Şifre Sıfırlama

Fonksiyonların Dönüşümleri

Fonksiyon Grafikleri ve Simetri Dönüşümleri

Tek ve Çift Fonksiyonların Grafikleri

\(f:R \to R, y=f(x)\) fonksiyonu verilmiş olsun. \(\forall x \in R \) için;

\(f(-x)=f(x)\) ise \(f\) çift fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

\(f(-x)=-f(x)\) ise \(f\) tek fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.  

 

ÖRNEK:
\(f:R \to R, f(x)=x^2+kx+4\) fonksiyonu çift fonksiyondur. k değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(f\) çift fonksiyon olduğuna göre \(f(-x)=f(x)\) dir. O halde 

\(f(x)=x^2+kx+4\)

\(f(-x)=(-x)^2+k(-x)+4=x^2-kx+4\)

\(x^2+kx+4=x^2-kx+4\)

\(2kx=0\)

k=0 olduğu görülür.

 

Öteleme Dönüşümleri

1) \(y=f(x)\pm a\) Dönüşümü

 \(f(x)=y \) için \(a \in R^+\) olmak üzere;

\(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğini a birim yukarı (y ekseni boyunca pozitif yönde) ötelersek \(y=f(x)+a\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Bir grafiği ötelemek onun tüm noktalarını ötelemektir. Yani \(y=f(x)\) grafiğinden \(A(x, y)\)  gibi bir nokta grafiğin yukarı doğru a birim ötelenmesiyle \(A^{'}(x, y+a)\) noktası olur.

 \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğini a birim aşağı (y ekseni boyunca negatif yönde) ötelersek \(y=f(x)-a\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Yani \(y=f(x)\) grafiğinden \(A(x, y)\)  gibi bir nokta grafiğin aşağı doğru a birim ötelenmesiyle \(A^{'}(x, y-a)\) noktası olur.

 

Örneğin \(f(x)=x^2 \) fonksiyonunun 3 birim yukarı ötelenmiş halini grafik üzerinden inceleyelim

Görüldüğü üzere \(f(x)=x^2 \) fonksiyonunun grafiği 3 birim yukarı ötelenmiştir ve dolayısıyla üzerindeki her nokta y ekseninde 3 birim yukarı doğru ötelenmiştir. \(f(x)=x^2 \) grafiğinde \((1, 1)\) noktasına baktığımızda ötelendiğiinde \((1, 1+3)=(1,4)\) olmuştur. 

 

2) \(y=f(x \pm a)\) Dönüşümü

  \(f(x)=y \) için \(a \in R^+\) olmak üzere;

 \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğini a birim sağa (x ekseni boyunca pozitif yönde) ötelersek \(y=f(x-a)\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Dolayısıyla  \(y=f(x)\) grafiğinden \(A(x, y)\)  gibi bir nokta grafiğin sağa doğru a birim ötelenmesiyle \(A^{'}(x+a, y)\) noktası olur.

 \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğini a birim sola (x ekseni boyunca negatif yönde) ötelersek \(y=f(x+a)\) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Dolayısıyla  \(y=f(x)\) grafiğinden \(A(x, y)\)  gibi bir nokta x ekseninde sola doğru a birim ötelenmesiyle \(A^{'}(x-a, y)\) noktası olur.

Örneğin \(f(x)=x^2 \) fonksiyonunun 2 birim sağa ötelenmiş halini grafik üzerinden inceleyelim

Görüldüğü üzere \(f(x)=x^2 \) fonksiyonunun grafiği 2 birim sağaötelenmiştir ve dolayısıyla üzerindeki her nokta x ekseninde 2 birim sağa doğru ötelenmiştir. \(f(x)=x^2 \) grafiğinde \((0, 0)\) noktasına baktığımızda ötelendiğiinde \((0+2, 0)=(2,0)\) olmuştur

 

ÖRNEK:
\(f: R \to R \) olmak üzere  \(f(x)=x^2\) fonksiyonunun 2 birim aşağı ve 1 birim sola ötelenmiş fonksiyonunun yazınız ve bu iki fonksiyonun grafiklerini inceleyiniz.

ÇÖZÜM:

Önce x ekseninde olan ötelemeleri yapalım 

1 birim sola ötelersek  \(y=(x+1)^2\) olur.

2 birim aşağı ötelem \(y=(x+1)^2-2\) olur

O halde fonksiyonumuzun ötelenmiş hali \(y=(x+1)^2-2\) olur. Şimdi \(f(x)=x^2\) fonkiyonunun çizip onu 2 birim aşağı ve 1 birim sola öteleyerek \(y=(x+1)^2-2\) grafiğini çizelim.

Grafiklerin tepe noktalarına baktığımızda \((0,0)\) noktasının \((-1, -2)\) ye ötelendiğini görüyoruz. \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğindeki hangi noktayı 1 birim sola ve 2 birim aşağı ötelerseniz \(y=(x+1)^2-2\) grafiğinden bir noktaya ulaşırsınız.

NOT: x ekseninde ötelerken kafamız karışabilir. Çünkü; örneğin, x ekseninde pozitif yönde 1 birim  ötelediğimizde fonksiyon  \(y=f(x-1)\) olurken grafiğin üzerindeki herhangi bir \((x,y)\) noktası \((x+1, y)\) oluyor. Yani eğer kafanızda neden pozitif yönde 1 birim ötelendiğinde fonksiyona -1 eklediğim soru işareti olarak kalıyorsa size tavsiyem fonksiyonu ve grafiğini aynı anda karşılaştırmanız. Bu sayede nedenini kendiniz daha iyi anlayacaksınız. Aslında bu yöntem şu anki konumuzu anlamanız bakımından çok önemli. Fonksiyon grafikleri ve simetri dönüşümler konusunun her alt başlığını bu şekilde inceleyin.

 

3) \(y=-f(x) \) ve \(y=f(-x)\) Dönüşümü

  \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetrisi alınırsa \(y=f(-x)\) elde edilir. Dolayısıyla \(y=f(x)\) fonksiyonu üzerinde alınan herhangi bir \(A(x,y)\) noktasınında dönüşümü \(A^{'}(-x,y)\) şeklinde olur

 \(y=f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetrisi alınırsa \(y=-f(x)\) elde edilir. Dolayısıyla \(y=f(x)\) fonksiyonu üzerinde alınan herhangi bir \(A(x,y)\) noktasınında dönüşümü \(A^{'}(x,-y)\) şeklinde olur.

ÖRNEK:
\(f: R \to R \) olmak üzere  \(f(x)=x^3\) fonksiyonunun y eksenine göre simetriğini bulunuz ve grafiklerini karşılaştırınız.

ÇÖZÜM:

\(f(x)=x^3\) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği \(y=f(-x)\) olduğunu biliyoruz o halde 
\(y=f(-x)=-x^3\) olur.

4) \(y=| f(x) |\) Fonksiyonlarının Grafikleri

\(f: R \to R , y=f(x) \) fonksiyonu verilsin;

\(y= |f(x) | = \begin{cases} f(x) & \quad f(x)≥ 0 \text{ ise} \\ -f(x) & \quad -f(x)<0 \text{ ise} \end{cases} \)   şeklindeki fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu denir.

Görüldüğü üzere \(y=f(x)\) fonksiyonunun x ekseni altında kalan kısmı x eksenine göre yansımıştır ve \(y= |f(x)|\) fonksiyonu elde edilmiştir.

ÖRNEK:

\(y=f(x)=sinx \) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. \(y=|f(x)​​|\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

Grafikte x ekseninin altında kalan bölgelerin x eksenine göre simetriği alırsak istenen fonksiyonu çizmiş oluruz

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

16 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 28.07.2020 09:49
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!