \)1

Elektrik devrelerinde seri bağlama \(\wedge \) ile ,  paralel bağlama \(\vee \) ile oluşturulur.

 

"ya da  bağlacı"

ya da ile oluşturulan bileşik önermeler de bileşenlerin doğruluk değerleri aynı ise  yanlış, doğruluk değerleri farklı ise önerme doğru olur.

 

   p    q    p⊻q
   1    1      0
   1    0      1
   0    1      1
   0    0      0

  

 

          1⊻0\(\equiv \)1               1⊻1\(\equiv \)0

           0⊻1\(\equiv \)1              0⊻0\(\equiv \)0      

 

 

ÖRNEK:

(p⊻q)\(\wedge \)(p⊻p)\(\wedge \)(p⊻p')  önermesinin doğruluk değeri nedir?

ÇÖZÜM:

(p⊻q)\(\wedge \)0\(\wedge \)1\(\equiv \)0

 

Kümelerde işlemler ile sembolik mantık ilişkisi

 

Mantık        0                 1                     \(\vee \)                   \(\wedge \)                       Değil işareti(')
Küme          Ø                 E                    \(\cup \)                   \(\cap \)                       Değili işareti (')

 

ÖRNEK:

p\(\wedge \)p'\(\equiv \)0 önermesini kümelerle ilişkilendirin.

ÇÖZÜM:

A\(\cap \)A'=Ø                  

ise bağlacı(koşullu önerme)

p ve q iki önerme olmak üzere p⇒q bileşik önermesine koşullu önerme denir, p ise q şeklinde okunur.

Koşullu önermede 1⇒0 hariç hepsi doğrudur(1).

  p  q   p⇒q
  1   1    1
  1   0    0
  0   1    1
  0   0    1

 

 

Not: p⇒q koşullu önermesinde  p: hipotez, q: hüküm olarak adlandırılır. p⇒q önermesinin doğruluk değeri 1 ise önerme gerektirme olarak adlandırılır.

 

ÖRNEK: 

p⇒(q\(\wedge \)r)\(\equiv \)0 olduğuna göre r⇒p  önermesinin doğruluk değeri nedir?

ÇÖZÜM:

p⇒(q\(\wedge \)r)\(\equiv \)0 olduğundan  p\(\equiv \)1  ve  (q\(\wedge \)r)\(\equiv \)0 olur.Buradan  q\(\equiv \)0 ve r\(\equiv \)0 elde edilir. r⇒p önerrmesi 0⇒1 önermesine denktir. 0⇒1 önermesinin de doğruluk değeri 1 dir.

 

Bir koşullu önermenin karşıtı,tersi,karşıt tersi

p⇒q önermesi verilmiş olsun.

p⇒q önermesinin karşıtı q⇒p

p⇒q önermesinin tersi p'⇒q'

p⇒q önermesinin karşıt tersi q'⇒p'  olur.

 

ÖRNEK:

\(x=4⇒x^2=16 \)  dır önermesinin karşıtını,tersinin,karşıt tersini yazınız.

ÇÖZÜM:

p⇒q:"\(x=4⇒x^2=16 \)  dır koşullu önermesinde 

p⇒q önermesinin karşıtı q⇒p: \(x^2=16⇒x=4\)

p⇒q önermesinin tersi  p'⇒q' : \(x≠4⇒x^2≠16\)

p⇒q önermesinin karşıt tersi q'⇒p': \(x^2≠16 ⇒ x≠4\)

 

İse(⇒) bağlacının özellikleri

p⇒p\(\equiv \)1

p⇒1\(\equiv \)1

p⇒0\(\equiv \)p'

1⇒p\(\equiv \)p

0⇒p\(\equiv \)1

p⇒p'\(\equiv \)p'

p'⇒p\(\equiv \)p

p⇒q\(\equiv \)p'\(\vee \)q

p⇒q\(\equiv \)q'⇒p'

Not: p⇒q\(\equiv \)p'\(\vee \)q ve p⇒q\(\equiv \)q'⇒p'  denklikleri sorularda sıkça kullanılan denkliklerdir.Soruların daha kolay çözülmeleri için kullanılmalıdır.

 

ancak ve ancak bağlacı (⇔)( iki yönlü koşullu önerme)

p ve q iki önerme olmak üzere p⇔q bileşik önermesine iki yönlü koşullu önerme denir. "p ancak ve ancak q" şeklinde okunur.

p⇔q iki yönlü koşullu önerme de  p ve q nun doğruluk değerleri aynıyken doğru(1), farklıyken yanlıştır(0).

 

  p    q   p⇔q
  1   1   1
  1   0   0
  0   1   0
  0   0   1

 

ancak ve ancak  (⇔) bağlacının özellkleri 

p⇔q\(\equiv \)(p⇒q)\(\wedge \)(q⇒p)

p⇔q\(\equiv \)p'⇔q'

p⇔p\(\equiv \)1, p⇔p'\(\equiv \)0, p⇔1\(\equiv \)p , p⇔0\(\equiv \)p'

(p⇔q)'\(\equiv \) p'⇔q \(\equiv \) p⇔q'

(p⇔q)'\(\equiv \) pq

 

Totoloji ve çelişki

Bir bileşik önerme bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için doğru (1) oluyorsa totoloji,yanlış(0) oluyorsa çelişki olarak adlandırılır.

p p' p\(\vee \)p'
1 0 1
0 1 1

 p\(\vee \)p' bileşik önermesi totolojidir.

 

p p' p\(\wedge \)p'
1 0 0
0 1

0

p\(\wedge \)p' bileşik önermesi çelişkidir.

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

47 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 17.05.2020 14:31
Son Güncelleme: 17.08.2020 16:17

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!