Şifre Sıfırlama

Kareköklü İfadeler

Tam Kare Sayılar

Bir pozitif tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Yani kendisiyle çarpılan sayılara tam kare sayılar denir.

Örneğin;   12=1
                 22=4
                 32=9
                 42=16
                 52=25 
                 62=36
                  .
                  .

1, 4, 9, 16, 25 ... sayıları tam kare sayılardır.

ÖRNEK:

I. 25        II. 35     III.39    IV.64

Yukarıdakilerden hangileri tam karedir?

ÇÖZÜM:

25=52

64=82

diğerleri tam kare değildir. Çünkü diğerleri bir sayının kendisi ile çarpımına eşit değildir.

 

ÖRNEK:

Ali 100 sayfalık bir kitabın sadece tam kare olan sayfalarında durarak kitabı okumaktadır. Buna göre Ali 15. sayfa ile 70. sayda arasında kaç kez durmuştur?

ÇÖZÜM:

Ali tam kare sayılarda durduğuna göre;

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

sayfalarında durmuştur bunlardan 16, 25, 36, 49, 64 sayfaları 15 ile 70. sayfalar arasındadır. O halde Ali 5 kez durmuştur.

 

Tam Kare Doğal Sayıların Karekökünü Bulma

    Verilen bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulabilmek için karekök alınmalıdır. karekök "√¯ "sembolü ile gösterilir.

ÖRNEK:

64, hangi sayının karesidir.

ÇÖZÜM:

karesi 64 olan sayıya a diyelim.

\(a^2=64\)
\(\sqrt{a^2}=\sqrt{64}\)
\(\sqrt{a^2}=\sqrt{8^2}\)
\(a=8\)
 olur.

 

ÖRNEK:

Alanı 144 br2 olan bir arsanın bir kenarı kaç metredir.

ÇÖZÜM:

karenin alanını herhangi iki kenarının çarpımı olduğunu biliyoruz. O halde karenin alanı a2 olur. 

\(a^2=144\)

\(\sqrt{a^2}=\sqrt{144}\)

\(\sqrt{a^2}=\sqrt{12^2}\)

\(a=12\)

NOT: \(x^2=a\) ise \(x= \pm \sqrt{a}\) olur. ( \(\sqrt{a}\) ifadesinin önünde "\(\pm\)" nin bulunmasının sebebi negatif sayılarında karelerinin pozitif olmasıdır. Örneğin 4 ve -4 sayısını karesi 16'dır.)

ÖRNEK:

Yukarıdaki ABCD karesinin alanı 196 br2 ve taralı alan 160 br2  olduğuna göre KLMN karesinin çevresi kaç br'dir?

ÇÖZÜM:

KLMN karesinin alanını bulmak için ABCD karesinin alanından taralı alanın çıkarırız.

A(KLMN)=196-160=36

KLMN karesinin alanı 36br2 ise karenin bir kenarına a diyelim ve a 'yı bulalım;

\(a^2=36 \)

\(\sqrt{a^2}=\sqrt{36} \)

\(\sqrt{a^2}=\sqrt{6^2} \)

\(a=6\)

Karenin çevresi = \(4 \cdot6=24\)

 

Tam Kare Olmayan Sayılar.

      Tam kare sayılar; bir sayının kendi ile çarpımından elde edilen sayılardı. Tam kare olmayan sayılar ise herhangi bir sayının kendi ile çarpımı şeklinde ifade edilemeyen sayılardır.

ÖRNEK:

9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Yukarıdakilerden kaç tanesi tam kare olmayan bir sayıdır?

ÇÖZÜM:

9=32

16=42

9 ve 16 tam kare sayılarıdır diğerleri tam kare olamayn sayılardır. O halde 6 tanesi tam kare değildir.

 

NOT: Herhangi a, b ve c doğal sayıları için a\(\sqrt{a}<\sqrt{b}<\sqrt{c}\) olur.

ÖRNEK:

\(\sqrt{66}\) sayısı hangi ardışık iki doğal sayı arasındadır?

ÇÖZÜM:

66 dan büyük tam kare sayı düşündüğümüzde 81 buluruz. 
66 dan küçük tam kare sayı düşündüğümüzde 64 buluruz.

\(\sqrt{64}<\sqrt{66}<\sqrt{81}\)

\(\sqrt{8^2}<\sqrt{66}<\sqrt{9^2}\)

\(8<\sqrt{66}<9\)

olur.

ÖRNEK:

Yukarıdaki sayı doğrusunda noktalar arasındaki mesafeler birbirine eştir.

Buna göre ok işareti ile gösterilen sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir.

A)\(\sqrt{40}\)    

B)\(\sqrt{48}\)

C)\(\sqrt{52}\)

D)\(\sqrt{64}\)

E)\(\sqrt{60}\)

 

Sayıların Kareköklerini Tahmin Etme

      Tam kare olmayan bir sayının körekökünü tahmin ederken; sayıya en yakın olan iki tam kare sayı bulunur. Tahmini karekök bu iki sayının karekökleri arasındadır. Sayının ondalık kısmı tam kare olan sayılara olan uzaklığına göre belirlenir.

ÖRNEK:

141 sayısının karekökü tahminen kaçtır?

ÇÖZÜM:

141 dan büyük 144 tam kare sayısı vardır
141 dan küçük 121 tam kare sayısı vardır

\(\sqrt{121}<\sqrt{141}<\sqrt{144}\)

\(11<\sqrt{141}<12\)

o halde \(\sqrt{141}=11,...\) dır. Virgülden sonrasını tahmin etmek için şöyle bir yöntem kullanalım.

144-141=3
141-121=20

144-121=23

o halde sayımız 121 e 20 br uzaklıkta, 144 e 3 br uzaklıktadır. O halde

\(\sqrt{141}=11,9\) diyebiliriz.

 

Karekök İçindeki Bir Sayıyı a√b Şeklinde İfade Etme

     Karekök içindeki bir sayıyı \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazabilmek için kökün içindeki sayının çarpanlarına ayrılabilmesi ve bu çarpanlardan en az bir tanesinin tam kare sayı olması gereklidir. \(a\sqrt{b}\) ifadesinde a karekökün katsayısıdır.

ÖRNEK:

\(\sqrt{45}\) ifadesini \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazınız.

ÇÖZÜM:

\(\sqrt{45}=\sqrt{9 \cdot 5}\)

\(\sqrt{45}=\sqrt{9} \cdot \sqrt{5}\)

\(\sqrt{45}=3 \cdot \sqrt{5}\)

 

ÖRNEK:

\(a \sqrt{17}=\sqrt{68}\) olduğuna göre a kaçtır?

ÇÖZÜM:

\(a \sqrt{17}=\sqrt{4 \cdot 17}\)

\(a \sqrt{17}=\sqrt{2^2 \cdot 17}\)

\(a \sqrt{17}=2\sqrt{ 17}\)

\(a=2\)

 

UYARI: Kareköklü ifadenin çarpanlarından en az biri tam kare sayı değilse

 

   Şimdide ifadeyi tam tersi olarak düşünelim. Yani, \(a \sqrt{b}\)  ifadesinin tamamen karekök içide şu şekilde yazacağız;

 \(a \sqrt{b}=\sqrt{a^2 \cdot b}\)  şeklinde yazılır. 

ÖRNEK:

\(6\sqrt{5}\) ifadesini karekök içinde yazınız.

ÇÖZÜM:

\(6\sqrt{5}=\sqrt{6^2\cdot5}\)

\(6\sqrt{5}=\sqrt{36\cdot5}\)

\(6\sqrt{5}=\sqrt{180}\)

 

 

 

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

34 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 21.01.2021 19:28
Son Güncelleme: 25.01.2021 23:33

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!