Şifre Sıfırlama

Kümeler

Küme Kavramı

TANIM: Kümeler; iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak açıklanabilir.

Tanımı analiz edelim;

   İlk olarak ifadenin iyi tanımlanması demek nesnel olması demektir yani kişiden kişiye değişmeyecek, herkes için aynı şeyi ifade edecek. Örneğin; "Kitaplıktaki kitaplar" ifadesi iyi tanımlanmıştır. Kitaplığa baktığında herkez aynı kitapları görür ve söyler, dolayısıyla bir kümedir. Ancak "Kitaplıktaki güzel kitaplar" ifadesi nesnel değildir. Kişiye göre hangisinin güzel olduğu değişir dolayısıyla küme değildir.

   İkincisi ise kümenin elemanları birbirinden farklı olmalıdır. Örneğin; bir alışveriş listesini küme olark kabul edelim. Bu listede iki kez 'salça' yazmaz her eleman bir kez yazılır.

 

ÖRNEK:

   Aşağıdakilerden hangilerinin küme belirttiğini bulunuz.

   A) Rakamların bazıları 
   B) Yeşil gözlü öğrenciler                                                                                       
  C) Kolay Sorular                                                                               
  D) Tek sayılar

ÇÖZÜM:

   A seçeneği iyi tanımlanmış bir ifade değildir dolayısıyla küme değildir.

   B seçeneğindeki yeşil ifadesi nesneldir ve yeşil gözlü öğrenciler herkez için bellidir dolayısıyla ifade kümedir.  

   C seçeneği de nesnel bir ifade değildir bu sebeple küme belirtmez.   

   D seçeneğindeki tek sayılar ifadesi herkez için "..., -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..." dır ve nesneldir. herkes için bunu ifade edtiğinden küme belirtir. 

NOT: Kümeyi oluşturan nesnelere "kümenin elemanları" denir. Kümeler genellikle A,B,C gibi büyük harflerle gösterilir. Bir x elemanı bir A kümesine ait ise x ∈ A ile, A kümesine ait değil ise x ∉ A ile gösterilir.                                                             

Örneğin; A = "Aylar" kümesini düşündüğümüzde Mayıs ∈ A dır. Perşembe ∉ A dır

 

Kümelerin gösterilişi

   Kümeler üç değişik yöntemle gösterilebilir, Bunun için "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7" elemanlarından oluşan  A kümesini kullanalım.

 

 1. Liste Yöntemi 

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}  şekline olur.

Küme içerisinde bulunan elemanlar yer değiştirebilir ve yanlızca bir kez yazılabilir. Elemanlar "{  }" parantezleri arsına virgülle ayrılarak yazılır.

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}   Bu A kümesinin liste yöntemiyle gösterilmesidir.

A={5, 1, 7, 6, 4, 2, 3}  Bu kümede A kümesine eşittir sadece elemanları farklı dizilmiş.

 

 2. Venn Şeması Yöntemi

Şeklinde, her elemanın başına nokta koyarak, sıra gözetmeksizin yazılır.

 

 3. Ortak Özellik Yöntemi

TANIM: Kümedeki elemanların ortak özellikleriyle gösterilmesidir. Bunun için kümedeki elemanların ortak özellikleri bulunmalıdır.

A={x | x, İlk yedi sayma sayısı} şeklindeki gösterim bize yukarıda yazdığımız A kümesini çağrıştırıyor. A kümesini ortak özellik  yöntemiyle birden farklı şekilde gösteririz. Örneğin, A={x | 1≤x≤7, x ∈ N } şeklinde de gösterebiliriz.

ÖRNEK:

ANKARA kelimesinin harfterinden oluşan kümenin elemanlarını yazalım.

ÇÖZÜM:

Kümeye K kümesi diyelim

K={A, N, K, R} şekline olur. Görüldüğü üzere kelimede birden fazla A harfi olduğu halde kümede bir kez yazılmıştır.

n elemanlı bir A kümesinin eleman sayısı s(A) = n şeklinde gösterilir.

Örneğin yukarıdaki K kümesini ele alalım. 

K={A, N, K, R} olduğundan  s(K) = 4 olur.

ÖRNEK:

A = { a, {b}, 1, 58, {a,b}, 4c, { }, #, Ø } Kümesi için aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

A ) b ∈ A          B ) {b} ∈ A          C ) c ∈ A

D ) s(A) = 9      E ) A = { }           E ) Ø ∈ A

F ) {a,b} ∈ A    G ) s(A) = 12       H ) 5 ∈ A 

ÇÖZÜM:

A seçeneği yanlıştır çünkü kümenin b gibi bir elemanı yoktur elemanlar virgüllerle ayrılırlar dolayısıyla A kümesinin elemanı {b} dir.

B seçeneği yukarıda açıklanan sebeplerden dolayı doğrudur.

C seçeneğindeki "c" kümenin bir elemanı değildir kümenin elemanı "4c" dir. 

D seçeneğinin doğruluğunu şu şekilde gösterebiliriz; elemanları virgüller ayırır yani kümeye baktığımızda dokuz eleman görüyoruz. ( eğer virgül sayısı n ise kümenin eleman sayısı ( n+1 ) dir. 

E seçeneğinde Ø işareti A nın elemanıdır. Çünkü bu sembol parantezlerin içindedir. Bu durumda bu sembolün herhangi bir harf ya da sayıdan farkı yoktur.  Eğer  A = Ø olsaydı A  boş küme demek olurdu ve seçenek yanlış olurdu.

F seçeneğinde {a,b} ifadesi kümenin bir elemanıdır. 

G seçeneğinin yanlış olduğunu D seçeneğinin doğruluğundan anlıyoruz.

H seçeneği yanlıştır. Çünkü, yalnız "5" kümenin elemanı değildir. Kümenin elemanı "58" dir.

 

Küme Türleri

Sonlu Ve Sonsuz Kümeler

TANIM:   Sayılabilir çoklukta elemanı olan kümelere sonlu, sayılamaz çoklukta elemanı olan kümelere sonsuz küme adı verilir.

ÖRNEK:

   Aşağıdaki kümeleri inceleyininz.

A={x | -6 < x < 4, x ∈ Z}

B={x | x > 0 , x ∈ N}

C={x | x < 0 , x ∈ N}

D={x | -6 < x < 4, x rasyonel sayı}

ÇÖZÜM:

   A kümesinin elemanları "-6" ve "4" arasındaki tam sayılar olduğuna göre A={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} şeklinde bir sonlu kümedir.

   B kümesi "0" dan büyük doğal sayılardır. Doğal sayılar sıfırdan başlayıp sonsuza giderler. B={1, 2, 3, 4, ...} şeklinde sonsuz elemanlı bir küme olduğundan sonsuz kümedir.

   C kümesinin elemanı yoktur. Çünkü "x" sıfırdan küçük ve doğal sayı olamaz. Doğal sayılar sıfırdan başlayıp artı sonsuza doğru gider.

   D kümesinin elemanları rasyonel sayılardan oluşuyor. "-6" ile "4" arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır ve D sonsuz kümedir.

NOT: Sayılabilir kavramını iyi anlamamız gerekiyor. Örneğin,  "1" ile "10 000 000 000" arasındaki doğalsayılar çoktur ama sayılabilirdir. Çok uzun sürsede sayabilirsiniz. Ancak "1" ile "2" arasındaki rasyonel sayıları sayamayız. Bunu şu şekilde anlayabiliriz "1" den "2" ye kadarki rasyonel sayıları saymaya başladığınızda "1" den sonra hangi sayı geliyor bilemeyiz. Bu durumda küme sonsuz olur.

 

Boş Küme

TANIM: Elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir. Boş küme  ∅  veya  {  } sembollerinde biri ile gösterilir.

ÖRNEK:

   Aşağıdaki kümeleri inceleyiniz.

A = {x | x < 0, x doğal sayı}

B = {x | -4 = |x|, eşitliğini sağlayan x değerleri}

C = "4 ayaklı tavuklar"

ÇÖZÜM:

A kümesi boş kümedir. Çünkü "0" dan küçük doğal sayı yoktur.

B kümesi boş kümedir. Çünkü mutlak ifadeler negatif sayıya eşit olamaz.

C kümesi boş kümedir. Çünkü "4" ayaklı tavuk yoktur.

NOT: Eğer C = { 4 ayaklı tavuklar } şeklinde olsaydı küme boş olmazdı. Kümenin sadece "4 ayaklı tavuklar ∈ C" şeklinde bir elemanı olurdu. Bunun sebebi, küme parentezidir; küme parantezi olursa parantezin içindekiler kümenin elemanı sayılır. Ancak bu örnekte olduğu gibi parantez olmazsa kümenin elemanı, 4 ayağı olan tavuklardan oluşur. Bu şekilde tavuk olamayacağından küme boştur.

 

NOT: A = { ∅ }  veya  B = { {  } } şeklindeki kümeler boş küme değildir. ∅ ∈ A ve  {  } ∈ B dir. Bu semboller küme parantezi içinde kullanıldığına sayı veya harf gibi birer eleman olurlar.

 

Evrensel Küme

TANIM: Üzerinde işlem yapılabilen en geniş kümeye "evrensel küme" denir. Genel olarak E harfi ile gösterilir.

   Örneğin bir okulda 4 sınıf ve her sınıfta 20 kişi bulunsun. buradaki sınıfların herbiri kümedir. Okul ise hepsini kapsayan ve üzerinde işlem yapabileceğiniz "Evrensel Küme"dir.

 

Alt Küme

TANIM: Bir B kümesinin her elemanı A kümesininde elemanı oluyorsa B kümesine A kümesini "alt kümesi" denir. B ⊂ A şeklinde gösterilir. Başka bir deyişle A kümesi B kümesini "kapsar" denebilir ve A ⊃ B şeklinde gösterilir. Ayrıca her küme kendisinin alt kümesi olduğundan alt küme için ⊆ ve kapsama için ⊇ sembolleri kullanılabilir.

ÖRNEK:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {x | x, 7 den küçük çift sayma sayıları}

Kümelerinin alt küme ilişkisini inceleyiniz.

ÇÖZÜM:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}   ve 

B = {2, 4, 6}   

Görüldüğü üzere B nin tüm elemanlarını A kümesi içeriyor, o halde B ⊂ A diyebiliriz. Aynı şekilde A ⊃ B de denebilir.

ÖRNEK:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B= {x | x, 7 den küçük çift doğal sayılar}

Kümelerinin alt küme ilişkisini inceleyiniz.

 

ÇÖZÜM:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}   ve 

B = {0, 2, 4, 6}   

B kümesi A kümesinin alt kümesi değidir. Çünkü B kümesini "0" elemanı A kümesinde yoktur. Aynı şekilde A kümesi de B kümesinin alt kümesi değildir Çünkü A kümesinin " 1, 3, 5, 7 " elemanları B kümesinde yoktur. 

Alt Kümenin Özellikleri

  • Her küme kendisinin alt kümesidir.  ( A ⊂ A )
  • Boş küme bütün kümelerin alt kümesidir.  ( ∅ ⊂ A )
  • A ⊂ B ne B ⊂ C ise A ⊂ C dir.
  • Bir A kümesinin eleman sayısı n ise alt küme sayısı  dir.

ÖRNEK:

A = {a, b, c} kümesinin tüm alt kümelerini ve sayısını yazınız.

ÇÖZÜM:

∅ ⊂ A,  { a } ⊂ A, { b } ⊂ A, { c } ⊂ A, { a, b } ⊂ A

{ a, c } ⊂ A,  { b, c } ⊂ A,  { a, b, c } ⊂ A

A kümesinin 8 tane alt kümesi vardır.


ÖRNEK:

A = {a, b, k, 5, 8} kümesinin alt küme sayısını yazınız.

ÇÖZÜM:

Eleman sayısı az olan kümelerde alt kümeleri tek tek bulmak kolay ama eleman sayısı arttıkça alt kümeleri artar. Yukarıda ki formulden  = 32 alt küme vardır.

ÖRNEK:

Alt küme sayısı 64 olan bir kümenin eleman sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Formülü tersten uygulayalım

\(2^n\) = 64

\(2^n\) = \(2^6\)

n = 6 

küme 6 elemanlıdır.

 K = ∅ ise eleman sayısı "0" dır. O halde alt küme sayısı \(2^0\)=1 olur.  

Bir A kümesinin kendisinden başka her alt kümesinin sayısı " \(2^n\) - 1" ile hesaplanır. Buna öz alt küme sayısı denir.

 

Eşit Kümeler

A kümesinin bütün elemanları aynı zamanda B kümesinin de elemanı, B kümesinin bütün elemanları aynı zamanda A kümesinin de elemanı ise A ve B kümeleri eşit kümelerdir. A ve B eşit kümeler ise A = B, eşit kümeler değil ise A ≠ B şeklinde gösterilir. A ve B eşit kümeler ise A ⊂ B veya B ⊂ A yazılabilir.

 

Kümelerde İşlemler

Kümelerde Birleşim, Kesişim, Fark ve Tümleme İşlemleri

   A ve B herhangi iki küme olsun; A ve B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir. 

ÖRNEK:

A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 4, 5, 6}, C = {1, 2, 5, 7, 8} 

Kümeleri için 

a) A ∪ B    b) A ∪ C    c)C ∪ B 

d) A ∪ B ∪ C

ÇÖZÜM:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}

B ∪ C = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

İki kümenin birleşimini yazarken, iki kümede de ortak olan elemanlar birleşim kümesine sadece bir kez yazılır.

 

Kümelerde birleşim işleminin özellikleri

Herhangi A, B ve C kümeleri için;

  A ∪ B = B ∪ A     ( değişme özelliği)

 ( A ∪ B ) ∪ C =  A ∪ ( B ∪ C )     ( Birleşme özelliği ) 

 A ∪ ∅ = A

 A ∪ A = A

 D ⊂ A ise A ∪ D = A 

 

A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ve B kümelerinin ikisine de ait olan elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin kesişim kümesi denir. A ∩ B şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

Kümelerinin kesişimini bulunuz.

ÇÖZÜM:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

İkisininde ortak olan elemanları "4, 5" olduğundan 

A ∩ B = {4, 5} olur.

Kümelerde kesişim işleminin özellikleri

 

 Herhangi A, B ve C kümeleri için;

 A ∩ B = B ∩ A  ( Değişme Özelliği )

 ( A ∩ B ) ∩ C =  A ∩ ( B ∩ C )   ( Birleşme Özelliği )

 A ∩ ∅ = A

 A ∩ A = A

 D ⊂ A ise A ∩ D = D

 

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B) olur. 

Örneğin; A = {1, 2, 3, 4}  B = {4, 5, 6} olsun. 

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. s(A) = 4   s(B) = 3     s(A ∪ B) = 6    s(A ∩ B) = 1 olduğuna göre formülde yerine koyduğumuzda 

6 = 4 + 3 - 1 olur. 

 

Fark Kümesi

TANIM: A ve B iki küme olsun. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye "A fark B kümesi" denir. A - B ile gösterilir.

ÖRNEK:

A = {a, b, c, d, e}

B = {c, d, e, f, g}

A - B = ?       B - A = ?

A ∪ B = ?     A ∩ B = ?

ÇÖZÜM:

A = {a, b, c, d, e}

B = {c, d, e, f, g}

A - B ={a, b},   B - A = {f, g}

A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∩ B = {c, d, e} olur.

 

Ayrık Kümeler

TANIM: Kesişimleri boş olan kümelere ayrık küme denir. A ve B ayrık kümeler ise A ∩ B = ∅ dir.

Örneğin;

A = {a, b, d, f}

B = {e, g, c}

ise A ve B ayrık kümelerdir.

Kümenin Tümleyeni

TANIM: E evrensel kümesine ait a kümesi bulunsun. A kümesinde olmayıp E evrensel kümesinde bulunan elemanların kümesine "A nın tümleyeni" denir ve A' ile gösterilir.

Örneğin;

E = {a, b, c, d, e, f, g, h} ve A = {f, g, h}  olduğunda A' = {a, b, c, d, e} olur.

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

  A ∪ A' = E

  A - A' = A

  A ∩ A' = ∅

  A - B ≠ B - A

  E' = ∅  ve ∅' = E

  A ∪ B ≠ E ise  A - B = A ∩ B'

  (A')' = A

  A ⊂ D ise A - D = ∅

  A - A = ∅  

  (A - B)' = A' ∪ B 

  A - ∅ = A  

  (A ∪ B)' = A' ∩ B'    De morgan

  (A ∩ B)' = A' ∪ B      kuralları

  E - A = A'

  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)   Dağilma

  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)   Özelliği

 

İki Kümenin Kartezyen Çarpımı

TANIM: x ve y gibi iki elemanın, sırası önemli olmak koşulu ile oluşturulan (x, y) elemanı sıralı ikili olrak adlandırılır. Burada x elemanı, ikilinin birinci bileşeni; y elemanı ikilinin ikinci bileşenidir.

Örneğin; bir tabloda yer belirtirken kullandığımız satır ve sütun sayılarını düşünelim. 14. satır 3. sütun olsun; bunu (14, 3) şeklinde ifade ederiz. Buradan şunu da görüyoruz ki, (14, 3) ifadesini (3, 14) şeklinde ifade edemeyiz çünkü (3, 14) ifadesi 3. satır  14. sütun oluyor yani (14, 3)≠(3, 14) olur.

NOT: İki sıralı ikilinin birbirine eşit olması, birinci ve ikinci bileşenlerin kendi aralarında eşit olmasıdır.

(a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d  olur.

 

ÖRNEK:

(x + 6, 8) = (4, 5 - y) ise x - y kaçtır.

ÇÖZÜM:

x + 6 = 4  ise x = -2

8 = 5 - y ise y = -3 olur

x - y = (-2) - (-3) = 1 

ÖRNEK:

(\( {2x \over 3}\), 3y+x) = (4, 6)  ise y = ?

ÇÖZÜM:

\( {2x \over 3}\)=4  ise x = 6

3y+x=6 

3y+6=6   3y = 0   y = 0 olur.

TANIM: Boştan farklı bir A ve B kümeleri için, birinci bileşen A'dan, ikinci bileşen B'den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin "kartezyen çarpımı" denir ve AxB ile gösterilir.

ÖRNEK:

A = {a, b, c}  B = {1, 2} kümeleri için AxB ve BxA yı bulunuz.

ÇÖZÜM:

AxB = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}  ve s(AxB) = 6

BxA = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}  ve s(BxA) = 6

 

AxB ≠ BxA  ancak  s(AxB)=s(BxA) olur.

s(A) . s(B) = s(AxB)=s(BxA)

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

47 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 18.05.2020 19:37
Son Güncelleme: 06.10.2020 15:08

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!