Şifre Sıfırlama

Doğrunun Analitik İncelenmesi

Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik Düzlem

TANIMLAR

  • Bir düzlem üzerinde başlangıç noktaları ortak ve dik kesişen iki sayı doğrusundan oluşan sisteme analitik düzlem denir. 
  • Yatayda bulunan sayı doğrusuna x ekseni ya da apsisler ekseni, düşey alınan sayı doğrusuna y ekseni yada ordinatlar ekseni denir.
  • Analitik düzlemde noktalar, reel sayılar ikilileri ile gösterilir. Bir noktanın koordinatları, eksenlere çizilen dikme ayaklarına karşılık gelen sayılardır. , \(P(a,b)\) noktasından x eksenine çizilen dikmenin x eksenini kestiği noktaya P noktasının apsisi, y eksenine çizilen dikmenin y eksenini kestiği noktaya P noktasının ordinatı denir.
  • Bu eksenlerin dik kesiştiği noktaya başlangıç(orijin) denir. \(O(0,0)\) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK

\(K(3,2),L(5,1),M(1,5),N(0,2)\) noktalarını analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

İlk önce verilen noktaların apsisleri ve ordinatları analitik düzlemde belirlenip işaretlenir. Daha sonra da bu noktalardan eksenlere paralel doğrular çizilir. Bu çizilen doğruların kesiştikleri noktalar aradığımız noktalardır. Örneğin M noktasının kordinatları bulunurken x ekseninde \(1\) ve y ekseni üzerinden \(5\) noktası işaretlenip bu noktalardan eksenlere paralel doğrular çizilir ve bu doğruların kesiştikleri nokta \(M(1,5)\) olur. M noktası için yaptıklarımızı benzer şekilde diğer noktalara da uygulandığında aşağıdaki şekil elde edilir.

Analitik Düzlemde Bölgeler

Yukarıda anlatmaya çalıştığımız dik kordinat sistemi, düzlemi \(4\) bölgeye ayırır. Bu bölgeler saatin dönme yönünün tersine göre \(x>0\) ve \(y>0\) olduğu bölgeden itibaren sırasıyla \(1.\) bölge, \(2.\) bölge, \(3.\) bölge, \(4.\) bölge diye isimlendirilir.

\(1.\) bölgedeki noktaların x ve y değerleri \(0\)'dan büyüktür, \(2.\) bölgedeki noktaların ise x değerleri \(0\)'dan küçükken y değerleri \(0\)'dan büyüktür, \(3.\) bölgede bulunan noktaların x ve y değerleri \(0\)'dan küçüktür, \(4.\) bölgedeki noktaların ise x değerleri \(0\)'dan büyükken y değerleri \(0\)'dan küçüktür.

ÖRNEK

\(M(a.b,-a^2.b^3)\) noktası \(1. \) bölgedeki bir nokta ise \(K(a+b,-a-b)\) noktası hangi bölgededir.

ÇÖZÜM

M noktası \(1. \) bölgede olduğu için \(a.b\) ve \(-a^2.b^3\) ifadeleri \(0\)'dan büyük olmak zorundadır. \(-a^2.b^3>0\) ise a hakkında bir şey söyleyemeyiz çünkü \(a^2\) her zaman \(0\)'dan büyüktür o halde geri kalan \(-b^3\) ifadesi kesinlikle \(0\)'dan büyük olacaktır. O halde \(-b^3>0\) ise \(b<0\)'dır. \(b<0\) olduğunu öğrendikten sonra \(a.b>0\) eşitsizliğine bakacağız.\(b<0\) ve \(a.b>0\) ise \(a<0\) olmak zorundadır. Yani hem a hem de b \(0\)'dan küçüktür. Bu elde ettiklerimizden yola çıkarak \(a+b<0\) ve \(-a-b>0\) bulunur. O halde K noktası \(2.\) bölgededir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlem üzerinde \(A(k,z)\) ve \(B(m,n)\) noktaları verilmiş olsun. Aşağıdaki şekildeki ABC dik üçgenindki hipotenüs uzunluğu bize A ve B noktaları arasındaki mesafeyi verir.

Şekilden devam edecek olursak \(|AC|=m-k\) ve \(|BC|=n-z\) oldukları açık bir şekilde görülür. ABC dik üçgenine pisagor teoremi uygulanacak olursa \(|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2=(m-k)^2+(n-z)^2\) bulunur. O halde A ve B noktaları arasındaki uzaklık \(|AB|=\sqrt{(m-k)^2+(n-z)^2}\) olur.

ÖRNEK

\(1\) birimlik mesafesi \(2cm\) olan bir analitik düzlemde \(A(5,1)\) ve \(B(-3,7)\) noktaları verilmiş olsun. Verilmiş olan A ve B noktaları arasındaki uzunluk kaç birimdir?

ÇÖZÜM

Analitik düzlemde \(A(k,z)\) \(B(m,n)\) şeklinde verilen iki nokta arasındaki mesafenin formülü olarak \(|AB|=\sqrt{(m-k)^2+(n-z)^2}\) eşitliğini vermiştik. Bu formül uygulanacak olursa \(|AB|=\sqrt{(5-(-3))^2+(1-7)^2}=\sqrt{(8)^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\) birim bulunur. Bize sorunun başında bu analitik düzlemdeki \(1\) birimin karşılığı \(2cm\) olduğuna göre \(|AB|=10.2=20cm\) bulunur.

Bir Doğru Parçasını Belli Bİr Oranda(İçten veya Dıştan) Bölen Noktanın Kordinatları

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Kordinatları

Analitik düzlemde \( A(m,n)\) ve \(B(k,z)\) noktalarının oluşturduğu AB doğru parçasının orta noktasının kordinatları \(C(x,y)\) olsun.\(D(x,n)\) ve \(E(k,y)\) olmak üzere aşağıdaki şekil oluşur.

Görüldüğü gibi ADC \(\cong\) CEB'dir. Eğer C noktası AB'nin orta noktası ise \(|AC|=|CB|\) olur. Bununla birlikte \(|AD|=|CE|\) ve \(|CD|=|BE|\)'dir.

\(|AD|=|CE|\)\(x-m=k-x\)\(2x=k+m\)\(x=\cfrac{k+m}{2}\) ve \(|CD|=|BE|\)\(y-n=z-y\)\(2y=n+z\)\(y=\cfrac{n+z}{2}\) bulunur. Buna göre AB doğru parçasının orta noktası \(C(\cfrac{k+m}{2},\cfrac{n+z}{2})\)'dir.

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda İçten Bölen Noktanın Kordinatları

Aşağıdaki şekilde \( A(m,n)\) ve \(B(k,z)\) olsun. \(t\in R\) olmak üzere AB doğru parçasını \(t\) oranında içten bölen bir nokta olarak \(C(x,y)\) noktası seçilirse ACD\(\sim\)CBE olduğundan \(\cfrac{|AC|}{|CB|}=\cfrac{|AD|}{|CE|}=\cfrac{|CD|}{|BE|}=t\)'dir.

Bu durumda oranlar şu şekilde yazılabilir:

\(\cfrac{|AD|}{|CE|}=t\)\(\cfrac{(x-m)}{(k-x)}=t\)\((x-m)=(k.t-x.t)\)\((x.t+x)=(k.t+m)\)\(x(t+1)=(k.t+m)\)

\(x=\cfrac{(k.t+m)}{(t+1)}\)

\(\cfrac{|CD|}{|BE|}=t\)\(\cfrac{(y-n)}{(z-y)}=t\)\((y-n)=(t.z-t.y)\)\((t.y+y)=(t.z+n)\)\(y(t+1)=(t.z+n)\)

\(y=\cfrac{(t.z+n)}{(t+1)}\) elde edilir. 

Buradan \(C(x,y)=(\cfrac{(k.t+m)}{(t+1)},\cfrac{(z.t+n)}{(t+1)})\) olur. Dikkat edilecek olursa \(t=1\) alındığı zaman C noktasının kordinatları AB'nin orta noktasının kordinatlarını verecektir.

ÖRNEK

Analitik düzlem üzerinde \(A(10,-5)\) ve \(B(-15,10)\) noktaları verilmiş olsun. Bu iki nokta üzerinde bulunan AB doğru parçası üzerinde bir C noktası vardır ve bu nokta AB'yi \(\cfrac{|AC|}{|CB|}=\cfrac{3}{2}\) oranında böşmektedir. Buna göre C noktasının kordinatları nedir?

ÇÖZÜM

Yukarıdaki konu anlatımımızda x ve y'yi elde edecek formülleri elde etmiştik. Buna göre

\(x=\cfrac{(k.t+m)}{(t+1)}=\cfrac{(10+\cfrac{3}{2}.(-15)}{(\cfrac{3}{2}+1)}=\cfrac{\cfrac{-25}{2}}{\cfrac{5}{2}}=-5\) ve 

\(y=\cfrac{(t.z+n)}{(t+1)}=\cfrac{-5+10.\cfrac{3}{2}}{\cfrac{3}{2}+1}=\cfrac{10}{\cfrac{5}{2}}=4\) bulunur yani C noktasının kordinatları \(C(-5,4)\)'tür.

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Dıştan Bölen Noktanın Kordinatları

Aşağıdaki şekilde \( A(m,n)\) ve \(B(k,z)\) olsun. \(t\in R\) olmak üzere AB doğru parçasını \(t\) oranında dıştan bölen bir nokta olarak \(C(x,y)\) noktası seçilirse ABD\(\sim\)BCE olduğundan \(\cfrac{|CA|}{|CB|}=\cfrac{|CD|}{|CE|}=\cfrac{|AD|}{|BE|}=t\)'dir.

Bu durmuma göre oranlar şöyledir:

\(\cfrac{|AD|}{|BE|}=t\)\(\cfrac{(x-m)}{(x-k)}=t\)\((x.t-k.t)=(x-m)\)\((x.t-x)=(k.t-m)\)\(x.(t-1)=(k.t-m)\)

\(x=\cfrac{(k.t-m)}{(t-1)}\)

\(\cfrac{|CD|}{|CE|}=t\)\(\cfrac{(y-n)}{(y-z)}=t\)\((y-n)=(t.y-t.z)\)\((t.y-y)=(t.z-n)\)\(y.(y-1)=(t.z-n)\)

\(y=\cfrac{(t.z-n)}{(y-1)}\) bulunur. Yani C noktasının kordinatları \(C(\cfrac{(k.t-m)}{(t-1)},\cfrac{(t.z-n)}{(y-1)})\)'dir.

Bir Üçgenin Ağırlık Merkezinin Kordinatları

Analitik düzlemde köşe noktaları \(A(x,y),B(k,z)\) ve \(C(m,n)\) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin kordinatları \(G(x,y)=(\cfrac{(x+k+m)}{3},{\cfrac{(y+z+n)}{3}})\)'dir.

NOT: Bir üçgenin ağırmık merkezi kenarortay doğrularının kesiştikleri noktadır. Bu noktanın önemli bir özellikliği de herhangi bir köşeden bu noktaya çizilen doğru parçasının uzunluğu bu çizginin devamı şeklinde kenara inen çizginin uzunluğunun \(2\) katı olmasıdır.

ÖRNEK

Analitik düzlemde köşe noktalarının kordinatları \(A(10,7), B(-5,2)\) ve \(C(4,0)\) olan üçgenin ağırlık merkezinin kordinatlarını bulunuz.

ÇÖZÜM

Köşe kordinatları \(A(10,7), B(-5,2)\) ve \(C(4,0)\) olan ABC üçgeninin Ağırlık Merkezi \(G(x,y)\) olmak üzere 

\(x=\cfrac{(x+k+m)}{3}=\cfrac{(10+(-5)+4)}{3}=\cfrac{9}{3}=3\) ve 

\(y=\cfrac{(y+z+n)}{3}=\cfrac{7+2+0}{3}=\cfrac{9}{3}=3\) bulunur. O halde \(G(3,3)\) olur.

Analitik Düzlemde Doğrular

Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi

TANIM: Doğrunun eğim açısı; o doğrunun \(x\) ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açıdır. Bu açının tanjant değerine ise o doğrunun eğimi denir.

Yukarıdaki grafikte bulunan doğruların eğimlerini inceleyeceğiz:

Grafiğe göre \(a\in (0,\cfrac{\Pi}{2})\) ise \(k\) doğrusunun eğimi pozitiftir. Yani \(tan(a)>0\)'dır.

Grafiğe göre \(\beta\in (\cfrac{\Pi}{2},\Pi)\) ise \(z\) doğrusunun eğimi negatiftir. Yani \(tan(b)<0\)'dır.

Grafikteki \(d\) doğrusu \(x\) eksenini dik kesiyorsa (yani \(y\) eksenine paralelse) bu doğrunun eğiminin değeri tanımsızdır.

Grafikteki \(f\) doğrusu \(y\) eksenini dik kesiyorsa (yani \(x\) eksenine paralelse) bu doğrunun eğimi \(0\)'dır. 

İki Noktası Verilen Doğrunun Eğimi

Analitik düzlemdeki bir doğrunun eğimini bulma yöntemlerinden birisi; bu doğru üzerinden iki nokta alınır ve bu iki noktadan geçen \(x\) ve \(y\) düzlemlerine paralel doğrular çizilip bize verilen doğrunun altında oluşan dik üçgenin \(x\) eksenine paralel doğru üzerinde oluşan açının tanjant değeri bize verilen doğrunun eğimini verir.

Şekildeki ABD dik üçgenine bakacak olursak \(|AD|=k-x\) birim ve \(|BD|=z-y\) birimdir. Bu dik üçgende eğimi bize \(a\) açısının tanjant değeri verecekti ve aynı zamanda bir dik üçgendeki \(tan(a)\) değeri o açının karşısındaki kenarın diğer dik kenara oranıydı. Buna göre \(tan(a)=\cfrac{|BD|}{|AD|}=\cfrac{z-y}{k-z}\)'dir.

ÖRNEK

Analitik düzlemde \(A(7,5)\) ve \(B(3,1)\) noktalarından geçen doğrunun \(x\) ekseni ile yaptığı dar açının ölçüsünü kaç derecedir?

ÇÖZÜM

İki noktası verilen doğrunun eğimi kısaca ordinatlarının farkının apsisler farkına oranıydı. O halde \(tan(a)=\cfrac{5-1}{7-3}=\cfrac{4}{4}=1\)'dir. \(tan(45)=1\) olduğuna göre \(a=45\)º olur.

Doğru Denkleminin Yazılması

Eğimi ve Bir Noktası Verilen Doğrunun Denklemi

\(m\in R\) olmak üzere analitik düzlemde \(A(k,z)\) noktasından geçen doğru ve bu doğrunun eğimi \(m\) olsun. Eğer bu doğru üzerinde bulunmak şartıyla değişken bir nokta alacak olursak ve bu noktaya \(P(x,y)\) dersek bu doğrunun eğimi   \(m=\cfrac{y-z}{x-k}\) olur ve ifademiz düzenlenecek olursa \(y=m.(x-k)+z\) elde edilir. Bu ifade \(A(k,z)\) noktasından geçen ve eğimi \(m\) olan doğrunun denklemidir.

ÖRNEK

Analitik düzlemde \(A(-1,7)\) noktasından geçen ve eğimi \(-2\) olan doğrunun denklemi nedir?

ÇÖZÜM

Bize verilmiş olan bilgileri doğru oluşturmak için kullandığımız kalıp denklem olan \(y=m.(x-k)+z\)'de yerine yazacak olursak \(y=-2.(x-(-1))+7\) \(y=-2x+5\) bulunur.

İki Noktası Verilen Doğrunun Denklemi

Analitik düzlemde iki noktası verilen doğrunun denklemi şu şekilde bulunabilir. 

1.adım) Doğrunun üzerinde verilmiş olan iki nokta ile doğrunun eğimi hesaplanır. (Bunu İki Noktası Verilen Doğrunun Eğimi konusunda işlemiştik)

2.adım) Eğimi bulduktan sonra yapmamız gereken şey eğimi ve bir noktası verilen doğrunun denklemini yazmak olur. Bunu yaparken bize verilmiş noktalardan birisi ve hesaplamış olduğumuz eğim kullanılır.

NOT: Analitik düzlemde \(A(x_1,y_1)\) ve \(B(x_2,y_2)\) noktalarından geçen doğrunun denklemi \(\cfrac{y-y_1}{y_1-y_2}=\cfrac{x-x_1}{x_1-x_2}\) eşitlikteki \(y\)'yi yalnız bırakarak da bulunur.

ÖRNEK

Analitik düzlemde \(A(7,5)\) ve \(B(3,1)\) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

Yapmamız gereken ilk şey bu iki noktadan geçen doğrunun eğimiydi.  İki noktası verilen doğrunun eğimi ordinatlarının farkının apsisler farkına oranıydı. O halde \(m=\cfrac{5-1}{7-3}=\cfrac{4}{4}=1\)'dir. Sonra bu noktalardan geçen doğrunun denklemini yazmak için verilen noktalardan birini seçmeliyiz ve ben \(B(3,1)\) noktasını kullanacağım. Burada yapmamız gereken şey eğimi ve geçtiği bir noktası biline doğrunun denklemini yazmaktır. O halde doğrumuzun denklemi \(y=1.(x-3)+1\)

\(y=x-2\) bulunur.

NOT: Analitik düzlemde eksenler üzerinde bulunan \(A(k,0)\) ve \(B(0,z)\) gibi noktalardan geçen doğrunun denklemi kısaca \(\cfrac{x}{k}+\cfrac{y}{z}=1\) şeklinde bulunur.

Eksenlere Paralel Doğruların Denklemleri

Analitik düzlemde ki herhangi bir \(k\) doğrusu, \(y\) eksenine paralel ve \(x\) ekseni ile \(A(a,0)\) noktasında dik kesişsin. \(k\) doğrusu üzerindeki tüm noktaların apsisi \(a\)'dır. Bundan dolayı bu tip doğruların denklemi \(x=a\)'dır. \(y\) eksenine paralel doğruların eğim açısı \(90\)º'dir ve \(tan(90)\) tanımsız olduğundan bu gibi doğru denklemlerinin eğimleri de tanımsızdır.

Analitik düzlemde herhangi bir \(d\) doğrusu, \(x\) eksenine paralel ve \(y\) ekseni ile \(B(0,y)\) noktasında dik kesişsin. \(d\) doğrusu üzerindeki tüm noktaların ordinatı \(b\)'dir. Bundan dolayı \(x\) eksenine paralel doğruların denklemi \(y=b\) şeklindedir. \(x\) eksenine paralel doğruların eğim açıları \(0\)º 'dir ve \(tan(0)=0\) olduğundan bu tip doğruların eğimleri \(0\)'dır.

ÖRNEK

Analitik düzlemde \(A(5,y^2-4)\) ve \(B(-2,y+2)\) noktalarından geçen doğru \(x\) eksenine paralel ise \(y\) değerleri nedir?

ÇÖZÜM

\(x\) eksenine paralel bir doğru üzerinde bulunan tüm noktaların ordinatları eşittir. O halde \(y^2-4=y+2\) olur. \(y^2-4=y+2\)\(y^2-y-6=(y-3).(y+2)=0\) ise \(y=3\) ve \(y=-2\) bulunur.

Orijinden Geçen Doğrunun Denklemi

\(O(0,0)\) noktasından geçen ve eğimi \(m\) olan doğrunun denklemi \(y=mx\)'tir. Özel olarak \(m=1\) alınırsa \(y=x\) doğrusu elde edilir ve bu doğrunun ismi \(1.\) açıortay doğrusudur. Benzer şekilde \(m=-1\) alınırsa \(y=-x\) doğrusu elde edilir ve bu doğrunun ismi ise \(2.\) açıortay doğrusudur.

ÖRNEK

Orijinden geçen ve \(x\) ekseniyle pozitif yönde \(120\)º açı yapan doğrunun denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

Orijinden geçen ve  eğimi \(m\) olan doğrunun denklemi \(y=mx\)'tir. Bir doğrunun eğimini yaptığı açının tanjant değeri vermektedir. O halde doğrunun eğimi \(tan(120)=-\sqrt{3}\) olur. Doğrunun eğimi \(-\sqrt{3}\) ve orijinden geçtiği için doğrunun denklemi \(y=-\sqrt{3}.x\) bulunur.

Denklemi Bilinen Doğruların Eğimi

TANIM: \(a,b,c\in R \) ve \(b\neq0\) olmak şartıyla \(ax+by+c=0\) denklemine doğrunun kapalı denklemi denir. Bu kapalı denklemde \(y\) yalnız bırakılırsa \(x\)'in önünde bulunan katsayı bize doğrunun eğimini verecektir. \(y\)'yi yalnız bırakacak olursak

\(ax+by+c=0\)\(by=-ax-c\)\(y=(\cfrac{-a}{b}).x-\cfrac{c}{b}\)'elde edilir. O halde doğrunun eğimi \(\cfrac{-a}{b}\) bulunur.

ÖRNEK

Analitik düzlemde kapalı denklemi \(3x-4y-8=0\) şeklinde verilen doğrunun eğimini bulunuz.

ÇÖZÜM

Kapalı denklemi verilen doğrunun eğimini \(y\)'yi yalnız bırakarak buluyorduk. O halde \(3x-4y-8=0\)\(3x+8=4y\)

\(\cfrac{3x}{4}+\cfrac{8}{4}=\cfrac{3x}{4}+2\) bulunur.

Birbirine Paralel ya da Dik Olan Doğruları Eğimleri Arasındaki Bağıntılar

  • \(d\) ve \(k\) doğruları birbirine paraleldir. Çünkü eğim açıları eşittir ve bundan dolayı eğimleri de eşittir. Yani iki doğrunun paralel olması için gerekli olan şey eğimlerinin eşit olmasıdır.
  • Yukarıdaki şekilde bulunan \(d\) ve \(n\) gibi İki doğru birbirine dik ise bu doğruların eğimlerinin çarpımı \(-1\)'e eşittir. Bu şöyle açıklanabilir; \(d\) doğrusunun eğimi \(tan(a)\) ve \(n\) doğrusunun eğimi ise \(tan(90+a)=-cot(a)\)'dır. Sonra bu iki doğrunun eğimlerini çarpacak olursak \(tan(a).(-cot(a))=\cfrac{sin(a)}{cos(a)}.(-\cfrac{cos(a)}{sin(a)})=-1\) elde edilir.

ÖRNEK 

Analitik düzlemde \(A(1,7)\) ve \(B(3,5)\) noktalarından geçen AB doğrusu \(C(5,1)\) ve \(D(-1,k)\) noktalarından geçen CD doğrusuna dik ise \(k\) değeri kaçtır?

ÇÖZÜM

İki doğru birbirine dikse bu iki doğrunun eğimler çarpımı \(-1\) olmalıdır. O halde verilen doğruların eğimlerini bulalım.

AB doğrusunun eğimi \(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{5-7}{3-1}=-1\) bulunur ve CD doğrusunun eğimi ise \(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{-1-5}{k-1}\) bulunur. Bu iki doğrunun eğimler çarpımı \(-1\) olmalıydı. Buna göre \(\cfrac{-6}{k-1}.(-1)=-1\)\(k-1=-6\)\(k=-5\) bulunur.

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

\(d_1: ax_1+by_1+c_1=0\) ve \(d_2=a_2x+b_2y+c_2=0\) doğruları verilmiş olsun. Bu durumda;

1) Verilen \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları çakışık olabilir. Bu iki doğrunun çakışık olduğunu anlayabilmemiz için \(\cfrac{a_1}{a_2}=\cfrac{b_1}{b_2}=\cfrac{c_1}{c_2}\) olması gerekir. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

 Şeklinde gösterilebilir.

2) Verilen \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları paralel olabilir. Bu iki doğrunun paralel olduğunu anlayabilmemiz için \(\cfrac{a_1}{a_2}=\cfrac{b_1}{b_2}\neq\cfrac{c_1}{c_2}\) olması gerekir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir.

Şeklinde gösterilebilir.

3) Verilen \(d_1\) ve \(d_2\) doğruları bir noktada kesişebilir. Bu iki doğrunun bir noktada kesiştiğini anlayabilmemiz için\(\cfrac{a_1}{a_2}\neq\cfrac{b_1}{b_2}\) olması gerekir. Sistemin çözüm kümesi tek elemanlıdır.

 Şeklinde gösterilebilir.

ÖRNEK

\(d_1:5x+4y-3=0\) ve \(d_2:3x+k.y-10=0\) doğruları bir noktada kesiştiklerine göre \(k\) hangi değeri alamaz?

ÇÖZÜM

\(d_1\) ve \(d_2\) doğrularında \(x\)'lerin katsayılarının oranı ile sabit terimlerin oranı \(\cfrac{5}{3}\neq\cfrac{-3}{-10}=\cfrac{3}{10}\) olduğundan kesinlikle bu doğrular çakışık doğrular olamaz. O halde bu doğrular ya paraleldir ya da tek noktada kesişiyorlardır. Bu doğruların bir noktada kesişmesi demek paralel olmaması demektir. Yani paralelliği sağlayacak değeri bulursak bu bulduğumuz değer verilen iki doğrunun tek noktada kesişmesi için gereken \(k\) sayısına eşit olmayacaktır. O halde \(\cfrac{5}{3}\neq\cfrac{4}{k}\)\(k\neq\cfrac{12}{5}\) olur. Yani \(k\)'nın alamayacağı değer \(\cfrac{12}{5}\)'tir.

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı

Bir noktanın verilen bir doğruya olan uzaklığı o noktadan doğruya inen dikmenin uzunluğuna eşittir. Ve bu uzaklık şu şekilde hesaplanabilir;  \(P(x_1,y_1)\) noktası ve \(d: ax+by+c=0\) doğrusu verilmiş olsun. \(P(x_1,y_1)\) noktasının \(d: ax+by+c=0\) doğrusuna olan uzaklığı \(\cfrac{|a.x_1+b.y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) şeklinde hesaplanır. Yani verilen noktanın apsis ve ordinatları doğruda yerlerine mutlak değer içerisinde yazılır ve doğruda bulunan değişkenlerin katsayılarının karelerinin toplamının kareköküne bölünür. 

ÖRNEK

Analitik düzlemde verilen \(P(-1,5)\) noktasının \(d:3x+4y+8=0\) doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

ÇÖZÜM

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı \(\cfrac{|a.x_1+b.y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) şeklinde hesaplanıyor demiştik. O halde \(P(-1,5)\) noktasının \(d:3x+4y+8=0\) doğrusuna olan uzaklığı \(\cfrac{|a.x_1+b.y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cfrac{|3.(-1)+4.5+8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\cfrac{25}{5}=5\) birim bulunur.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

 olmak üzere ve \(d_1=ax+by+c_1=0\) ve \(d_2=ax+by+c_2=0\) doğruları verilmiş olsun. Bu doğrular arasındaki uzaklık \(\cfrac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) şeklinde hesaplanır.

NOT: İki doğru arasındaki mesafeyi; doğrulardan birinin üzerinde bulunan bir noktayı belirleyip bu noktanın diğer doğruya olan uzaklığını hesaplayarakta bulabilirsiniz.

ÖRNEK 

Analitik düzlemde verilmiş olan \(d_1: 2x+3y-15=0\) ve \(d_2: 6x+9y+18=0\) doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.

ÇÖZÜM

Bu soruda not kısmında verdiğimiz çözüm önerisini kullanacağız. O halde \(d_2: 6x+9y+18=0\) doğrusu üzerinden \((0,-2)\) noktasını alalım. Bu noktanın \(d_1: 2x+3y-15=0\) doğrusuna olan uzaklığı bize bu iki doğru arasındaki uzaklığı verecektir. Biz bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını \(\cfrac{|a.x_1+b.y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) şeklinde öğrenmiştik. Buna göre bu iki doğru arasındaki mesafe \(\cfrac{|2.0+3.(-2)-15|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\cfrac{21}{\sqrt{13}}\) olarak bulunur.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

31 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 22.07.2020 13:25
Son Güncelleme: 01.09.2020 18:28

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!