Şifre Sıfırlama

Gerçek Sayı Dizileri

Pozitif tam sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine tanımlanan fonksiyona gerçek sayı dizisi veya kısacası dizi denir.

\(f:Z^+→R\)   ve \(f(n)=a_n\)  olmak üzere \(\forall n \in Z^+\) için \(f(n)\in R\) olur.

Dizilerde bir özel fonksiyon çeşididir. Özel olarak tanım kümesi 1 den başlar.

1. terim \(f(1)=a_1\)

 2. terim \(f(2)=a_2\)

 3. terim \(f(3)=a_3\)
    ............
    ............
    ............
 n. terim \(f(n)=a_n\)  şeklinde gösterilir.

n sayısına dizinin indisi , \(a_n \) terimine dizinin genel terimi denir. Genel terimi \(a_n \) olan dizi (\(a_n \)) olarak gösterilir.

 

ÖRNEK:

Aşağıdaki fonksiyonların gerçek bir sayı dizisi olup olmadıklarını araştırınız.

a) \(f(n)=\frac{n+3}{n-5}\)

b) \(f(n)=\frac{n+3}{n+5}\)

c) \(f(n)=\sqrt{n-5}\)

ÇÖZÜM:

a) \(f(n)=\frac{n+3}{n-5}\) fonksiyonu \(n-5=0\) , \(n=5\) değeri için tanımsızdır \(5\in Z^+\) olduğundan fonksiyon bir gerçek sayı dizisi değildir. Fonksiyonun dizi olabilmesi için tanım kümesindeki ( \( Z^+\)) hiçbir değer fonksiyonu tanımsız yapmamalıdır.

b) \(f(n)=\frac{n+3}{n+5}\)  fonksiyonu \(n+5=0\) , \(n=-5\) değeri için tanımsızdır \(-5\notin Z^+\) olduğundan fonksiyon bir gerçek sayı dizisidir. (-5 tanım kümesinde değildir.)

C)  \(f(n)=\sqrt{n-5}\)  fonksiyonunu tanımsız yapan değerler \(n-5<0\) eşitsizliğini sağlayan değerlerdir .  \(n=1\) için \(f(1)=\notin R\)  olduğundan fonksiyon bir gerçek sayı dizisi değildir. ( n=1,2,3,4 pozitif tam sayıları için fonksiyon tanımsızdır.)

Sonuç olarak her fonksiyonun bir dizi belirtmesi için Tanım kümesinin \( Z^+\) olması gerekmektedir.

 

ÖRNEK:

Aşağıdaki dizilerin ilk 3 terimini ve 27. terimini bulunuz.

a) \((a_n)=n^2+6\)

b) \((a_n)=\frac{3}{2n}\)

ÇÖZÜM:

 n. terim   İlk üç terim n=1,2,3  27. terim n=27
   \(n^2+6\)        7,10,15       735
     \(\frac{3}{2n}\)       \(\frac{3}{2}\),\(\frac{3}{4}\),\(\frac{1}{2}\)       \(\frac{1}{18}\)

 


Sonlu Dizi

\(k\in Z^+\) ve \(A_k\) kümeleri \(Z^+\) nın alt kümeleri olmak üzere \(A_k=\){\({1,2,3,.....,k}\)} kümesinden \(R\) ye tanımlanan her fonksiyona sonlu dizi denir.

\(Z^+\) sonsuz elemanlı olduğundan  \(f:Z^+→R\) biçimindeki fonksiyonlar sonsuz dizi olur. Bunun alt kümesi olan \(A_k\) kümeleri sonlu dizi olur

 

ÖRNEK:

\(A_4=\{1,2,3,4\}\)  kümesi veriliyor. Tanım kümesi \(A_4\) olan ve genel terimi \(\frac{n^2+1}{2}\) olarak verilen dizinin terimlerini yazınız.

ÇÖZÜM:

\((a_n)=(a_1,a_2,a_3,a_4)\)  olur. Buradan

\((a_n)=(1,\frac{5}{2},5,\frac{17}{2})\) olarak bulunur.

 

Sabit Dizi

\(c\in R\) olmak üzere \(\forall n \in Z^+\) için genel terimi \(a_n=c\) olan diziye sabit dizi denir. Yani tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki c ile eşleşir.

Buradan \(a_1=c \) ,\(a_2=c \) ,\(a_3=c \)..... biçimindeki sabit dizi 

\((a_n)=(c,c,c,c,,...,c...)\) şeklinde gösterilir.

 

ÖRNEK:

Genel terimi \(a_n=\frac{4n+4}{2n+a}\) olan dizi sabit dizi olduğuna göre \(a\)değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_n=\frac{4n+4}{2n+a}\) dizisi sabit dizi olduğundan  dizinin terimleri \(a_=a_2=a_3=...=a_n=...=c\)  biçimindedir.

Buradan \(a_1=a_2\) olduğundan 

\(\frac{4.1+4}{2.1+a}=\frac{4.2+4}{2.2+a}\) 

\(\frac{8}{2+a}=\frac{12}{4+a}\)

\(32+8a=24+12a\) ⇒ \(a=2\)  olarak bulunur.

 

Eşit Diziler

\( \forall n \in Z^+\) için \(a_n=b_n\) oluyorsa  \((a_n)\) ve \((b_n)\)  dizilerine eşit diziler denir ve \((a_n)\)=\((b_n)\) biçiminde gösterilir. Yani aynı indisli terimleri birbirine eşit olan dizilere denir.


ÖRNEK:

\((a_n)=(sin(\frac{3n \pi}{2}))\) dizisinin \((b_n)=(cos(\frac{\pi}{2}.(3+3n))\) dizisine eşit olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM:

\((b_n)=(cos(\frac{\pi}{2}.(3+3n))\)

       = \(cos(\frac{3\pi}{2}+\frac{3n\pi}{2})\)    \((cos(\frac{3\pi}{2}+x)=sinx)\)

      \(sin(\frac{3n \pi}{2})\)

       = \(a_n\) olur.     

    \((a_n)\) ve \((b_n)\)  dizilerinin genel terimleri eşit olduğundan bu diziler eşit dizilerdir.

 


İndirgeme Bağıntısıyla Verilen Diziler (İndirgemeli Diziler)


Bazı dizilerin genel terimi bir kural olarak verilmeyebilir.

Bir terimi kendisinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanabilen dizilere indirgemeli dizi, tanımlama bağıntısına da indirgeme bağıntısı denir.


ÖRNEK:

Bir \(a_n\) dizisinde \( \forall n \in Z^+\) için \(a_{n+1}=a_n.(n-2)\) ve \(a_5=5\) olduğuna göre \(a_{10}\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(n=5  ⇒a_6=a_5.3=15\)
\(n=6  ⇒a_7=a_6.4=60\)
\(n=7  ⇒a_8=a_7.5=300\)
\(n=8  ⇒a_9=a_8.6=1800\)
\(n=9 ⇒a_{10}=a_9.7=12600\) 
 olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\((a_n)=\frac{n^2-3n-18}{n-1}\) dizisinin kaç teriminin negatif olduğunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{n^2-3n-18}{n-1}<0\) eşitsizliğini sağlayan n pozitif tam sayılarını bulalım

\(\frac{(n-6).(n+3)}{n-1}<0\)   eşitsizliğin kökleri  -3 , 1 , 6 dır.

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar  2,3,4,5 dir. Bu dizide \(a_2 , a_3 ,a_4,a_5\) negatif olduğundan  \((a_n)\) dizisinin 4 terimi negatiftir.

 

TANIM:

1 den n ye kadar ardaşık doğal sayıların toplamı biçiminde yazılan sayılara üçgensel sayılar denir. Bu sayılarla oluşturulmuş diziyede üçgensel sayı dizisi denir.

\(1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

 

Bir tam sayının karesi biçiminde yazılabilen sayılara kare sayılar denir.

\(1+3+5+...+2n-1=n^2\) olur.

Kare sayılarla oluşturulan diziyede kare sayı dizisi denir. 

Kare sayı dizisi \((a_n)=(1,2^2,3^2,4^2,... n^2,....)\) biçimindedir.

 

 

Bir Dizinin Kısmi Toplamları

Bir \(a_n\) dizisinin birinci teriminden \(n.\) terime kadar terimlerinin  toplamlarına bu dizinin kısmi toplamı denir ve \(S_n\) ile gösterilir.

\(S_1=a_1\)
\(S_2=a_1+a_2\)
\(S_3=a_1+a_2+a_3\)
\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)
.......
........
\(S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n\) 
 şeklinde bulunur.

 

ÖRNEK:

Genel terimi  \(a_{n}=(\frac{1}{2})^n\)  olan dizinin ilk n terim toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(S_1=a_1=\frac{1}{2}\)
\(S_2=a_1+a_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(S_3=a_1+a_2+a_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)
\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\)
..........
............
\(S_n=1-\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}\) 
olarak bulunur.

 


Toplam Sembolü

Bir \(a_1, a_2,a_3,....,a_n,....\) dizisi için ilk n terim toplamı 

\(S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)  biçiminde yazılabilir. \(\displaystyle\sum\) (sigma) sembolü \(S_n\) toplamını kısaca göstermek için kullanılan semboldür.

\(\displaystyle\sum_{k=r}^{n} a_k\)  , k=r den n ye kadar \(a_k\) toplamı şeklinde okunur.

k değişkenine toplamın indisi , r ye alt sınır, n ye ise üst sınır denir.

 

ÖRNEK:

Aşağıdaki toplamları hesaplayınız.

a) \(\displaystyle\sum_{k=2}^{6} k\)

b) \(\displaystyle\sum_{k=2}^{6} \frac{-1}{k}\)

ÇÖZÜM:

a) \(\displaystyle\sum_{k=2}^{6} k=2+3+4+5+6=20\)

b) \(\displaystyle\sum_{k=3}^{5} \frac{-1}{k}=\frac{-1}{3}+(\frac{-1}{4})+(\frac{-1}{5})=\frac{-47}{60}\)

 

 

ÖRNEK:

Aşağıdaki kısmi toplamları toplam sembolü kullanarak yazınız.

a) \(1^4+2^4+3^4+4^4\)

b) \(2+5+8+11+14\)

ÇÖZÜM:

a)  \(1^4+2^4+3^4+4^4=\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^4\)

b)  \(2+5+8+11+14=\displaystyle\sum_{k=1}^{5} 3k-1\)

 

 

 

Aritmetik Dizi

Ardaşık her iki terimi arasındaki fark eşit olan diziye aritmetik dizi denir.

\((a_n)\) aritmetik dizisinde \(a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=...=a_{n+1}-a_n=...=d\)  olacak şekilde bir \(d\in R\) sayısı vardır ve \(d \) sayısına aritmetik dizinin ortak farkı denir.

1- İlk terimi \(a_1\) ve ortak farkı \(d\) olan bir \((a_n)\) aritmetik dizisinin genel terimi \(a_n=a_1+(n-1).d\) olur.

2- \(a_n\) bir aritmetik dizi ve \(n\neq p\) olmak üzere \(a_n=a_p+(n-p)d\)  olur.

3- Sonlu bir aritmetik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir.

4- Bir aritmetik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.

5- Bir aritmetik dizi için ilk n terim toplamı \(S_n=\frac{n}{2}.(a_1+a_n)=\frac{n}{2}.(2a_1+(n-1).d)\) olur.

 

ÖRNEK:

İlk terimi \(a_1=3\)  ve ortak farkı \(d=4\) olan bir aritmetik dizinin genel terimini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_n=a_1+(n-1).d\)

     \(=3+(n-1).4\)
     \(=4n-1\) 
   olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

  \(a_n\) bir aritmetik dizi olmak üzere  \(a_3=6\)  ve  \(a_5=10\) olduğuna göre \(a_{27}\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_n=a_p+(n-p)d\)  ⇒ \(a_5=a_3+(5-3).d\)

      \(10=6+2d\) , \(d=2\) olur.

    \(a_{27}=a_5+22d\)           

    \(a_{27}=10+22.2\)  ,  \(a_{27}=54\) olarak bulunur.                

 

ÖRNEK:

Sonlu bir aritmetik dizide \(a_3=5\) \(a_5+a_7=24\) olduğuna göre \(a_9\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_5+a_7=a_3+a_9\)

        \(24=5+a_9\)

        \(a_9=19\) olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

\((a_n)=n+8\)  aritmetik dizisinin ilk 9 terim toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_1=1+8=9\)

\(a_9=9+8=17\)  olduğundan

\(S_9=\frac{9}{2}.(9+17)=117\)   olarak bulunur. 

 

 

Geometrik Dizi


Ardaşık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir.

Bir \((a_n)\)  geometrik dizisinde \(\forall n \in Z^+\) için \(\frac{a_n+1}{a_n}=r\)  (\(a_n\neq0\)) ise r gerçek sayısına geometrik dizinin ortak çarpanı denir.

1- İlk terimi \(a_1\) ve ortak çarpanı r olan \((a_n)\) geometrik dizisinin genel terimi \(a_n=a_1.r^{n-1}\) olur.

2- Geometrik dizinin ortak çarpanı r olmak üzere 1\(\leq\)k ve \(k\in Z^+\) olmak üzere  \(a_n=a_k.r^{n-k}\)

3- Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımı birbirine eşittir.

4-  İlk terimi \(a_1\) ve ortak çarpanı r olan \((a_n)\) geometrik dizisinin ilk n terim toplamı \(S_n=a_1.\frac{1-r^n}{1-r}\)

 

ÖRNEK:

Pozitif terimli bir geometrik dizide \(\frac{a_2+a_1}{a_3+a_2}=\frac{1}{5}\) olduğuna göre bu dizinin ortak çarpanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\frac{a_1.r+a_1}{a_1.r^2+a_1.r}=\frac{1}{5}\)\(\frac{a_1(r+1)}{a_1.r(r+1)}=\frac{1}{r}=\frac{1}{5}\)

\(r=5\)  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

Bir geometrik dizide 2. terim 6 , ortak çarpan \(\frac{1}{2}\) olduğuna göre dizinin 6. terimini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(a_n=a_k.r^{n-k}\) ⇒  \(a_6=a_2.r^{6-2}=a_2.r^4\)

\(a_6=6.(\frac{1}{2})^4=\frac{3}{8}\)  olarak bulunur.

 

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamı ilk iki teriminin toplamının 10 katı olduğuna göre ortak çarpan r nin pozitif değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(S_4=10.S_2\)  \(\frac{S_4}{S_2}=10\)

\(\frac{S_4}{S_2}=10⇒ \frac{a_1.\frac{1-r^4}{1-r}}{a_1.\frac{1-r^2}{1-r}}=10\) ⇒ \(\frac{1-r^4}{1-r^2}=10\)

\(\frac{(1-r^2).(1+r^2)}{1-r^2}=10\)

\(1+r^2=10\) , \(r=3\) olarak bulunur.

 

 

Fibonacci Dizisi

İlk iki terimi 1 olan ve bundan sonraki her terimi kendisinden önceki iki terimin toplamı olan diziye Fibonacci dizisi denir.

Fibonacci dizisi \(F_1=1\) ,  \(F_2=1\) olmak üzere \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)   \((n>2,n\in Z)\)  indirgeme bağıntısıyla bulunabilir.

Fibonacci dizisi

\((F_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,....)\) şeklinde bulunur.

 

 

 

 

Mehmet KÜÇÇÜK

Sosyal Medyada Paylaş

149 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 14.08.2020 16:08
Son Güncelleme: 17.08.2020 22:43

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!