Şifre Sıfırlama

Çokgenler

ÇOKGEN ve TEMEL ELEMANLARI

TANIM: n\(\geq\)3, n\(\in\)N ve \(A_1\),\(A_2\),...\(A_n\) bir düzlemin üçü doğrusal olmayan n tane noktası olmak üzere bu noktaların birleştirilmesiyle oluşturulan kapalı şekle n-gen denir. \(A_1\),\(A_2\),...,\(A_n\) noktalarına çokgenin köşeleri denir ve ardışık gelen iki nokta arasındaki doğru parçalarına ise o çokgenin kenarları denir.

TANIM: Bir çokgende ardışık iki kenarın kesişmesiyle iki açı oluşmaktadır. Bunlardan çokgenin içerisinde kalan açıya iç açı denir ve iç açının komşu bütünler açısına ise dış açı denir.

NOT: Bir çokgenin tüm iç açıları 180º'den küçük ise bu çokgene konkav(dışbükey) denir. Eğer en az bir tane 180º'den büyük bir açı varsa o çokgene kanveks(içbükey) denir.

 

 Yukarıdaki EFGHIK altıgeni ile ABCD yamuğuna baktığımız da EFGHIK altıgenin dışbükey( dışbükey olmasının sebebi  FGH açısının 180º'den büyük olmasıdır) ABCD yamuğunun ise içbükey( içbükey olmasının sebebi ise tüm iç açıların 180º'den küçük olmasıdır.) olduğunu görürüz. 

NOT: n kenarlı bir çokgende çokgenin bir köşesinden çıkan köşegen sayısı (n-3)'tür ve bu köşegenler verilen çokgeni n-2 tane üçgensel bölgeye ayırır ve toplam köşegen sayısı n.(n-3)/2'dir. Ayrıca bu n kenarlı çokgenin iç açılarının toplamı (n-2).180º'dir.Dış açılar toplamı 360º ve bir dış açısının ölçüsü (eğer düzgün çokgense) 360/nº'dir.

 

ÖRNEK

 Bir dış açısının ölçüsü kenar sayısının 10 katı olan çokgenin bir iç açılarının toplamı, kenar sayısını, bir köşesinden çıkan köşegen sayısını, köşeğen sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM

 Çokgenin kenar sayısını bilmediğimiz için kenar sayısına n diyelim. O halde:

  • \(\cfrac{360}{n}\)=10n olur ve 360=\(10n^2\)'dir. Buradan \(n^2\)=36 ve n=6 veya n=-6 elde edilir. Kenar sayısı negatif bir değer alamayacağı için çokgenin kenar sayısı 6'dır.
  • Çokgenimizin 6 kenarı olduğu için iç açılar toplamı (n-2).180=(6-2).180=4.180=720º'dir.
  • Bir köşesinden çıkan köşegen sayısı n-3=6-3=3'tür.
  • Toplam köşegen sayısı ise n.(n-3)/2=6.(6-3)/2=6.3/2=9'dur. 

 DÜZGÜN ÇOKGENLER

TANIM: Tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm açı ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

DÜZGÜN ÇOKGENLERİN ÖZELLİKLER:

1)  n kenarlı bir çokgende tüm iç açılarının ölçüsü \((n-2).180/n\)'dir.

2) Aynı şekilde dış açılarıda eşittir ve bir dış açısının ölçüsü \(360/n\)'dir.

3)

 n sayısı tek ise herhangi bir köşeden çizdiğimiz açıortay açının karşısında bulunan kenarı ortalar ve bu kenara diktir. Ayrıca bu çizilen açıortay doğrusu çokgenin simetri doğrusudur.

4)

 n sayısı çif ise herhangi bir köşeden çizdiğimiz açı ortay doğrusu o açının karşısında bulunan açıyı iki eş parçaya böler. Ve bu tip çokgenlerin karşılıklı bulunan kenarları birbirine paraleldir. Ayrıca açıortay doğruları aynı zamanda çokgenin simetri doğruları da olmaktadırlar.

 ÖRNEK 

Bir iç açısının ölçüsü 13 dış açısının toplamından 12º fazla olan düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM

 Bu çokgenimizin bir dış açısına xº diyelim. O halde bu çokgenin bir iç açısının ölçüsü (180-x)º olur. Bu çokgen bir düzgün çokgen olduğu için tüm dış açılarının ölçüsü aynıdır. Burada ulaştığımız sonuçlar ve bize soruda verilen bilgile ile şu denklem oluşturulur ve denklemin çözümü bize bir dış açıyı verecektir

  • 180-x=13x+12
  • 180-12=13x+x
  • 168=14x
  • 12=x    bulunur ve bir dış açımızın ölçüsü 12º'dir. Bir düzgün çokgende 360/n bize bir dış açıyı vermekteydi. O halde 360/n=12 yazılır. 360/n=12 ise n=30'dur. Yani çokgenimizin kenar sayısı 30 bulunmuş oldu.

DÜZGÜN BEŞGEN

1)

Düzgün beşgende tüm köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Yani |AC|=|AD|=|AB|=|EC|=|BD|'dir.

2)

Düzgün beşgenlerde bir köşeden çizilen açıortay karşısında bulunan kenarı iki eş parçaya böler ve bu kenarı dik keser. Ayrıca köşelerden çıkan açıortaylar tek bir noktada kesişirler.

3)

Düzgün beşgende iç açıortayların kesim noktası ile köşe noktaları birleştirildiğinde beşgen 5 eşit ikizkenar üçgene ayrılır. 

 

DÜZGÜN ALTIGEN

1) 

Düzgün altıgenlerde karşılıklı bulunan kenarlar birbirine paraleldir.Yani [AB] // [ED] ,[BC] // [FE] ve

[AF] // [CD]'dir.

2) 

Düzgün altıgenler iki farklı uzunluğa sahip köşegenlere sahiptir. Yukarıda çizilen köşegenler ve |ED| kenarına dikkat edilirse oluşturulmuş olan üçgenin 30-60-90 üçgeni olduğu görülmektedir. Bu oluşan üçgene dayanarak |ED| kenarının uzunluğuna "\(k\)" diyecek olursak  |EB| =\(2k\) ve |DB|=\(k \sqrt{3} \) olur.

3) 

Bir düzgün altıgende çevrel çemberin çapı olabilecek köşegenlerden \(3\) tane vardır. Bu köşegenler çizildiği zaman altıgeni \(6\) adet eşkenar üçgene ayırır. Altıgenin bir kenarına "\(k\)" diyecek olursak altıgenin çevresi Ç(ABCDEF)=\(6k\) ,altıgenin alanı ise A(ABCDEFG)=\(6.\cfrac{k^2\sqrt3}{4}\)'tür.

DÜZGÜN ÇOKGENLERDE ALAN BAĞINTISI

n kenarlı bir düzgün çokgende ağırlık merkezi ,içteğet çemberinin merkezi ve çevrel çemberinin merkezi aynı noktadadır. Ve bu çokgenlerin alanlarını veren genel formül şöyledir:

A(ABC...)=\(n.(\cfrac{1}{2}.k.r)=\cfrac{n.k.r}{2}\) yada A(ABC...)=\(n.(\cfrac{1}{2}.R.R.sina)\)'dır.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

38 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 03.06.2020 18:15
Son Güncelleme: 31.07.2020 21:50

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!