Şifre Sıfırlama

İkinci dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlar

TANIM: \(a, b, c \in R , a≠0\) olmak üzere;

\(f:R \in R , f(x)=ax^2+bx+c\) şeklindeki fonksiyonlar ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların grafiklerine parabol adı verilir.

\(f(x)=x^2\)

\(g(x)=-2x^2+3x+5\)

ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlara örnektir. Grafikleri parabol ifade eder.

ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlardır

ÖRNEK:

\(f(x)=x^2+2x+1\) fonksiyonu için \(x=-2\) için \(f\) in alacağı değerleri bulunuz.

ÇÖZÜM:

 \(f(x)=x^2+2x+1\) 

 \(f(-2)=(-2)^2+2 .(-2)+1\) 

\(f(-2)=4+(-4)+1\)

\(f(-2)=1\) olur.

İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonlarda Grafik Çizimi

TANIM: \(f:A⊆R \to R \) için;

\(f(x)=ax^2+bx+c, a≠0 \) fonksiyonunun sağlayan \((x, y)\) değerlerinin analitik düzlemde göterilmesiyle fonksiyonun grafiği çizilmiş olur. Bu tür grafiklere parabol denir.

Yukarıda sırasıyla iki temel parabol  grafiği verilmiştir.

ÖRNEK: 

\(f(x)=x^2 \) ve \(g(x)=-x^2 \) fonksiyonlarınnı grafiklerini çiziniz.

ÇÖZÜM:

NOT: \(f(x)=ax^2+bx+c\) fonksiyonunda \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı doğru, \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğru olur.

Tepe Noktası: İkinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlarda \(a > 0\) için parabolün kolları yukarı bakarken fonksiyonun aldığı en küçük değere, \(a < 0\) için parabolün kolları aşağı bakarken fonksiyonun aldığı en büyük değere tepe noktası denir. Genellikle T(r,k) şeklinde gösterilir r = x = \(-{b \over 2a}\)  değeri,  k = y = \({4ac-b^2 \over 4a}\) değeri olur.

Simetri Ekseni: Tepe noktasından y eksenine paralel çizilen doğruya grafiğin simetri ekseni denir.

Parabol çiziminde kolaylık sağlaması bakımından bazı adımları takip ederek çizmek daha iyi olur.

      1) Parabol kollarının yönü bulunur

\(a > 0\) ise kollar yukarı doğru.

\(a < 0\) ise kollar aşağı doğru.

      2) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur 

Parabolün y eksenini kestiği nokta \(x=0\) verilerek bulunur.

parabolün x eksenini kestiği noktalar \(f(x)=y=0\) verilerek bulunur.

      3) Tepe noktasının bulunması

Parabolün x eksenini kestiği noktaların ortası tepe noktasının apsisini (x değerini) verir.

\(r={x_1+x_2 \over 2}={{-b \over a} \over 2}= {-b \over 2a}=x\) değeri fonksiyonda yerine yazıldığında tepe noktasının ordinatıda bulunmuş olur.

ÖRNEK:

\(f: R \to R , f(x)= x^2+x-6\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

 fonksiyonda a = 1 , b = 1 , c = -6

   1. \(a = 1 >0\) olduğundan fonksiyonun kolları yukarı dönüktür.

   2. \(x=0\) için \(y=f(0)=0^2+0-6=-6\) olur.

       \(y=0 \) için \(x^2+x-6=0 \) ise \((x+3).(x-2)=0\) olduğundan \(x=-3, x=2\) değerlerini alır

   3. \(r= {-b \over 2a} = {-1 \over 2}\)

      \(k = ({-1\over 2})^2+({-1 \over 2})-6={1 \over 4}+({-1 \over 2})-6=({-25 \over 4})\)

      \(T(r,k)=T({-1 \over 2}, {-25 \over 4})\)

Grafiği Verilen İkinci Dereceden Fonksiyonu Yazma

  • Tepe Noktası ve Başka Bir Noktası Bilinen İkinci Dereceden Fonksiyonu Yazma

\(f(x)=ax^2+bx+c\) ifadesinin tam kareye dönüşmüş hali;

\(f(x)=a.(x-(-{b \over 2a}))^2+{4ac-b^2 \over 4a}\) olur

 r = \(-{b \over 2a}\)    k = \({4ac-b^2 \over 4a}\)  olduğundan

\(f(x)=a.(x-r)^2+k\) olur.

 

ÖRNEK:

Tepe noktası T(3, -2) olan ve (2, 0) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Tepe noktası bilinen parabol denkleminden T(3, -2) noktası yazılırsa

\(f(x)=a.(x-r)^2+k=a.(x-3)^2+(-2)\)

parabol (2, 0) noktasından geçtiğine göre

\(0=a.(2-3)^2-2=a-2\) olduğuna göre 

\(a=2\) olur. Dolayısıyla

\(f(x)=2.(x-3)^2+(-2)\) olur.

  • Biri y Ekseninde Olmak Üzere Üç Noktası Verilen Parabolün Denklemini Yazma

 

Bir Doğru İle Bir Parabolün Birbirine Göre Durumları

\(a, b, c, n, m \in R , a≠0\) olmak üzere \(f(x)=ax^2+bx+c\) parabolü ve \(y=mx+n\) doğrusu verilmiş olsun. Doğru ile parabolün birbirine göre konumlarını belirlemek için;

\(y=ax^2+bx+c\)

\(y=mx+n\)

iki denklem de y ye eşit olduğundan ortak çözüm yapılır.

\(mx+n=ax^2+bx+c\)

\(ax^2+(b-m)x+c-n=0\)

Bu denklemin diskriminantının durumu bize parabolün doğruya konumunu anlatır.

  • \(\bigtriangleup > 0\) ise denklemin farklı iki gerçek kökü vardır. Yani parabol ile doğru iki farklı noktada kesişiyor. Kesişme noktası bulunurken denklemin kökleri bulunur bu kökler fonksiyonun x noktasını verir. Bu x değerlerini iki fonksiyondan herhangi birinin yerine koyduğumuzda y değerinide buluruz.
  • \(\bigtriangleup = 0\) ise denkleminin iki eşit gerçek kökü vardır. Yani parabol ile doğru tek noktadan birbirine değerler ve doğru parabole teğettir. Bu kök teğet noktasının apsisini verir. Bu x değerini iki fonksiyondan herhangi birinin yerine koyduğumuzda y değerinide buluruz.
  • \(\bigtriangleup < 0\) ise denklemin gerçek kökü yoktur. Yani parabol ile doğru kesişmezler.

ÖRNEK:

\(f(x)=3x^2-x+k\) parabolü \(y=3x-4\) doğrusuyla teğet olduğuna göre k kaçtır?

ÇÖZÜM:

Ortak çözüm bulalım

\(3x-4=3x^2-x+k\)

\(0=3x^2-4x+k+4\)

Doğru, parabole teğet olduğundan ortak çözüm denkleminde \(\bigtriangleup = 0\) dir. 

\(\bigtriangleup = b^2-4ac\) olduğundan 

\(0= b^2-4ac\) olur

\(0 = (-4)^2-4.3(k+4)\)

\(0 = 16 - 12k -48\)

\(k=-{8 \over 3} \) olur. 

İkinci Dereceden Fonksiyon Uygulamaları

Bu konumuzda daha önce işlediğimiz konunun gerçek hayattan olan sorularını çözeceğiz.

ÖRNEK:

Yukarıdaki köprü modelinde parabolik çelik halat \(f(x)=x^2+15\) ile modellenmektedir. Köprünün merkezindeki çelik halat ise 15m dir o halde köprü ayaklarının içinde kalan en sağdaki halatın boyu kaç m dir?

ÇÖZÜM:
halatın fonksiyonu \(f(x)=x^2+15\) dir ve merkezdeki halatın boyu 15m dir. Yatay uzunluklar x, dikey uzunluklar y olarak düşünülür.

\(f(0)=0^2+15= 15\) olduğunu zaten biliyoruz. Bize en sağdaki halatın boyu soruluyor. Halatlar arası mesafe 10m olduğundan en sağdaki halat merkezden 30m uzaktadır.

\(f(30)=30^2+15=915 \) metre olduğu görülür.

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

41 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 27.07.2020 09:01
Son Güncelleme: 10.11.2020 13:33

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!