Şifre Sıfırlama

Koşullu Olasılık

Koşullu Olasılık

TANIM: A ile B, E örnek uzayının iki olayı olsun.A olyaının gerçekleşmesi için B olayının gerçekleşmiş olması gerekiyorsa bu duruma A olayının B'ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A|B) ile gösterilir.

Yukarıdaki şekilden a=s(A-B), b=s(A\(\cap\)B), c=s(B-A),d=s(A\(\cup\)B)' oldukları çıkarılır.

C olayının (b+c) farklı şekilde gerçekleşmesi koşulunda a olayı b defa gerçekleşir. Bu durum

\(P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\cfrac{b}{b+c}=\cfrac{\cfrac{b}{s(E)}}{\cfrac{b+c}{s(E)}}=\cfrac{\cfrac{s(A\cap B)}{s(E)}}{\cfrac{s(B)}{s(E)}}=\cfrac{s(A\cap B)}{s(B)}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK

Hilesiz iki zarın havaya atılmasıyla üst yüzeye gelen sayıların toplamının çift sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre bu üst yüzeye gelen sayıların toplamının \(3\)'e bölünme olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM

Üst yüzeye gelen sayıların toplamının çift olması için aynı anda zarların üzerinde çift yada tek sayı göstermesi gerekir. Bu olaya K olayı diyelim ve bilindiği üzere bir zarın üzerindeki tek sayılar {\({{1,3,5}}\)} çift sayılar ise {\(2,4,6\)}'dır. O halde K olayı \(K={(x,y):x+y=çiftsayı}={(çift,çift),(tek,tek)}\) olmak üzere \(s(K)=3.3+3.3=18\)'dir. s(K) sayıların toplamının çift olma olayı olduğu için ilk durumda iki zarda da çift sayı olma durumuna baktık ve bir zarın üzerinde \(3\) tane çift sayı olduğu için \(3.3\) olur benzer şekilde bir diğer şekilde bu sayıların toplamının  çift olması için iki sayının da tek olması gerekir ve bir zarda \(3\) tane tek sayı olduğu için \(3.3\) deyip toplayarak \(3.3+3.3=18\) bulduk. Sayıların toplamının \(3\)'e bölünebilme olayına da L olayı diyelim. O halde

A={\((1,2),(2,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6)\)}'dır. Buradan

 \(A\cap B\)={\((2,4),(4,2),(3,3),(6,6)\)} olur. Son olarak \(P(L|K)=\cfrac{s(K\cap L)}{s(K)}=\cfrac{4}{18}=\cfrac{2}{9}\) bulunur.

Bağımlı ve Bağımsız Olayların Olasılıkları

Bağımsız Olayların Olasılıkları

TANIM: Herhangi bir örnek uzaydaki iki olay var olsun. Bu iki olaydan birinin gerçekleşmesi için diğerinin gerçekleşip gerçekleşmesinin bir önemi yoksa bu iki olaya bağımsız olay denir. A ve B ,E örnek uzayının iki bağımsız olayı olsun. P(A)>0 ve P(B)>0 olmak üzere \(P(A)=P(A|B)\) ya da \(P(B)=P(B|A)\) ya da \(P(A\cap B)=P(A).P(B)\) ise A olayı B olayından bağımsızdır denir.

Bağımsız iki olay olan A ve B için 
  • \(P(A\wedge B)=P(A\cap B)=P(A).P(B) \)
  • \(P(A\vee B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A).P(B)\) kuralları geçerlidir.

ÖRNEK

Bir zar ard arda üç kez havaya atılıyor. \(1.\) atışta çift sayı \(2.\) atışta tek sayı ve \(3.\) atışta asal sayı gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM

A olayı \(1.\) atışta çift gelme olasılığı ,B olayı \(2.\) atışta tek gelme olasılığı ve C olayı \(3.\) atışta asal gelme olasılığı olsun. Bir zarın yüzeylerinde \(1\)'den \(6\)'ya kadar olan sayılar vardır ve bu sayılardan çift olanları {\(2,4,6\)} yani zarın üst yüzeyine gelen sayının çift sayı olma olasılığı \(\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\), tek olanları {\(1,3,5\)}  yani zarın üst yüzeyine gelen sayının tek sayı olma olasılığı \(\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\), ve asal olanları {\(2,3,5\)}  yani zarın üst yüzeyine gelen sayının asal sayı olma olasılığı \(\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\),'tir.A, B,C olayları bağımsız olaylar oldukları için birbirini etkilemezler. Yani istenen olayların ard arda gerçekleşme olasılıkları \(P(A\cap B\cap C)=P(A).P(B).P(C)=\cfrac{1}{2}.\cfrac{1}{2}.\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{8}\)'dir.

Bağımlı Olayların Olasılıkları

İki veya daha fazla olayın gerçekleşme durumları birbirleri ile ilişkili ise bu olaylara bağımlı olaylar denir. Kısacası A ve B ,E örnek uzayının iki olayı olsun , A olayının sonucu B olayının sonucunu etkiliyorsa A ve B olaylarına bağımlı olaylardır.

NOT: \(P(A)\neq P(A|B)\)(bağımsız olarak A olayının gerçekleşme olasılığı B'ye bağlı A'nın gerçekleşme olasılığından farklıdır) ve \(P(B)\neq P(B|A)\) (bağımsız olarak B olayının gerçekleşme olasılığı A'ye bağlı B'nın gerçekleşme olasılığından farklıdır

ÖRNEK

Bir torbada üzerine  \(1\)'den \(9\)'a kadar sayılar yazılmış özdeş kağıtlar vardır. Bu torbadan çekilen kağıtlar geri konulmamak şartıyla art arda \(3\) kağıt çekiliyor. Bu çekilen kağıtların hepsinin tek sayı olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM

Torbada ki tek sayılar {\(1,3,5,7,9\)} olmak üzere \(5\) tanedir. O halde torbadan çekilen ilk kağıdın tek sayı gelme olasılığı \(\cfrac{5}{9}\)'dur. Bu torbadan çekilen ilk kağıdın tek olduğunu düşünürsek torbada \(4\) tek sayı ve toplamda da \(8\) sayı kalmış olur. Buradan \(2.\) çekilen kağıdın tek olma olasılığı \(\cfrac{4}{8}=\cfrac{1}{2}\)'dir. \(2.\) çekilen kağıdın da tek olduğu düşünülecek olursa torbada \(3\) tek sayı ve toplamda \(7\) sayı kalacaktır. Son olarak \(3.\) çekilen kağıdın tek olma olasılığı \(\cfrac{3}{7}\) bulunur. Burada yazılanlar kullanılarak bu çekilen \(3\) kağıdın da tek sayı olma olasılığı \(\cfrac{5}{9}.\cfrac{1}{2}.\cfrac{3}{7}=\cfrac{15}{126}=\cfrac{5}{42}\) bulunur.

Sonuç olarak İki veya daha fazla bağımlı olayın gerçekleşme olasılığı, sırasıyla (yani bir önceki olayın gerçekleşmesi durumu) gerçekleşme durumlarının çarpımına eşittir. Yani  A,B ve C bağımlı üç olay olsun. A, B ve C olaylarının gerçekleşme olasılığı, A olayının gerçekleşme olasılığı ile A olayının gerçekleştiği durumunda B olayının gerçekleşmesi olasılığı ve  B olayının gerçekleşmesi durumunda C olayının gerçekleşme olasılığının çarpımlarına eşittir.

 

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

183 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 18.07.2020 21:58
Son Güncelleme: 31.07.2020 19:37

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!