Şifre Sıfırlama

Logaritma Fonksiyonu

 

TANIM:  \(f:R\to R^+\)\(f(x)=a^x\)\(a>0 \) ve \(a≠1\) üstel fonksiyonunun tersi, \(f^{-1}:R^+\to R\) şeklinde bir fonksiyondur. Bu ters fonksiyona logaritmik fonksiyon denir ve \(f^{-1}(x)=y=log_ax\)  şeklinde yazılır. x>0 için \(y=log_ax \) ⇔ \(x=a^y\) olur.

Fonksiyonun grafiğini çizelim;

  \(y=log_ax \) ⇔ \(x=a^y\)  fonksiyonu için;

İlk gösterim logaritmik, ikincisi ise üstel gösterimdir.

a : taban

y : üs

Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi

\(log_{h(x)}g(x)\) fonksiyonu logaritmik fonksiyon olması için;

  • g(x)>0
  • g(x)≠1
  • h(x)>0

şartlarının sağlanması gereklidir.

ÖRNEK:

\(log_{x-2}​​(x^2+5x+6)\) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için 

  1. \(x-2>0\)
  2. \(x-2≠1\to x≠3\) 
  3. \(x^2+5x+6>0 \to (x+3)(x+2)>0\)

sağlanmalıdır. Tablomuzu oluşturalım.

Görüldüğü üzere fonksiyonun en geniş tanım kümesi (2, ∞) aralığı oluyor. Çünkü iki eşitsizliğin ortak kümesi bu aralıktır.

 

Logaritma Fonksiyonun Grafiği

\(f:R \to R^+ , f(x)=a^x, a ≠1 \) şeklinde verilen üstel fonksiyonun tersi ( diğer bir deyişle y=x doğrusuna göre simetriği ) alındığında \(f^{-1} (x) =log_a x \) fonksiyonu elde edilir. Grafiğini çizmek içinde üstel fonksiyon grafiğinin y=x doğrusuna göre simetriği alınır. 

NOT: \(a∈R^+-\){1} olmak üzere \(f:R^+ \to R , y=f(x)=log_ax \) logaritmik fonksiyonu a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur. 

ÖRNEK:

\(y=2^x \) ve \(y=log_2x \) fonksiyonlarının grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Tablo yaparak iki fonksiyonunda değerlerini, artan azalanlığını inceleyelim.

Tabloda görüldüğü üzere \(y=2^x \) fonksiyonunun y=x eksenine göre simetriği alındığında  \(y=log_2x \) fonksiyonun elde ediliyor. 

 

\(f(x)=log_ax\) fonksiyonu a > 1 için a değeri büyüdükçe grafiğin kolu x eksenine yaklaşır. 
\(f(x)=log_ax\) fonksiyonu 0 > a > 1 için a değeri büyüdükçe grafiğin kolu x ekseninden uzaklaşır.

 

Bazı Logaritmik fonksiyon Grafikleri

y = logax + k fonksiyonunun grafiği

y=logax + k fonksiyonunun grafiği y=logax fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre k pozitif ise k birim yukarı, k negatif ise k birim aşağı ötelenmesi ile elde edilir.

 

y = loga(x + k) fonksiyonunun grafiği

y=loga(x + k) fonksiyonunun grafiği y=logax fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre k pozitif ise k birim sola, k negatif ise k birim sağa ötelenmesi ile elde edilir.

n > 0, y = n.logax  Fonksiyonun Grafiği

y=logax fonksiyonunda her x değerinin görüntüsünün n katı alınarak y=n.logax fonksiyonunun grafiği elde edilir.


 

y = -logax Fonksiyonunun Grafiği
y=-f(x) fonksiyonunun grafiği y=f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği olduğundan y=logax fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği alınarak y=-logax fonksiyonunun grafiği elde edilir.

y = n.loga(x+b) + c Fonksiyonunun Grafiği

y = logax fonksiyonunun grafiği b birim sağa veya sola ötelenerek ve y değerinin n katı alınıp c birim yukarı veya aşağı ötelenerek n.loga(x+b) + c fonksiyonunun grafiği elde edilir.

ÖRNEK:

\(f(x) = 3log_2(x+4)-1\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:
\(y = log_2(x)\) foksiyonunun grafiğini 4 birim sola öteleyip y değerinin 3 katının alınması ve 1 birim aşağı ötelenmesi ile \(f(x) = 3log_2(x+4)-1\) fonksiyonunun grafiği elde edilir.

e Sayısı

e değeri; karbon testi, nüfus artışı, ilaçların etki süreleri gibi matematik ve mühendislikte karşılaşılan pek çok problemin çözümünün modellenmesinde kullanılmaktadır. n değeri arttıkça \((1+ {1 \over n })^n\) ifadesinin yaklaştığı değere e sayısı veya Euler sayısı denir.

       n      \((1+ {1 \over n })^n\)
1 2
5 2,488
10 2,593
: :

 

bu tablo devam ettiğinde e ≅ 2,71828182845904523536... şeklinde bir irrasyonel sayı ortaya çıkıyor.

NOT: \(y = e^x \) üstel fonksiyonunun grafiği \(y = 2^x\) ile \(y = 3^x\) fonksiyonunun grafiği arasındadır.

Doğal Logaritma Fonksiyonu

TANIM: Tabanı e sayısı olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. \(f: R^+ \to R , y= f(x) = log_a x=lnx \) biçiminde gösterilir. \(lnx=y ⇔ e^y=x \) olur. 

\(f(x)=lnx\) fonksiyonunun grafiği artandır.

ÖRNEK:

\(y= lnx-1\)

\(y= e^{-x}\) 

yukarıdaki fonksiyonların grafiklerinin çiziniz.

ÇÖZÜM:

10 Tabanında Logaritma Fonksiyonu

TANIM: Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna 10 tabanında logaritma fonksiyonu (adi logaritma, bayağı logaritma) denir. 10 tabanında logaritma fonksiyonu \(f:R^+ \to R , f(x) =log_{10} x=logx\) biçiminde gösterilir. Buradan \(logx=y ⇔ 10^y=x \) olur.

\(y=logx\) fonksiyonu artan bir fonksiyondur.

ÖRNEK:

Aşağıdaki logaritmik ifadelerin değerlerini bulunuz. 

a) \(log1000\)

b) \(log { 1\over 1000 }\)

c) \(log \sqrt 10\)

ÇÖZÜM:

\(logx=y ⇔ 10^y=x \) olduğundan.

a)\( log1000 = a\)

         \(1000 = 10a\)

              \(10^3 = 10^a\)

                   \(  a = 3 \)

b)\(log { 1\over 1000 } = log10^{-3}=b\)             

         \(10^{-3} = 10^b\) 

            \(b=-3\)

c)\(log \sqrt10 = log 10^{1 \over 2}=c\)

        \(10^{1 \over 2 } = 10^c\)

             \(c= {1 \over 2}\)

 

ÖRNEK:

\(y=log(x+1)\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

Logaritma fonksiyonunun aşağıdaki özellikleri bulunmaktadır.

\(a∈R^+\)  ve   \(a ≠ 1\) olmak üzere 

  • \(log_a1=0 \)
  •   \(log_aa=1 \)

  • \(log_aa^x=x\)

  • \(log_ax^n=n.log_ax\)

  • \(log_{a^n}x={1 \over n}.log_ax\)

  • \(log_{a^n}{x^m}={m \over n}.log_ax\)

  • \(a^{log_ax}=x^{log_aa}=x^1=x\)    ( taban olan a ile logaritmadaki x in yeri değişebilir ) 

  • \(log_ax.y=log_ax+log_ay\)

  • \(log_a{x \over y}=log_ax-log_ay\)

  • \(log_ax={log_cx \over log_ca}\) ve \(log_ab={ 1 \over log_ba}\)

  • \(a^{log_bc}=c^{log_ba}\)

  • \(log_{x_1}x_2.log_{x_2}x_3...log_{x_{n-1}}x_n=log_{x_1}x_n\)

ÖRNEK:

\(25^{log_56}+27^{log_35}\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:
\(25^{log_56}=6^{log_525}\)

\(log_525=log_55^2=2.log_55=2.1=2\)

\(6^{log_525}=6^2=36\)

 

\(27^{log_35}=5^{log_327}\)

\(log_327=log_33^3=3.log_33=3.1=3\)

\(5^{log_327}=5^3=125\)

 

\(25^{log_56}+27^{log_35}=36+125=161\)

 

ÖRNEK:

\(log_25=a \) ise \(log_{40}50\) ifadesinin a türünden değeri nedir.

ÇÖZÜM:
\(log_{40}50={log_250 \over log_240}\)

               \(= {log_2(5^2.2) \over log_2(5.2^3)} \)

               \(= {{log_25^2+log_22 } \over log_25+log_22^3}\)

               \(= {{2log_25+1 } \over log_25+3.1}\)

               \(={{2a+1} \over a+3}\)


 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

44 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 29.06.2020 21:33
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:42

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!