Şifre Sıfırlama

Denklemler ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar

Oran Orantı

TANIM: Oran aynı birimdeki iki çokluğun birbirine bölümü iken orantı ise birden fazla oranın eşitliğidir.

Oran ve Orantı İle İlgili Bazı Özellikler

1) \(a,b,c,d,k\in R\) ve \(b,d\neq0\) olmak koşulu ile \(a\)'nın \(b\)'ye oranı \(a:b\) yada \(\cfrac{a}{b}\) şeklinde gösterilirken orantı ise \(a:b=c:d=k\) ve \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k\) şeklinde gösterilir.

2) Kesirlerdeki gibi oranın payı ve paydası \(0\) dışındaki bir reel sayıyla genişletilebilir yada sadeleştirilebilir.

3) Orantıdaki ortaya çıkan \(k\) sayısına orantı sabiti denir ve orantıda ki \(a\)  ve \(d\) sayılarına dışlar \(b\) ve \(c\) değerlerine ise içler adı verilir.

4) Orantıda ki içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir. Yani \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}\) orantısında \(a.d=b.c\)'dir. 

5) Bir orantıda içler veya dışların yer değiştirmesi orantıdaki eşitliği bozmaz fakat orantı sabitini değiştirir.

6) \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=k\) →\(\cfrac{a\pm c}{b\pm d}=k\)'dır. Yani payda bulunan sayılar ve paydada bulunan sayılar kendi aralarında toplama yada çıkarma işlemi yapıdığında \(k\) oran sabiti değişmeyecektir.

7)\(a,b,c\) sayılarının \(4.\) orantılısı \(x \) ise \(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{x}\) olur.

ÖRNEK

Bir minibüsün içerisinde \(6\) kadın \(8\) erkek yolcu bulunmaktadır. Daha sonra bu minibüse  \(3\) evli çift binip \(1\) erkek ve \(2\) kadın yolcu inmiştir. Son durumdaki kadın yolcuların sayısının erkek yolculara oranı kaçtır?

ÇÖZÜM

Bu minibüse \(3\) evli çiftin binmesi ile aslında \(3\) erkek ve \(3\) kadın yolcu binmiş olur ve aynı zamanda \(1\) erkek ve \(2\) yolcu indiğine göre totalde minibüse \(1\) kadın \(2\) erkek binmiş oldu. Buna göre kadın sayısı \(6+1=7\) ve erkek sayısı \(8+2=10\) olur. Bizden istenilen kadınların sayısının erkeklerin sayısına oranı ise \(\cfrac{7}{10}\) olur. 

ÖRNEK

\(\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d}=2\) ve \(2a-3b+2c-5d=16\) ise \(b-d=?\) işleminin sonucu kaçtır?

ÇÖZÜM

\(\cfrac{a}{b}=2\) ise \(a=2b\) ve \(\cfrac{c}{d}=2\) ise \(c=2d\)'dir. \(2a-3b+2c-5d=16\) eşitliğinde \(a\) gördüğümüz yere \(2b\) ve \(c\) gördüğümüz yere \(2d\) yazarsak\(2.(2b)-3b+2.(2c)-5d=4b-3b+4c-5d=b-d=16\) bulunur.

 

Orantı Çeşitleri

Doğru Orantı

İki çokluk arasında doğru orantı olabilmesi için bu çokluklardan biri artarken diğer çokluğunda artması gerekir. \(a\) ile \(b\) doğru orantılı ise \(\cfrac{a}{b}=k\) veya \(a=k.b\) şeklinde gösterilir.

NOT: \(a,b,c\) sayıları sırasıyla \(x,y,z\) sayıları ile doğru orantılı ise \(\cfrac{a}{x}=\cfrac{b}{y}=\cfrac{c}{z}=k\)'dır.

ÖRNEK

\(k\) ie \(l\) doğru orantılı sayılardır. \(k=10\) iken \(l=7\) ise \(k=6\) iken \(l\) kaçtır?

ÇÖZÜM

\(k\) ve \(l\) doğru orantılı ise \(\cfrac{k}{l}=\cfrac{10}{7}\) oranı sayılar ne değer alırsa alsın değişmeyecektir. O halde \(\cfrac{6}{l}=\cfrac{10}{7}\) ise \(l=\cfrac{21}{5}\)'tir.

Ters Orantı

İki çokluk arasında ters orantı bulunabilmesi için bu çokluklardan biri artarken diğerinin bu esnada eşit oranda azalması gerekir. Yani çokluklardan birisinin değeri \(2\) katına çıktıysa diğeri kendi değerinin yarısına inmek zorundadır. Kısaca \(k\) ile \(l\) ters orantılı ise \(k.l=a\) buna denk olarak \(k=\cfrac{a}{l}\)'dir.

NOT: \(a,b,c\) sayıları sırasıyla \(x,y,z\) sayılarıyla ters orantılı ise \(ax=by=cz=k\)'dır.

ÖRNEK

\(a\) ile \(b\) ters orantılıdır. \(a=8\) iken \(b=6\)'dır. \(a=12\) iken \(b\) kaçtır?

ÇÖZÜM

\(a\) ve \(b\) ters orantılı ise \(a.b=k\)'dır. O halde \(a.b=8.6=48\) ve \(b=\cfrac{48}{a}\)'dır. \(a=12\) ise \(b=\cfrac{48}{12}=4\)'tür.

Bileşik Orantı

İçerisinde \(2\) yada daha fazla orantı bulunan orantılara bileşik orantı denir. \(k\) sayısı \(l\) sayısı ile doğru \(m\) sayısı ile ters orantılı ise bu sayılar arasındaki ilişki  \(\cfrac{k.m}{l}=a\) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK

\(x\) sayısı \(y\) ile düz \(z\) ile ters orantılıdır. \(x=5\) iken \(y=3\) ve \(z=6\)'dır. O halde \(x=10\) ve \(y=4\) iken \(z\) kaçtır?

ÇÖZÜM

\(x\) sayısı \(y\) ile düz \(z\) ile ters orantılı ise \(\cfrac{x.z}{y}=k\) yazılır. \(x=5\)\(y=3\)\(z=6\) iken \(\cfrac{x.z}{y}=\cfrac{5.6}{3}=\cfrac{30}{3}=10\)'dur. Bu oran \(x=10\) ve \(y=4\) iken de değişmeyecektir ve \(\cfrac{10.z}{4}=10\) olmalıdır. Buradan \(z=4\) bulunur.

Problemler

Verilen bir problemi çözmek için sözel olarak verilmiş ifadeleri matematiksel değişkenler içeren denklemler haline getirilir ve bu oluşan denklemin çözümü problemin çözümüdür.

Sayı ve Kesir Problemleri

Bazı ifadelerin matematiksel değişkenler içeren şekilde yazılmış şekilleri şöyledir:

  • Bir sayının \(3\) katının \(4\) eksiği \(3x-4\)'tür.
  • Bir sayının \(2\) eksiğinin \(4\) katı \((x-2).4\)'tür.
  • Bir sayının \(6\) da \(5\)'i \(\cfrac{x.5}{6}\)'dır.
  • Ardışık çift sayılar \(2x, 2x+2, 2x+4,...\) şeklinde devam eden sayılardır. Benzer şekilde \(2x+1, 2x+3, 2x+5,...\) şeklinde devam eden sayılar ise ardışık tek sayılardır.
  • Bir sayının karesinin \(10\) eksiği o sayının kareköküne eşit ifsadesi \(x^2-10=\sqrt{x}\) şeklindedir.

ÖRNEK

Belirli bir yükseklikten sadece düşey doğrultuda hareket edecek şekilde bırakılan bir top her yere değişinden sonra bir önceki maximum yüksekliğin \(4 \)'te \(3\)'ü yüksekliğine çıkabilmektedir. Bu top yere \(3.\) değişinde sonra yerden yüksekliği \(81\) cm olduğuna göre bu topun \(3.\) defa değdiği ana kadar aldığı mesafe kaç cm'dir?

ÇÖZÜM

Topun bırakıldığı yüksekliği bilmediğimiz için \(x\) cm diyelim. Bu top her yere değişinden sonraki çıktığı yükseklik bir önceki değişinde çıktığı yüksekliğin \(4\)'te \(3\)'ü kadar yükseldiğine göre \(1.\) değişten sonra \(\cfrac{x.3}{4}\) cm ve \(2.\) değişten sonra \(\cfrac{3.3.x}{4.4}=\cfrac{9x}{16}\) cm ve \(3.\) değişten sonra \(\cfrac{9x.3}{16.4}=\cfrac{27x}{64}\) cm yüksekiğe çıkacaktır. \(3.\) değişten sonra çıktığı mesafe \(81\) cm ise \(\cfrac{27x}{64}=81\) yazılır ve buradan \(x=192\) cm bulunur.

(şeklin amacı topun ilk değdiği an ile ondan sonraki ulaştığı zirve arasındaki mesafeyi \(2\) defa katettiğini göstermektir. Aynı şekilde bu \(2.\) değişten sonraki katettiği mesafe için de geçerlidir.)

O halde topun aldığı mesafe \(192+2.(192.\cfrac{3}{4})+2.(144.\cfrac{3}{4})=192+2.144+2.108=192+288+216=696\) cm bulunur.

Yaş Problemleri

Yaş problemlerinin çözümünde yardımcı olabilecek bazı bağıntılar şunlardır:

  • Yaşları \(x\) ve \(y\) olan iki kişinin \(a\) yıl sonraki yaşlarının toplamı \(x+y+2a\) ve \(a\) yıl önceki yaşlarının toplamı \(x+y-2a\)'dır.
  • İki kişinin yaşlarının farkı doğal olarak hiçbir zaman değişmez.
  • Yaşlarının aritmetik ortalaması \(x\) olan \(y \) kişinin \(a\) yıl önceki yaşlarının aritmetik ortalaması \(x-a\) ve \(a\) yıl sonra ise \(x+a\) olur.

ÖRNEK 

Bir babanın yaşı \(3\) çocuğunun yaşının toplamından \(35\) fazladır. \(3\) yıl sonra bu babanın yaşı \(3\) çocuğunun yaşının topalmının \(2\) katı olacağına göre babanın bu gün ki yaşı kaçtır?

ÇÖZÜM

\(3\) çocuğun yaşları toplamına \(x\) diyecek olursak babanın yaşı \(x+35\) olur. \(3\) yıl sonra ise babanın yaşı \(3\) artacağından dolayı \(x+35+3=x+38\) ve çocuk sayısı \(3\) olduğu için bu çocukların yaşlarının toplamı \(3.3=9\) artarak \(x+9\) olur. Bize babnın \(3\) yıl sonraki yaşının çocukların yaşları toplamının \(2\) katı olduğu söylendiğine göre denklemimiz \(x+38=2.(x+9)\) olur. Denklemin çözümü ise \(x+38=2.(x+9)\)\(x+38=2x+18\)\(x=20\) bulunur. O halde babını yaşı \(20+35=55\) bulunur.

Yüzde Problemleri

Bir kesrin paydasında \(100\) sayısı varsa o kesir için yüzde ifadesi kullanılabilir. Yüzde ifadesi % sembolü ile gösterilir. %\(35\) ifadesi yüzde otuz beş diye okunur ve bu ifadenin eşiti \(\cfrac{35}{100}\)'dür. Herhangi bir \(x\) sayısının yüzde \(y\)'si \(x.\cfrac{y}{100}\)'e eşittir.

ÖRNEK

\(72\) sayısının %\(30\)'u kaçtır?

ÇÖZÜM

 Herhangi bir \(x\) sayısının yüzde \(y\)'si  \(x.\cfrac{y}{100}\)'ydi. Buna göre \(72\)'nin %\(30\)'u \(72.\cfrac{30}{100}=21,6\)'dır.

Kar Zarar Problemleri

Kar zarar problemlerinin çözümünde aşağıdaki bağıntılar kullanılabilir:

  • satış fiyatı- alış fiyatı >0 ise kar ;satış fiyatı- alış fiyatı <0 ise zarardır.
  • Kar yüzdesi=\(\cfrac{kar}{maliyet}.100\)'dür. Aynı şekilde zarar yüzdesi=\(\cfrac{zarar}{maliyet}.100\)'dır.
  • \(x\) liralık bir ürüne yüzde \(y\) zam yapıldığında oluşan yeni fiyat \(x+\cfrac{y}{100}\) şeklindedir.
  • \(x\) liralık bir ürünün fiyatından yüzde \(y\) indirim yapılırsa oluşacak olan yeni fiyat \(x-\cfrac{y}{100}\)'dir.

ÖRNEK

Bir bıçak tüccarı elinde fiyatları aynı olan bıçakların %\(60\)'ını %\(30\) kar ile geri kalanını ise uzun süre satamadığından dolayı %\(10\) zarar ile satmıştır. Bu bıçak tüccarının bu işteki kar-zarar yüzdesi nedir?

ÇÖZÜM

Bu bıçak tüccarının elindeki bıçakların sayısına \(10x\) ve bu bıçakların tanesine \(10y\) lira diyelim. O halde bu bıçak tüccarı elindeki bıçakların tamamına \(10x.10y=10xy\) lira vermiştir. Bu bıçak tüccarı elindeki bıçakların %\(60\)'ını yani \(10x.\cfrac{60}{100}=6x\) tanesini %\(30\) karla yani \(10y+10y.\cfrac{30}{100}=13y\) liraya satmıştır. Yani bu %\(60\)'lık kısımdan \(6x.13y=78xy\) lira kazanmıştır.Gelelim bıçakların geri kalankısmına. %\(40\)'lık kısmı yani \(10x.\cfrac{40}{100}=4x\)'lik kısımdaki bıçakları %\(10\) zararla yani \(10y-10y.\cfrac{10}{100}=9y\) liraya satarak bu kısımdan \(4x.9y=36xy\) lira elde etmiş olur. O halde bu bıçak tüccarının tüm satışları yaptıktan sonra elinde olan para \(78xy+36xy=114xy\) liradır. Bu tüccar bu bıçaklara toplamda \(100xy\) lira harcadığına göre karı \(114xy-100xy=14xy\) liradır. Kar yüzdesi=\(\cfrac{kar}{maliyet}.100\) olduğundan \(\cfrac{14xy}{100xy}.100=14\) olur yani bu bıçak tüccarının karı %\(14\)'tür.

Karışım Problemleri

Karışım problemlerinin çözümünde aşağıdaki bağıntılar kullanılabilir:

  • Saf madde oranı=\(\cfrac{saf madde miktarı}{karışım miktarı}\)'dır.
  • Saf madde yüzdesi=\(\cfrac{saf madde miktarı}{karışım miktarı}.100\)'dir.

ÖRNEK 

Tuz oranı %\(35\) olan \(200\)g tuzlu su ile tuz oranı %\(20\) olan \(500\)g tuzlu su karıştırıldığında oluşan yeni tuzlu suda ki tuz oranı yüzde kaçtır? 

ÇÖZÜM

İlk çözeltiye bakacak olursak \(\cfrac{35}{100}.200=70\)g tuz ve \(130\)g su bulunmaktadır. Benzer şekilde ikinci çözeltide \(\cfrac{20}{100}.500=100\)g tuz ve \(400\)g su bulunmaktadır. Bu iki tuzlu su karıştırıldığı zaman karışımdaki tuz miktarı \(70+100=170\)g olur ve karışımın toplam kütlesi \(200+500=700\)g olur. Son olarak karışımda bulunan tuz yüzdesi \(\cfrac{safmaddemiktarı}{karışımmiktarı}.100=\cfrac{170}{700}.100=\cfrac{170}{7}\)'dir.

Hareket Problemleri

Hareket probleri ile ilgili soruları çözerken bilinmesi gereken temel şey alınan yolun ortalama hız ile geçen sürenin çarpımına eşit olduğudur. Kısaca alınan yol= (ortalama hız).(geçen süre)'dir.

Bir araç iki şehir arasında \(v_1\) hızıyla gidip \(v_2\) hızıyla döndüyse bu süre içerisindeki otralama hızı \(v_{ort}=\cfrac{2.v_1.v_2}{v_1+v_2}\)'dir.

NOT: Bir araç bir noktadan geçerken kendi uzunluğu kadar yol alırken belirli bir nesneyi geçerken ise kendi uzunluğu ile birlikte geçtiği nesnenin uzunluğu kadar da yol alması gerekir.
NOT: İki farklı noktadan birbirine doğru hareket eden araçların birbirine ulaşma zamanını bulmak için iki nokta arası mesafeyi bu iki aracın toplam hızına böleriz. Araçların hızları \(v_1\) ve \(v_2\) ayrıca aralarındaki mesafe \(x\) birim olsun. O halde bu iki aracın karşılaşması için gereken süre \(t=\cfrac{x}{v_1+v_2}\)'dir.
NOT: Aynı noktadan farklı hızlarla harekete başlayan araçların bir süre sonra aralarındaki mesafe hızları farkının geçen süre ile çarpımına eşittir. Yani aynı noktadan harekete başlayan \(v_1\) ve \(v_2\) ortalama hızlarına sahip araçların arasındaki mesafe \(t\) süre sonra \(x=t.|v_1-v_2|\)'dir.

 

ÖRNEK 

Aralarındaki mesafe \(350m\) olan A ve B trenlerinin sırası ile hızları \(v_1=10\cfrac{m}{s}\)\(v_2=15\cfrac{m}{s}\) ve boyları sırası ile \(100m\) ve \(50m\)'dir. Bu trenler verilen konumlarından kaç saniye sonra birbirlerini tamamen geçer ?

ÇÖZÜM

Bu iki trenin birbirini tamamen geçmesi için hem aralarındaki mesafe olan \(350m\) ve trenlerin boyları olan \(100m\) ve \(50m\)'yi almaları gerekir. O halde bu iki tren toplamda \(350m+100m+50m=500m\) yol alacaklardır. Bu iki tren, saniyede birbirine hızlarının toplamı kadar yaklaşmaktadırlar. Yani trenler saniyede \(10m+15m=25m\) yaklaşmaktadırlar. O halde bu iki tren birbirini \(\cfrac{500}{25}=20\) saniyede tamamen geçecektir.

İşçi Problemleri

Birim zaman üzerinden hareket etmek işçi problemlerini çözmekte kolaylık sağlayacaktır.Bir işin tamamını \(x\) günde yapan bir işçi bir günde işin \(\cfrac{1}{x}\)'lik kısmını bu işin \(y\) günlük kısmı ise \(y.\cfrac{1}{x}\) şeklinde bulunur.

NOT: Eğer bir işi \(x\) ve \(y\) günde bitirebilen iki işçi birlikte çalışarak bu işi bitirecek olursa işin bitiş süresi \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}=\cfrac{x.y}{x+y}\) şeklinde hesaplanır. 
NOT: Çalışan sayısı \(3\) veya daha fazla olacak olursa {x,y,z,...} işçilerin işi bitirebilme süreleri olmak koşulu ile \((\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}+...)^{-1}\) şeklinde hesaplanır.

ÖRNEK

Bir duvar ustası saatte \(3\)m2 duvar örebilirken bir çırak ise \(4\) saatte \(5\)m2 duvar örebimektedir. Bu usta ile iki çırağı ile birlikte \(550\)m2 lik bir duvarı günde \(10\) saat çalışarak kaç günde bitirirler?

ÇÖZÜM

Bu usta saatte \(3\)m2 duvar örüyorsa \(4\) saatte \(12\)m2 duvar örecektir. Ayrıca çıraklar da \(4\) saatte \(5\)m2 duvar örebildiğine göre \(2\) çırak \(4\) saatte \(10\)mduvar öreceğinden bu üç kişi \(4\) satte \(22\)m2 duvar öreceklerdir. Bu üç kişi   \(4\) satte \(22\)m2 duvar örüyorlarsa bir günde çalışacakları \(10\) saat içerisinde \(10.\cfrac{22}{4}=55\)m2 duvar öreceklerdir. Duvar \(550\)m2 olduğuna ve günde \(55\)m2 bitirildiğine göre bu iş \(\cfrac{550}{55}=10\) günde bitecektir.

Havuz Problemleri

Havuz problemleri işçi problemlerinin çözümü ile aynı mantık kullanılarak çözülebilmektedir.

Bir havuzu bir musluk \(x\) saatte dolduruyorsa  bu musluk bir saatte havuzun \(\cfrac{1}{x}\)'ini doldururken \(y\) saatte \(y.\cfrac{1}{x}\)'lik kısmını doldurur.

NOT: Eğer \(1.\) musluk  \(x\) ve \(2.\) musluk ise  \(y\) saatte bir havuzu doldurabiliyorsa bu havuzu bu iki musluğun doldurmasüresi \(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}=\cfrac{x.y}{x+y}\) şeklinde hesaplanır. \(3\) veya daha fazla musluk olursa {x,y,z,...} muslukların tek başlarına havuzu doldurma süreleri olmak koşulu ile \((\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}+...)^{-1}\) şeklinde hesaplanır.
NOT: \(1.\) ve \(2.\) musluklar sırasıyla bir havuzu \(x\) ve \(y\) saatte doldursun fakat \(3.\) musluk ise \(z\) saatte havuzdaki suyu boşaltsın. Eğer boş havuza giren su miktarı çıkan su miktarından fazla ise bu havuzun dolma süresi \((\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{z})^{-1}\) şeklinde hesaplanır. Bir önceki durumun tam tersine havuz dolu olsun ve bu sefer havuzdan çıkan suyun miktarı giren suyun miktarından fazla olsun o halde bu havuzda ki suyun bitme süresi  \((\cfrac{1}{z}-\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{x})^{-1}\) şeklinde hesaplanabilir.

ÖRNEK

X musluğu bir havuzu \(24\) saatte doldururken Y musluğu aynı havuzu \(30\) saatte doldurabilmektedir. Bu iki muslukla birlikte aynı havuzun alt kısmında bulunan Z musluğu ise bu havuz tamamen dolu olduğunda \(40\) saatte havuzdaki suyu tamamen boşaltmaktadır. O halde bu üç musluk aynı ayda açıldıktan kaç saat sonra havuzu doldurabilirler?

ÇÖZÜM

X ve Y musluklar sırasıyla bir havuzu \(24\) ve \(30\) saatte doldursun fakat Z musluğu ise \(40\) saatte havuzdaki suyu boşaltsın. Eğer boş havuza giren su miktarı çıkan su miktarından fazla ise bu havuzun dolma süresi \((\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{1}{z})^{-1}\) şeklinde hesaplanır demiştik. Buna göre bu havuz  \((\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{30}-\cfrac{1}{40})^{-1}=(\cfrac{7}{120})^{-1}=\cfrac{120}{7}\) saatte tamamen dolmuş olacaktır.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

29 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 16.07.2020 21:31
Son Güncelleme: 12.11.2020 09:40

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!