Şifre Sıfırlama

İki Fonksiyonun Bileşkesi ve Bir Fonksiyonun Tersi

Fonksiyonların Bire Birliğinin ve Örtenliğinin İncelenmesi

Yatay Doğru Testi

TANIM:Grafiği verilen bir \(f(x)=y\) fonksiyonunun birebir veya örten olup olmadığını incelemek için değer aralığının her noktasında x eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğruların; her biri grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örten, her biri grafiği yalnızca bir noktadan kesiyorsa fonksiyon birebir olur. 

ÖRNEK:

Aşağıdaki \(R\to R\) fonksiyon grafiklerinin birebir ve örten olma durumlarını inceleyiniz.

ÇÖZÜM:
a) Grafiğe yatay doğru testi uyguladığımızda; yatay doğrular x ekseninin üst tarafında grafiği birden fazla noktada kestiğinden fonksiyon birebir değildir. Ayrıca x ekseninin altında doğrular grafiği kesmediğinden fonksiyon örten değildir. Bunun sebebi fonksiyonun \(R\to R\) bir fonksiyon olmasıdır yani değer kümesinde ki bütün elemanları kesmediğinden örten değildir. Eğer fonksiyon \(R\to [0, \infty )\) olsaydı yatay çizgileri \( [0, \infty )\) aralığında çizerdik ve fonksiyonu her doğru en az bir noktada keserdi böylece örten olurdu.

b) Grafiğe yatay doğru testi uyguladığımızda; yatay doğruların her biri grafiği yalnız bir noktadan kestiğinden bu fonksiyon birebirdir. Değer kümesinin her noktasında fonksiyonu kesiğinden örten fonksiyondur.

c) Grafiğe yatay doğru testi uygulandığında; yatay doğruların her biri grafiği yalnız bir noktadan kestiğinden bu fonksiyon birebirdir. Değer kümesinin her noktasında fonksiyonu kesiğinden örten fonksiyondur.

 

Bileşke Fonksiyon

TANIM: \(f:A\to B\) örten ve \(g:B\to C\) fonksiyonları verilsin. A nın elemanlarını, \(f\) ve \(g\) fonksiyonları ile eşleyen fonksiyona Bileşke fonksiyon denir. Yani \(\forall x \in A\) için \(h(x)=g[f(x)]\) şeklinede tanımlanan \(h:A \to C\) fonksiyonuna \(f \) ve \(g\) fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir ve \(h=g\circ f \) şeklinde gösterilir. 

\(g\circ f:A\to C, (g\circ f)(x)=g[f(x)]\) şeklinde gösterilir, g bileşke f şeklinde okunur.

   Özellikler:

  • Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur, \(f\circ g\) ≠ \(g\circ f\) .
  • Bir fonksiyonun birim fonksiyon ile bileşkesi kendisine eşittir, \(I(x)=x\) ise \(f\circ I=​I\circ f​\) .
  • Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır, \(f\circ g \circ h =(f\circ g )\circ h =f\circ (g \circ h )\) .

ÖRNEK:

\(f,g:R\to R \) olmak üzere \(f(x)=2x+1\) ve \(g(x)=4x-3\) fonksiyonları için \(f\circ g\) ve \(g\circ f\) fonksiyonlarını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\((f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(4x-3)=2.(4x-3)+1=8x-5\)

\((g\circ f)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=4.(2x+1)-3=8x+1\)

görüldüğü üzere \((f​​\circ g)(x)≠(g\circ f)(x)\) dir.

ÖRNEK

Yukarıda f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir grafiğe göre \((f\circ g)(3)\) fonksiyonunun cevabını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\( (f\circ g)(x)=f[g(x)]\) olduğundan,

\( (f\circ g)(3)=f[g(3)]\) olur.

\(g(3)=0\) olduğunu grafikten çıkarırız. \(f[g(3)] \) fonksiyonunda \(g(3) \) yerine 0 yazarsak;

\(f(0) =2\) olduğu görülür. O halde

 \( (f\circ g)(3)=f[g(3)]=2\) olur.

 

Bir Fonksiyonun Tersi

TANIM: \(f:A \to B\) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olmak üzere \(\forall x \in A, \quad \forall y \in B\) için \((g \circ f )(x)=x\) ve \((f \circ g )(y)=y\) eşitliklerini sağlayan \(g:B \to A\) fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir. \(f^{-1}\) şeklinde gösterilir.

NOT: \(f:A \to B\) ise \(f^{-1}:B \to A\)  başka bir ifade ile 
         \(y=f(x)\) ise \(f^{-1}(y)=x\) olur 

  

   Özellikler:

  • Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyon oluşturur. \(f \circ f^{-1}=I\) veya \(f^{-1} \circ f=I\) 
  • \((f \circ g )^{-1}(x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)\) olur.
  • \(( f^{-1})^{-1}(x)=f(x)\)

ÖRNEK:

\(f:R\to R \)\(f(x)=2x+5\) fonksiyonunun tersini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(y=2x+5 \to 2x=y-5\)

\(x={y-5 \over 2 }\)  olur.  \(f^{-1}(y)=x\) olduğundan \(f^{-1}(y)={y-5 \over 2 }\) olur.

 

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

22 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 08.07.2020 23:24
Son Güncelleme: 10.11.2020 13:33

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!