Şifre Sıfırlama

Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar

Fonksiyonun Grafik, Tablo Gösterimi ve Uygulamaları

Fonksiyon Grafiğinin Eksenleri Kestiği Noktalar.

   Fonksiyonların eksenleri kestiği noktalar bulunurken x ve y eksenlerinin koordinatlarını ayrı ayrı şu şekilde buluruz.

   \(f :R \to R , f(x)=y\) fonksiyonu için;

  • \(f\) fonksiyonunun x eksenini kestiği nokta veya noktalar bulunurken \(f(x)=y=0\) denkleminin kökleri bulunur.
  • \(f\) fonksiyonunun y eksenini kestiği nokta veya noktalar bulunurken \(x=0 \) yani \(f(0)=y\) denkleminin kökleri bulunur.

ÖRNEK:

\( y  =  f  (  x  )  =  2x  –  6  \) fonksiyonun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.     

ÇÖZÜM:

y eksenini kestiği nokta veya noktaları bulalım;

\(x=0 \to f(0)=2.0-6 = -6\)  fonksiyon y eksenini (ordinatı) -6 olan (0, -6) noktasından keser.

x eksenini kestiği nokta veya noktaları bulalım;

\(y=0 \to f(x)=2x-6=0\)

\(x=3\)    fonksiyon x eksenini (apsisi) 3 olan (3, 0) noktasından keser.

 Fonksiyonun Pozitif veya Negatif Değerler Aldığı Aralıklar

    \(f :R \to R , f(x)=y\) fonksiyonu için;

\(A\sqsubseteq R\) olmak üzere \(\forall x \in A, f(x)>0 \) oluyorsa \(f\) fonksiyonu bu aralıkta pozitiftir.

\(B\sqsubseteq R\) olmak üzere \(\forall x \in B, f(x)<0 \) oluyorsa \(f\) fonksiyonu bu aralıkta negatifitr.

Grafik üzerinde inceleyecek olursak;

  • Fonksiyon grafiği x ekseninin üstündeyse fonksiyon pozitiftir.
  • Fonksiyon grafiği x ekseninin altındaysa fonksiyon negatiftir.

Yukarıdaki grafikte görüldüğü üzere;

\((-∞,-4), (-2,1), (3,∞)\) aralıklarında fonksiyon pozitif,

\((-4,-2), (1,3)\) aralıklarında fonksiyon negatifitr.

 

ÖRNEK:

\( y  =  f  (  x  )  =  2x  –  6  \)  fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu bölgeleri inceleyiniz.  

ÇÖZÜM:

Bir önceki soruda bu fonksiyonun grafiği x eksenini (3, 0)  noktasında, y eksenini (0, -6) noktasında kestiğini bulmuştuk. 

Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalarla birlikte grafiği incelersek; 

\(-∞ < x <3\) aralığında fonksiyonun negatif değeler aldığını ve grafiğinin x ekseninin altında olduğu görülüyor.

\(3 < x <∞\) aralığında ise fonksiyonun pozitif değerler aldığını ve grafiğinin x ekseninin üstünde olduğu görülüyor. 

 

Artan Azalan Fonksiyonlar

TANIM: \(A\sqsubseteq R\) olamk üzere \(f :A \to R , f(x)=y\) ve B, A nın herhangi bir alt aralığıdır.

\(\forall x_1,x_2 \in B\) için;

\(x_1 iken \(f(x_1) ise \(f\) fonksiyonu B aralığında artan fonksiyondur.

 \(x_1 iken \(f(x_1)>f(x_2)\) ise \(f\) fonksiyonu B aralığında azalan fonksiyondur. 

Grafik üzerinde incelersek;

ÖRNEK:

Yukarıda \(f:R \to R. f(x)=-x^2 +4\) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre f fonksiyonunun aratan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

ÇÖZÜM:

Grafiğe bakıldığında;

   fonksiyonun \((-∞,0]\) aralığında \(x_1 kuralının sağlandığı görülür. O halde fonksiyonumuz bu aralıkta artandır.

   fonksiyonun \([0,∞)\) aralığında \(x_1f(x_2)\) kuralının sağlandığı görülür. O halde fonksiyonumuz bu aralıkta azalandır.

 

Bir Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değeri

TANIM: \(f\) fonksiyonunda \(f(x)\) görüntülerinin en büyüğüne f fonksiyonunun maksimum değeri, bu değeri aldığı noktaya ise maksimum noktası denir.  \(f\) fonksiyonunda \(f(x)\) görüntülerinin en küçüğüne f fonksiyonunun minimum değeri, bu değeri aldığı noktaya ise minimum noktası denir.

Grafik üzerinden incelersek;

   Herhangi bir \(f\) fonksiyonunun grafiğinde \([a,x_0]\) aralığında \(f\) fonksiyonu artan ve aralığında fonksiyonu azalan ise fonksiyon \(f(x_0)\) değeri fonksiyonun \([a, b]\) aralığındaki maksimum değeridir. 

   Herhangi bir \(g\) fonksiyonunun grafiğinde \([a,x_0]\) aralığında \(g\) fonksiyonu azalan ve \([x_0,b]\) aralığında \(g\) fonksiyonu artan ise fonksiyon \(g(x_0)\) değeri fonksiyonun \([a, b]\) aralığındaki minimum değeridir. 

ÖRNEK:

Yukarıda \(f:[0,7] \to R , y=f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(f\) fonksiyonu \((0,2)\) aralığında artan, \((2,5)\) aralığında ise azalan olduğundan fonksiyonun maksimum değeri \(f(2)=4\) olur.

\(f\) fonksiyonu \((2,5)\) aralığında azalan, \((5,8)\) aralığında ise artan olduğundan fonksiyonun minimum değeri \(f(5)=6\) olur.

 

Bir Fonksiyonun Ortalama değişim Hızı

TANIM: Herhangi bir \(f\) fonksiyonunun \([a,b]\) aralığındaki ortalama değişim hızı, y değerindeki değişim miktarının x değerindeki değişim miktarına oranıdır. Yani \((a,f(a))\) ve \((b,f(b))\) noktalarından geçen doğrunun eğimi bize fonksiyonun ortalama değişim hızını verir.

Grafik üzerinden inceleyelim;

Görüldüğü üzere f fonksiyonunun \([a,b]\) aralığındaki ortalama değişim hızı \(tan \alpha ={f(b)-f(a) \over b-a}\) olur. Bu oran ortalama değişim hızıdır.

NOT: \(f\) fonksiyonu [a, b] aralığında fonksiyonun ortalama değişim hızı pozitif ise yani \(tan \alpha>0\) olduğunda fonksiyon bu aralıkta artandır. Ortalama değişim hızı negatif ise yani \(tan \alpha<0\) olduğunda fonksiyon bu aralıkta azalanır.

 

NOT: Ortalama değişim hızının işareti değişimin yönünü gösterir. Ortalama değişim hızı pozitif ise değişim artışta, negatif ise değişim azalışta demektir.

ÖRNEK:

Grafiği verilen \(f\) fonksiyonunun [2, 5] aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(f(2)=5\) 

\(f(5)=-4\)

\({f(5)-f(2) \over 5-2}={-4-5 \over 5-2}={-9 \over 3}=-3\)

Bu demek oluyorki [2, 5] aralığında x değerleri 1 birim arttığında y değeri 3 birim azalmaktadır.

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

1 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 22.07.2020 10:03
Son Güncelleme: 24.07.2020 15:25

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!