Şifre Sıfırlama

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

 

\(a,b,c\) \(\in\) R ve \(a \)\(\neq \)0 olmak üzere \(ax^2+bx+c=0\)  denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

\(a,b,c\) denklemin katsayıları ve x denklemin bilinmeyenidir.

Denklemi sağlayan x değerlerine denklemim kökleri, bu köklerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Ç={x\(_1\),x\(_2 \)}  şekinde gösterilir.

Sorularda genel amaç bilinmeyen olan x i bulmaktır.

Sorularda denklemin kökü verilirse, kök denklemde yerine konularak işlem yapılır.

ÖRNEK:

\((b-7)x^3-2x^2+6x+5=0\)  denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre b kaçtır?

ÇÖZÜM:

Verilen denklem ikinci dereceden olduğuna göre bilinmeyen x in kuvveti en fazla 2 olamalıdır. Soruda \(x^3 \) lü ifade olamaz, bundan dolayı (b-7) ifadesi 0 olmalı ki \(x^3\) lü ifade olmasın.

Bundan dolayı b-7=0    b=7 olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(x^2-4x+m=0\) denkleminin bir kökü 2 oldoğuna göre m kaçtır?

ÇÖZÜM:

Denklemin bir kökü 2 olduğundan  2 değeri denklemi sağlar , x  yerine 2 yazılır, x yerine 2 yazarsak \(2^2-4.2+m=0 \) olur. Buradan 4-8+m=0  bulunur ve buradan m= 4 olarak bulunur.

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

Denklemleri çözerken farklı metodlar kullanılabilir. Bu metodlar Çarpanlara ayırma ve diskriminant metodlarıdır.

Çarpanlara Ayırma ile Çözme

Verilen denklem çarpanlara  ayrılabiliyorsa  çarpanlarına ayrılır.Çarpanların ayrı ayrı kökleri bulunur.

ÖRNEK:

\(x^2-25=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x^2-25=0\)  denklemini çarpanlarına ayırırsak (x-5)(x+5)=0 olarak ayrılır.Şimdi çarpanları ayrı ayrı 0 a eşitleyelim (x-5)=0 ve (x+5)=0 olur. Buradan x=5 vex=-5 ve Ç={5,-5} olarak bulunur.

ÖRNEK:

\(x^2-2x-35=0\)  denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x^2-2x-35=0\) denklemini çarpanlarına ayırırsak (x-7)(x+5)=0 olarak bulunur.Buradan (x-7)=0 ve (x+5)=0 olur. Ç={-5,7} olarak bulunur.

 

NOT:Çarpanlara ayırma konusunda eksiği olanlar çarpanlara ayırma ders notlarına bakabilir.

  

NOT: Katsayılar toplamı bir olan denklemin bir kökü daima 1 dir. Katsayılar toplamı denklemde bilinmeyen yerine 1 yazılarak bulunabilir.

 

ÖRNEK: 

\(x^2-2x+1=0\) denkleminin köklerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x^2-2x+1=0\)  denklemi  \((x-1)^2=0\)  tam kare denklemine eşittir. Buradan \((x-1)^2=0\) ve x =1 olarak bulunur. 

 

ÖRNEK:

\(2x^2-5x-3=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: 

\(2x^2-5x-3=0\)  denklemini çarpanlara ayırısak (2x+1)(x-3)=0 denkelmi elde edilir.Çarpanların ayrı ayrı köklerini bulalım.

(2x+1)=0  x=-1/2 ve  (x-3)=0 x=3  bulunur. Ç={-1/2,3} olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(x^2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})x-\sqrt{{15}}=0\)  , denkleminin kökleri \(x_1, x_2\) dir.  \(x_1>x_2 \)   olduğuna göre  \(3x_1 -5 \)  değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x^2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})x-\sqrt{{15}}=0\) denkleminin köklerini bulmak için çarpanlarına ayıralım.

\((x-\sqrt{3})(x+\sqrt{5})=0\) denklemi elde edilir. Ayrı ayrı köklerini bulalım. \((x-\sqrt{3})\)=0  x=\(\sqrt{3}\)  ve \((x+\sqrt{5})=0\)  x= \(-\sqrt{5}\)

  olarak bulunur. \(\sqrt{3}>-\sqrt{5}\) olduğundan \(x_1=\sqrt{3}\) ve \(x_2=-\sqrt{5}\) olur.

\(3x_1-5=3(\sqrt{3})-5=3\sqrt{3}-5\)  olarak elde edilir.

 

ÖRNEK:

\((x+4)^2-3x-12=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((x+4)^2-3x-12=0\)  denklemini \((x+4)^2-3(x+4)=0\) biçiminde yazabiliriz.

soruyu daha kolay çözebilmek için (x+4)=t  dönüşümü yapalım.

\(t^2-3t=0\) denklemi elde edilir. Çarpanlarına ayıralım(t parantezine alalım) 

 \(t(t-3)=0\) elde edilir ve ayrı ayrı köklerini bulalım.

t=0 ve  (t-3)=0  t=3  elde edilir. Şimdi t yi dönüşümde yerine koyup asıl aradığımız x leri bulalım. 

t=0⇒ x+4=0 x=-4  ve   t=3⇒ x+4=3  x=-1  elde edilir. Ç={-4,-1} elde edilir.

 

 

Diskriminant Yöntemi ile Çözme

Denklemleri çözerken diskriminant yöntemi de kullanılır.

\(ax^2+bx+c=0 \) olmak üzere 

\(x_1=\frac {-b+\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}\)       ve   \(x_2= \)\(\frac {-b-\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}\)

Ç={\(x_1,x_2\)}

Burada \(b^2-4ac=\Delta\) olarak adlandırılır.

Sonuçlar:

1-\(\Delta=b^2-4ac>0 \)  ise \(ax^2+bx+c=0 \)  denkleminin  iki farklı gerçek(reel)  kökü vardır. Yukarıda belittiğimiz gibi denklemin kökleri \(x_1 \)ve \(x_2 \) dir.

2-\(\Delta=b^2-4ac=0 \)  ise \(ax^2+bx+c=0 \) denkleminin eşit(çakışık) iki gerçek kökü vardır.

3-\(\Delta=b^2-4ac<0 \)  ise \(ax^2+bx+c=0 \) denkleminin gerçek kökü yoktur. Denklemin Ç=Ø dir.

 

ÖRNEK:

\(x^2-8x-9=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Diskriminant yöntemiyle çözelim.

\(\Delta=b^2-4ac\)   ve \(a=1 , b=-8, c=-9\)

=\(b^2-4ac=(-8)^2-4.1(-9)=100\)

 \(x_1=\frac {-b+\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}\)  =\(\frac{-(-8)+\sqrt{100}}{2.1} = \frac{8+10}2=9\)

 \(x_2= \)\(\frac {-b-\sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}\)=\(\frac{-(-8)-\sqrt{100}}{2.1} = \frac{8-10}2=-1\)  olur ve Ç={-1,9}  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(2x^2-4x+b=0\) denkleminin gerçek kökü olamdığına göre b nin değer aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Gerçek(reel) kökü olmaması demek diskriminantın(delta) nın 0 dan küçük olması demektir.

\(\Delta=b^2-4ac<0\) olduğundan 

\((-4)^2-4.2.b<0\)  ve \(16-8.b<0\) 

16<8.b    eşitsizliğin her iki tarafını 8 e bölelim.

\(2 ve \(b\in (2,\infty)\) olur.

ÖRNEK :

\(a\neq 0\)   olmak üzere   \(ax^2-4x+4=0\) denkleminin çakışık iki gerçek kökü olduğuna göre \(a\)değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Denklemin çakışık gerçek(reel) iki kökü varsa 

\(\Delta=b^2-4ac=0\) olur  ve \((-4)^2-4.a.4=0\)

\(16-16a=0\)     ve \(16=16a\)

\(a=1 \) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(3x^2-(a+2)x-4=0\) denkleminin farklı iki gerçek kökü olduğuna göre \(a\) nın değer aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Denklemin farklı iki gerçek(reel) kökü olduğuna göre 

\(\Delta=b^2-4ac>0\) olur ve \((-a-2)^2-4.3.(-4)>0\)

\((-a-2)^2+48>0\) elde edilir, bu eşitsizlik her \(a\) için sağlanır çünkü \((-a-2)^2>0\)  dır.

 Bundan dolayı \(a\) nın değer aralığı R dir.

 

ÖRNEK:

Bir basketbol topunun t. saniye sonra yerden yüksekliğini  metre cinsinden veren denklem  \(b(t)=-t^2+10t-1\) şeklinde modelleniyor.

Buna göre

a) Topun 3. saniye sonraki  sonraki yerden yüksekliği kaç metredir ?

b) Top hangi saniyeden sonra yerden 24 metre yüksekliktedir ?

ÇÖZÜM:

a) Topun yükseklik denklemi verildiğinden denklemde t yerine 3 koyarsak 3. saniyedeki yüksekliği buluruz.

\(-(3)^2+10.3-1=20\) olarak bulunur.

b) Topun hangi saniyeden sonra  24  metre yükseklikte olduğunu bulmak için denklemi 24  ya eşitleyip  \(-t^2+10t-1=24\)  t değerini bulmalıyız.

\(-t^2+10t-1=24\)   ise \(-t^2+10t-25=0\)   denklemi daha kolay çözmek için her iki tarafı (-1) ile çarpalım.

\(t^2-10++25=0\)   elde edilir. \(t^2-10t+25\) denklemi bir tam kare denklemdir  ve \(t^2-10t+25=(t-5)^2\)  olur.

\((t-5)^2=0\) eşitlersek buradan t=5 değerini buluruz.

Sonuç olarak top 5. saniyeden sonra yerden 24 metre yüksekliktedir.

 

KARMAŞIK SAYILAR

 

\(x^2+1=0 \)    \(x^2=-1\)   denkleminin çözüm kümesi gerçek(reel) sayılarda olmadığından yeni bir sayı kümesine ihtiyaç duyulmuştur.

Gerçek sayı olmayan ve karesi -1'e eşit olan sayı tanımlanmıştır.

\(\sqrt{-1}\) sayısına sanal(imajiner) sayı birimi denir.

\(i=\sqrt{-1} \) veya  \(i^2=-1\)  biçiminde gösterilir.

\(a,b \in R \)   ve \(i\)  sanal sayı birimi plmak üzere 

\(z=a+ib\)  biçimindeki sayılara karmaşık(kompleks) sayılar denir ve  karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.

\(z=a+ib\)    karmaşık sayısında

a sayısına karmaşık sayının gerçek kısmı  denir ve \(Re(z)=a\) biçiminde gösterilir.

b sayısına karmaşık sayının sanal(imajiner) kısmı denir ve \(Im(z)=b\)  biçiminde gösterilir.

NOT: Bütün gerçek sayılar aynı zamanda karmasşık sayıdır. 
\(5=5+0.i\)      \(-1=(-1)+0.i\)     ve     
\(N\subseteq Z \subseteq Q\subseteq R\subseteq C\)

ÖRNEK:

\(i^2=-1 \)  olmak üzere \(\sqrt{-36}\)   ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(i^2=-1 \)   olmak üzere   \(\sqrt{-36}=\sqrt{(-1).(36)}\)

\(\sqrt{(-1).(36)}=6.\sqrt{-1}\)  ve \(i=\sqrt{-1} \) olduğundan  

\(6.\sqrt{-1}=6i\) olur.

 

Sanal sayı biriminin kuvvetleri

\(i=\sqrt{-1}\)
\(i^2=-1\)
\(i^3=i^2.i=(-1).i=-i\)
\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\)
\(i^5=i^4.i=1.i=i\)
\(i^6=i^4.i^2=1.(-1)=-1\)
..............................................
..............................................

 

\( i^n = \begin{cases} 1, & \quad \text{ n=4k }\text{}\\ i, & \quad \text{n=4k+1 } \text{ }\\ -1, & \quad \text{n=4k+2 } \text{ }\\ -i, & \quad \text{n=4k+3 } \text{ } \end{cases} \)   şeklinde tanımlanır.

 

ÖRNEK:

\(i^{27}\) ve \(i^{46}\) sayılarının  eşitlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(i^{27}=i^{4.6+3}=(i^4)^6.i^3=1^6.i^3=i^2.i=-i\)

\(i^{46}=i^{4.11+2}=(i^4)^{11}.i^2=1^{11}.i^2=-1\)

 

ÖRNEK:

\(i+i^2+i^3+i^4+i^5+......+i^{65}\)   toplamının sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(i+i^2+i^3+i^4=i+(-1)+(-i)+1=0\)  ve 

\(i^5+i^6+i^7+i^8=i+(-1)+(-i)+(1)=0\)    olur.

Buradan  sıralı her dört terimin toplamında 0 elde ediliyor. Burada toplam 65 terim bulunuyor.Bu terimleri dörtlü gruplara ayırırsak 

65=64+1   ve 65=4.16+1  elde edilir . 16 tane dörtlü terim  oluşur ve  1 terim artar .

artan son terim olan \(i^{65}\) dir.

\(16.0+i^{65}= i^{65}=(i^4)^{16}.i=1^{16}.i=i\)   elde edilir.

 

NOT: Karmaşık sayılar  birbirlerine eşit ise sayıların sanal ve gerçek kısımları karşılıklı birbirlerine eşittir. 

 

ÖRNEK:

\(z_1=5-ai\)  ve \(z_2=b+4i\)  karmaşık sayıları eşit olduğuna göre \(a^2-b \)  değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(z_1=z_2\)   ise  \(5-ai=b+4i\)  yazılır.Buradan 

\(b=5\)  ve  \(-a=4\) ,\(a=-4\)   olur.

\(a^2-b=(-4)^2-5=11\) olarak bulunur.

 

Karmaşık sayının eşleniği

\(z=a+bi\)  karmaşık sayı olmak üzere 

\(\bar{z}=a-bi\)  sayısına \(z\) sayısının eşleniği denir.

 

ÖRNEK:

\(z_1=3-4i\)  ,   \(z_2=6-ai\)    karmaşık sayılarının eşleniklerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\bar{z_1}=3-(-4i)=3+4i\)

\(\bar{z_2}=6-(-ai)=6+ai\)    olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(\bar{z}=2z-3i+5\)  ise z karmaşık sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(z=a+bi\)  olsun. Buradan \(\bar{z}=a-bi\) olur.
\(a-bi=2(a+bi)-3i+5\)
\(a-bi=2a+2bi-3i+5\)

\(a-bi=2a+5-(3-2b)i\)  yazılır.      

\(a=2a+5\)    ve   \(b=3-2b\) olur .Buradan 

\(a=-5 \) ve \(b=1\) olur ve 

\(z=-5+i\)  olarak bulunur.

 

Karmaşık Sayılarda İşlemler

 

a) Toplama ve çıkarma

Toplama ve çıkarma işlemi yapılırken gerçek kısımlar gerçek kısımlarla, sanal kısımlar sanal kısımlarla toplanı veya çıkarılır.

ÖRNEK:

\(i^2=-1\)  olmak üzere
\(z_1=3-5i\)  ve \(z_2=9+6i\) ise \(z_1+z_2\) işeminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(z_1+z_2=(3-5i)+(9+6i)=(3+9)+(-5i+6i)=12+i\)  bulunur.

 

b) Çarpma işlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yapılırken gerçek sayılardaki çarpma gibi her terim birbirleriyle çarpılır.

ÖRNEK:

\(i^2=-1\) olmak üzere
\(z_1=7-5i\) ve \(z_2=3-2i\) ise \(z_1.\bar{z_2} \)  işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(z_1.\bar{z_2} =(7-5i).(3+2i)=21+14i-15i-10i^2\)

\(i^2=-1\)  olduğundan    \(21+14i-15i-10i^2=21-i-10i^2=21-i+10=31-i\)  bulunur.

 

ÖRNEK:

\(i^2=-1\)   olmak üzere
\((1+i)^4+(1-i)^4\)   işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((1+i)^4=((1+i)^2)^2\)  ve \((1+i)^2=1^2+2i+i^2=2i\)
\((2i)^2=4i^2=-4\)

\((1-i)^4=((1-i)^2)^2\) ve \((1-i)^2=1-2i+i^2=-2i\)
\((-2i)^2=4i^2=-4\)

\((-4)+(-4)=-8\) bulunur.

 

c) Bölme işlemi

\(a,b,c,d \in R\) ve \(i\) sanal sayı birimi olmak üzere \(\frac{a+bi}{c+di}\)   işlemi yapılırken kesrin pay ve  payda kısımları paydanın  eşleniği ile çarpılır.

ÖRNEK:

\(z_1=3+7i\) ve \(z_2= 5+3i\) olmak üzere \(\frac{3+7i}{5+3i}\) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{(3+7i)(5-3i)}{(5+3i)(5-3i)}=\frac{15-9i+35i-21i^2}{25-15i+15i-9i^2}=\frac{36+26i}{16}\) olarak bulunur.

 

Karmaşık Sayılarda İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

\(ax^2+bx+c=0 \)   denkleminde  \(\Delta=b^2-4ac<0\)  ise denklemin gerçek sayılarda kökü olmadığını öğrenmiştik.

\(ax^2+bx+c=0 \)   denkleminde   \(\Delta=b^2-4ac<0\)  ise karmaşık sayılarda çözümü vardır.

Kökleri  \(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) , \(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(2x^2+2x+5=0\)   denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\Delta=b^2-4ac=4-4.2.5=-36<0\)  olduğundan  gerçek sayılarda çözüm kümesi yoktur. Ancak karmaşık sayılarda çözümü vardır.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{-36}}{4}=\frac{-2+6i}{4}\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{-36}}{4}=\frac{-2-6i}{4}\)

Ç={\(\frac{-2+6i}{4}\),\(\frac{-2-6i}{4}\) olarak bulunur.

 

NOT: Karmaşık sayılarda denklemin bir kökü \(a+bi\)  ise diğer kökü \(a-bi\)  dir.

 

 

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki İlişkiler

\(ax^2+bx+c=0\)   denkleminin kökleri \(x_1\)  ve \(x_2\)  olmak üzere;

1- Kökler Toplamı  \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)  

2- Kökler Çarpımı \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)

3- Kökler Farkının Mutlak Değeri  \(| x_1-x_2 |=\frac{\sqrt{\Delta}}{| a |}\)

4- Köklerin Çarpmaya Göre Terslerinin Toplamı \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-b}{c}\) 

 

ÖRNEK:

\(2x^2-3x+6=0\)  denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımını bulunuz.

ÇÖZÜM:

  Kökler toplamı  \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)  olur , \(\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{2}=\frac{3}{2}\)  elde edilir.

  Kökler Çarpımı \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\) olur, \(\frac{c}{a}=\frac{6}{2}=3\)  elde edilir.

 

ÖRNEK:

\(3x^2-ax+4=0\)  denkleminin kökleri \(x_1,x_2\) olmak üzere \(x_1^2.x_2=16\) olduğuna göre a değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(x_1^2.x_2=x_1(x_1x_2)\)  ve  \(x_1(x_1x_2)=16\)  dır.

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}\)     \(x_1(\frac{4}{3})=16\) ise  \(x_1=12 \)  elde edilir.

\(x_1\)  denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar.

\(3(12^2)-a.12+4=0\) 
\(436=12a\)    \(a=\frac{436}{12}=\frac{109}{3}\) olur.

 

 

Kökleri Verilen İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Yazılması

\(a\neq0\)  olmak üzere \(ax^2+bx+c=0\)  denkleminin kökleri \(x_1,x_2\) olsun.

kökleri verilen ikinci dereceden denklem   \(x^2-(\frac{-b}{a})x+\frac{c}{a}\) şeklinde yazılır.

\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}\)  ve  \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)  değerlerini yerine yazarsak \(x^2-(x_1+x_2)+x_1x_2=0 \)  elde edilir.

 

ÖRNEK:

Köklerinden biri \(3-\sqrt{2}\)  olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz.

Çözüm:

Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir kökü \(3-\sqrt{2}\)  ise diğer kökü eşleniği olan \(3+\sqrt{2}\) dir.

\(x_1+x_2=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})=6\)

\(x_1.x_2=(3-\sqrt{2}).(3+\sqrt{2})=9+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2=7 \) olur.

denklem   \(x^2-6x+7=0\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\(x^2+3x-28=0\)  denkleminin köklerinin birer fazlasını kök kabul eden ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi bulunuz.

ÇÖZÜM:

Verilen denklemin kökler toplamını ve kökler çarpımını bulalım.

\(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-3\)

\(x_1.x_2=\frac{c}{a}=-28\)  aranan denklemin kökleri \(x^2+3x-28=0\)  denkleminin köklerinin birer fazlasıdır.

o halde  yeni bulacağımız denklemin;

kökler toplamı:    \(-3+2=-1 \)

kökler çarpımı:  \((x_1+1).(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-28+(-3)+1=-30\)  olur.

o halde aranan denklem     \(x^2+x-30=0 \) olarak bulunur.

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

36 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 04.06.2020 16:35
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!