Şifre Sıfırlama

Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar bağıntılar ile ilişkilidir; her fonksiyon bir bağıntıdır. Bu sebeple bağıntıları öğrenerek başlayalım. A ve B boştan farklı iki küme olmak üzere AxB={(x,y): x∈A ve y∈B} kümesinin her alt kümesi bir bağıntıdır. Herhangi bir f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için iki şartı sağlaması gereklidir. 

1. A kümesinin eşleşmemiş elemanı kalmamalıdır

2. A kümesinden herhangi bir eleman B kümesinden bir ve yalnız bir eleman ile eşleşmelidir 

   Tanımı analiz edelim;

   Tanımda bize bağıntıyı açıklamış ve bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini anlatmış. \(x∈A\) ve \(y∈B\) olmak üzere \(f:A\to B\)  , \(f(x)=y\) fonksiyonu üzerinden tanımı inceleyelim. İlk madde, A kümesindeki tüm elemanların fonksiyonda x yerine konulabileceği ve konulabilmesi gerektiği anlatılıyor. İkinci madde de ise A kümesinden x yerine konulan her eleman için B kümesinden bir ve yalnız bir (sadece bir) elemanın y yerine gelebilmesini anlatır. Yani A kümesinden seçtiğimiz ve x yerine koyduğumuz her eleman için B kümesinden bir karşılık vardır. 

   Bir sonuç daha çıkarıyoruz; her fonksiyon bir bağıntıdır ancak her bağıntı bir fonksiyon değildir.

ÖRNEK:

A={1, 2, 3, 4} ve B={a, b, c, d, e} olmak üzere AxB kümesinin alt kümelerinden hangisi A dan B ye bir fonksiyondur?

A) {(1,a), (1,b), (2,b), (3,c)}

B) {(1,a), (2,b), (3,c), (4,b)}

C) {(1,a), (2,b), (3,c)}

D) {(1,a), (2,b), (3,c), (4,b), (4,c)}

ÇÖZÜM:

Kuralları sırası ile inceleyelim;

  1.  A kümesi tanım kümesi olduğundan tüm elemanları eşlenmelidir bu durum yalnızca B ve D şıklarında geçerlidir diğerlerini eleyebiliriz.
  2. Tanım kümesindeki her eleman B kümesinin yalnız bir elemanı ile eşleştiğinden B şıkkı doğrudur.

D şıkkında A kümesinin "4" elemanı, B kümesinin hem "b" hemde "c" elemanı ile eşleştiğinden fonksiyon olmaz

A ve C şıkkında A kümesinin bütün elemanları kullanılmadığından fonksiyon değildir.

 

Fonksiyon Çeşitleri

İçine Fonksiyon

\(f:A\to B\)  fonksiyonu verilsin. Fonksiyonun değer kümesinde boşta eleman kalıyorsa (eşleşmemiş eleman varsa) yani görüntü ile değer kümeleri eşit değil ise f içine fonksiyondur

Örten Fonksiyon

 \(f:A\to B\)  fonksiyonu verilsin. Fonksiyonun tanım kümesinin elemanları değer kümesinin tüm elemanları ile eşleşmiş ise yani değer kümesi, görüntü kümesine eşit ise f örten fonksiyondur.

Birebir Fonksiyon

\(f:A\to B\) fonksiyonu verilsin. A kümesindeki (Tanım kümesindeki) her bir eleman B kümesindeki (Değer kümesindeki) farklı bir eleman ile eşleşiyorsa buna birebir fonsiyon denir. Buna göre;

      her \(x_1,x_2∈A \) için 

  •  \(x_1≠x_2 \) iken \(f(x_1) ≠ f(x_2)\) dir veya
  • \(f(x_1)=f(x_2)\)  iken  \(x_1 = x_2\) 

şartlarından biri sağlanıyorsa fonksiyon birebirdir.

ÖRNEK:

\(f:N\to N\) , f(x)=3x+5 fonksiyonunun birebir, örten ve içine olup olmadıklarını inceleyiniz.

ÇÖZÜM:

   her \(x_1,x_2∈A \) için   \(x_1≠x_2 \) iken \(f(x_1) ≠ f(x_2)\) olduğunu gösterelim.

\(x_1≠x_2 \) \( \to \) \(3x_1≠3x_2 \)\( \to \)  \(3x_1+5≠3x_2+5 \) \( \to \) \(f(x_1) ≠ f(x_2)\) olduğundan f birebirdir.

   f fonksiyonunun tanım değer kümesi N(doğal sayılar)'dır görüntü kümesi ise x=0 için f(x)=5 ile başlayıp artarak gittiğinden  {5, 8, 11, 14, ...} olur. Yani değer kümesi görüntü kümesine eşit değildir. o halde f örten fonksiyon değil içine fonksiyondur.

 

Birim (Özdeşlik), Sabit ve Sıfır Fonksiyon Türleri

\(f:A\to B\)  için

Her x∈A için f(x)=x ise f birim fonksiyondur.

Her x∈A ve k∈B için f(x) = k ise f sabit fonksiyondur.

Her x∈A ve 0∈B için f(x) = 0 ise f sıfır fonksiyondur.

Doğrusal Fonksiyon

Grafiği doğru belirten fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. a,b∈R olmak üzere f(x)=ax+b şeklindeki fonksiyonlardır.

ÖRNEK:

f(3)=7 , f(5)=11 f doğrusal fonksiyonunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

f(x)=ax+b olduğunu biliyoruz ( f doğrusal fonksiyon olduğundan)

f(3)=3a+b=7

f(7)=5a+b=11

(-1)x /3a+b=7

          5a+b=11

-3a-b=-7

5a+b=11

yok etme yöntemi ile 2a=4 buluruz yani a=2 olur. a'yı yerine koyduğumuzda b=1 çıkar o halde foksiyonumuz

f(x)=2x+1 olur.

 

Parçalı Tanımlı Fonksiyon

Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Örneğin \( f(x) = \begin{cases} {x\over2}+5 & \quad x \text{ tek ise}\\ x+1\over2 & \quad x \text{ çift ise} \end{cases} \)   şeklinde.

ÖRNEK:

\( f(x) = \begin{cases} {2x+4\over3} & \quad x \text{ > 0 ise}\\ x+1\over2 & \quad x \text{ ≤ 0 ise} \end{cases} \)  olduğuna göre x=5 için f(x)=?

ÇÖZÜM:

x > 0 olduğundan \(f(x) = {2x+1 \over 3}\) kısmını kullanmalıyız

\(f(5) = {2.5+1 \over 3}\)=\({11 \over 3}\) olur.

 

Tek ve Çift Fonksiyonlar

\(f:R\to R\) tanımlı bir \(f\) fonksiyonu olmak üzere \(f(-x)=f(x)\) ise \(f\) çift fonksiyondur.

\(f:R\to R\) tanımlı bir \(f\) fonksiyonu olmak üzere \(f(-x)=-f(x)\) ise \(f\) tek fonksiyondur.

ÖRNEK:

Aşağıdaki fonksiyonların kaç tanesi tek fonksiyondur?

\(f_1(x)=2x ^ { 2 }+5\)

\(f_2(x)=5x ^ { 3 }+x ^ { 2 }+1\)

\(f_3(x)=3x ^ { 4 }+2x ^ { 2 }+4\)

\(f_4(x)=x ^ { 39 }\)

ÇÖZÜM:

\(f_1(-x)=2(-x) ^ { 2 }+5=2x ^ { 2 }+5=f_1(x)\)  \(f_1 \) çift fonksiyondur.

\(f_2(-x)=3(-x) ^ { 3 }+2(-x) ^ { 2 }+4=-3x ^ { 3 }+2x ^ { 2 }+4\) ifadesi  \(f_2(x) \)  ve  \(-f_2(x) \)  ifadelerinin hiçbirine eşit olmadığından çift veya tek değildir.

\(f_3(-x)=3(-x) ^ { 4 }+2(-x) ^ { 2 }+4=3x ^ { 4 }+2x ^ { 2 }+4=f_3(x)\)  olduğundan \(f_3\) çift fonksiyondur.

\(f_4(-x)=(-x) ^ { 39 }=-x ^ { 39 }=-f_4(x)\) olduğundan \(f_4\) tek fonksiyondur.

 

Eşit Fonksiyonlar

\(f:A\to B\)  ve  \(g:A\to B\) iki fonksiyon olmak üzere \(\forall x \in A \) için \(f(x)=g(x)\) oluyorsa \(f\) ve \(g \) fonksiyonları eşit fonksiyonlardır ve \(f=g\) şeklinde gösterilir.

 

Fonksiyonlarda Cebirsel İşlemler

\(f:A\to R \)  ve   \(g:B\to R \) iki fonksiyon ve A∩B≠∅ olmak üzere;

\(f+g:(A∩B)\to R \)\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)

\(f-g:(A∩B)\to R \)\((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)

\(f.g:(A∩B)\to R \)\((f.g)(x)=f(x).g(x)\)

\({f\over g}:(A∩B)\to R \)\(({f\over g})(x)={f(x)\over g(x) }, g(x)≠\)

\(k.f:A\to R \)\((k.f)(x)=k.f(x), k\in R\)

ÖRNEK:

\(f=\){\((1,2),(2,4),(3,6),(4,8)\)} , \(g=\){\((-1,4),(3,7),(-7,6),(1,8)\)} olduğuna göre \((2f+3g)\) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

Toplama işleminde tanım kümelerinin kesişimi alınır;

\(T_f\)={1,2,3,4},    \(T_g\)={-1,3,7,1}

\(T_f\)\(T_g\)= {3,1}

\(2f=\){\((1,2.2),(3,2.6)\)}=\((1,4),(3,12)\)

\(3g=\) {\((1,3.8),(3,3.7)\)}=\((1,24),(3,21)\)

\(2f+3g=\)\((1,4+24),(3,12+21)\)\(=(1,28),(3,33)\)

 

Fonksiyonlarda Grafik Çizimi

\(f:A\to B, f(x)=y\)  fonksiyonuna ait bütün noktaların koordinat düzleminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine \(f\) fonksiyonunun grafiği denir. Grafikte tanım kümesi elemanları yatay eksende, değer kümesi elemanları gösterilir.

ÖRNEK:

\(f:A\to B, f(x)=x\) birim fonksiyonunun grafiğinin çiziniz.

ÇÖZÜM:

 x  y
 1  1
 2  2
 3  3

olduğundan grafiği aşağıdaki gibi çizeriz.

 NOT: \(f:A \to B: f(x)=ax+b\) şeklindeki fonksiyonlar grafikte çizilirken en az iki x değeri için \(f(x)\) değerleri bulunur. Bu noktalar koordinat sisteminde işaretlenir. Bu noktaların birleştirilmesi ile oluşan doğru \(f\) fonksiyonunun grafiğini verir.

ÖRNEK:

\(f:A\to B, f(x)=3x+1\) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM:

 x  y
 1  4
 2  7
 3  10
 4  13

olduğundan dolayı fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.

 

NOT: Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre, çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.

Örneğin aşağıdaki grafiklerde soldaki  \(g(x)=x^3\) fonksiyonu tek bir fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. Sağdaki grafik ise \(f(x)=x^2\) fonksiyonu  çift bir fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir.

Fonksiyon Grafiklerini  Yorumlama

Fonksiyon grafiğinde üzerinde her noktadan y eksenine çizilen paralel doğruların x ekseninde kesitiği noktalar bize tanım kümesini, x eksenine çizilen paralel doğruların y ekseninde kestiği noktalar ise görüntü kümelerini verir.

Örneğin, aşağıdaki grafikte verilen f fonksiyonunun x∈(-3, 1) aralığında tanım ve görüntü kümelerinin bulalım.

x∈(-3, 1) aralığında;

y eksenine paralel doğrular çizdiğimizde tanım kümesinin [-3, 1] olduğunu görüyoruz.

x eksenine paralel doğrular çizdiğimizde görüntü kümesinin [-2,0] olduğunu görüyoruz. 

ÖRNEK:

\(f:R\to R, f(x)=3x+1\) fonksiyonu verilsin. A=[-1, 3]  için f(A) yı bulunuz.

ÇÖZÜM:

I. Yol

\(x∈[-1,3]\) olduğundan 

 

\(-1

\(-3<3x<9\)

\(-2<3x+1<10\)

\(-2

 

\(f(A)=[-2,10]\) olur.

II: Yol

fonksiyonun grafiğinde A kümesinin uç noktaları alınırsa 

x=-1 için y=-2 

x=3 için y=10 olur

\(f(A)=[-2,10] \) olur.

TANIM: \(f:A\to B, f(x)=y \)  fonksiyonunda x in \(f\) altındaki görüntüsü y, y nin ters görüntüsü x dir.

ÖRNEK:

 \(f:R\to R, f(x)=y\)  fonksiyonunun grafiği verilmiştir. [0, 4]  aralığındaki ters görüntüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(f(-1)=0 \) ve \( f(1)=4 \) 

O hâlde fonksiyonun görüntü kümesinde 4 elemanının ters görüntüsü 1, 0 elemanın ters görüntüsü -1 olur. Bu durumda [0, 4] aralığının f fonksiyonu altındaki ters görüntü kümesi [-1, 1] aralığı elde edilir

Düşey Doğru Testi

TANIM: Grafiği verilen herhangi bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen doğrular, grafiği yalnızca bir noktadan kesiyorsa buna bir fonksiyon grafiği denir. Aksi halde bağıntı fonksiyon değildir. 

   Bu kuralın sebebini anlamak için tanımı hatırlamalıyız. Biliyoruz ki, fonksiyonda tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesinden yalnızca bir eleman ile eşleşebilir. 

ÖRNEK:

Aşağıdaki grafiklerin hangilerinin fonksiyon belirttiğini inceleyiniz.

ÇÖZÜM:

Bağıntı grafiklerinin fonksiyon olup olmadığını anlamak için düşey doğru testini uygulayalım 

Grafik 1 için; buradaki grafik bir fonjksiyon grafiğidir. Çünkü, çizilen düşey doğruların her biri grafiği tek noktadan kesmişler.

Grafik 2 için; buradaki grafik de bir fonjksiyon grafiğidir. Çünkü, çizilen düşey doğruların her biri grafiği tek noktadan kesmişler.

Grafik 3 için; buradaki grafik bir fonjksiyon grafiği değildir. Çünkü, çizilen düşey doğruların her biri grafiği iki farklı noktadan kesmişler.

 

TANIM: Grafiği verilen bir f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar denklemin kökleri denir. \(y=f(x)=0\) denklemi uygulanarak bulunur. Grafikte x ekseninin üzerinde kalan bölgenin çözüm kümesi \(f(x)>0\) eşitsizliği ile bulunur ve x ekseninin altında kalan bölgenin çözüm kümesi \(f(x)<0\) eşitsizliği ile bulunur.

ÖRNEK:

Grafiği verilen \(f:R \to R, y = f(x) \) fonksiyonunda f(x-1)=0 denkleminin çözüm kümesinin bulunuz.

ÇÖZÜM:

fonksiyon grafiği x eksenini -8, -3, 1, 4 noktalarından kesmektedir. Yani;

\(f(-8)=f(-3)=f(1)=f(4)=0\) olur.

Bu durumda;

\(f(x-1) = 0 \) denkleminin kökleri,

\(x-1=-8\)  ise  \(x=-7\)

\(x-1=-3\)  ise  \(x=-2\)

\(x-1=1\)  ise  \(x=2\)

\(x-1=3\)  ise  \(x=4\)  olduğundan 

\(f(x-1)=0\) denkleminin çözüm kümesi  {-7, -2, 2, 4} olur.

 

Doğrusal Fonksiyonlarda Güncel Uygulamalar.

   Fonksiyonlar; araçların yakıt tüketimi, öğrencilerin notları, şirketlerin gelirleri, borsa gibi alanlarda sıkça kullanılır.

ÖRNEK:

Yukarıda iki ağacın boylarındaki değişim doğrusal grafik ile ifade edilmiştir. Kırmızı renkli doğru A ağacının, turuncu renkli doğru ise B ağacının yıllara göre boyunun metre cinsinden değerleri verilmiştir. Buna göre hangi yılda birinin diğerine boyu oranı \(7 \over 6\) olur.

ÇÖZÜM: 

Grafikler doğrusal olduğundan tablo yaparak ağaçların boylarının zamana göre değişimlerini bulabiliriz.

A ağacının büyüme fonsiyonunna bakarsak başlangıçta 3 metre ve her yıl 1 metre büyüyor

B ağacının büyüme fonsiyonunna bakarsak başlangıçta 1 metre ve her yıl 2 metre büyüyor

yıl A B
1. 3 1
2. 4 3
3. 5 5
4. 6 7

 

 

 

 

Tabloda görüldüğü üzere 4. yılda istenen orana ulaşılmış yani \({B\over A } ={7\over 6}\) olur.

 

 

 

 

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

40 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 19.06.2020 15:31
Son Güncelleme: 06.08.2020 15:11

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!