Şifre Sıfırlama

Çemberin Analitik İncelenmesi

TANIM: Analitik düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir. Şeçmiş olduğumuz sabit nokta ise çemberin merkezi ismini alır.

Yukarıdaki şekilde sabit noktamız \(M(b,a)\) noktası ve bu noktaya \(r\) birim uzaklıktaki noktalar kümesinde bulunan bir nokta ise \(P(x,y)\) olsun. Burada \(r\) dediğimiz mesafe çemberimizin yarıçapıdır ve farkedileceği gibi bu mesafe \(M(b,a)\) ve \(P(x,y)\) noktaları arasındaki mesafedir. O zaman bu çemberin yarıçapı \(r=\sqrt{(x-b)^+(y-a)^2}\)'dir. Ek olarak çemberin çapı uzunluğu yarıçapın uzunluğunun iki katıdır ve R harfi ile gösterilir. Şekle bakacak olursak AB doğru parçası çemberin çapıdır. Buna göre \(R=2.\sqrt{(x-b)^+(y-a)^2}\)'dir. Burada ki yarıçap olatak verdiğimiz eşitliğin her iki tarafının da karesi alınacak olursa \(r^2=(x-b)^2+(y-a)^2\) elde edilir ve bu eşitliğe de çemberin standart denklemi denir.

ÖRNEK

Analitik düzlemde yarıçapı \(3\) birim ve merkez noktası \(M(3,4)\) olan çemberin standart denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

Merkezi \(M(b,a)\) ve yarıçapı \(r\) olan çemberin standart denklemi \(r^2=(x-b)^2+(y-a)^2\) şeklinde yazılıyordu. O halde bizden istenen çemberin denklemi \(3^2=(x-3)^2+(y-4)^2\)\((x-3)^2+(y-4)^2=9\)'dur.

Merkezi X Ekseni Üzerinde Olan Çemberin Denklemi

Yukarıdaki şekilde olduğu gibi çemberin merkezi \(x\) ekseni üzerinde ve yarıçapı \(r\) olan bir çember olsun. Bu çemberin standart denklemini bulmak için genel olarak kullanmış olduğumuz çember denklemini kullanmak yeterli olacaktır. O halde merkezi \(x\) ekseninde bulunan bir nokta ise bu noktanın \(y\) değeri \(0\) olacaktır. Buna göre  merkezi \(x\) ekseninde bulunan çemberin denklemi \(r^2=(x-a)^2+(y-0)^2=(x-a)^2+y^2\) şeklinde bulunur.

Merkezi Y Ekseni Üzerinde Olan Çemberin Denklemi

Yukarıdaki şekilde olduğu gibi çemberin merkezi \(y\) ekseni üzerinde ve yarıçapı \(r\) olan bir çember olsun. Bu çemberin standart denklemini bulmak için merkezi \(x \) ekseni üzerinde bulunan çemberin denkleminde yaptığımıza benzer şeyler yapacağız. Yani genel olarak kullanmış olduğumuz çember denklemini kullanmak yeterli olacaktır. O halde merkezi \(y\) ekseninde bulunan bir nokta ise bu noktanın \(x\) değeri \(0\) olacaktır. Buna göre  merkezi \(y\) ekseninde bulunan çemberin denklemi \(r^2=(x-0)^2+(y-b)^2=x^2+(y-b)^2\) şeklinde bulunur.

Merkezi Orijin Üzerinde Olan Çemberin Denklemi

Yukarıdaki çemberin merkezi orijinde olduğu için merkezi \(M(0,0)\) noktasıdır. Çemberin standart denklemini bulmak için merkezi \(x\) ya da \(y\) ekseni üzerindeki çemberlerin standart denklemlerini bulmak için kullanmış olduğumuz mantığı kullanacağız. Merkez orijinde ise formülde yazacağımız \(a\) ve \(b\) değerleri \(0\)'a eşittir. O halde merkezi orijinde olan ve yarıçapı \(r\) olan çemberin denklemi \((x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2=r^2\)'dir.

X Eksenine Teğet Olan Çemberin Denklemi

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi \(x\) eksenine teğet olan bir çemberin yarıçapı merkez noktasının ordinatının mutlak değerine eşittir. O halde bu tip çemberlerin standart denklemi \(r=b\) olduğu için \((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\) şeklinde yazılabilir. Normal çember denkleminden farkı; bu tip çemberlerde yarıçap uzunluğu merkezin \(x\) eksenine olan mesafeye eşit olduğu için denklemde bulunan yarıçap ifadesi olan \(r\) yerine merkez noktasının ordinatı olan \(b\) değerini yazmış olmamızdır. 

Y Eksenine Teğet Olan Çemberin Denklemi

Burada da \(x\) eksenine teğet olan çemberin denklemi için yaptığımız işlemlere benzer işlemler yapacağız. Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi \(y\) eksenine teğet olan bir çemberin yarıçapı merkez noktasının apsisinin mutlak değerine eşittir. O halde bu tip çemberlerin standart denklemi \(r=a\) olduğundan \((x-a)^2+(y-b)^2=a^2\) şeklinde yazılabilir.

Her İki Eksene de Teğet Olan Çemberin Denklemi

Merkezi \(M(b,a)\) ve yarıçap uzunluğu \(r\) birim olan çember her iki eksene de teğet ise çemberin yarıçap uzunluğu \(r=|b|=|a|\) olur. 

Bu çemberin standart denklemi çemberin bulunduğu bölgeye göre değişir. Çemberin denklemi:

  • Çember \(1.\) bölgede ise çemberin merkezi \(M(r,r)\) olduğundan çemberin denklemi \((x-r)^2+(y-2)^2=r^2\)
  • Çember \(2.\) bölgede ise çemberin merkezi \(A(-r,r)\) olduğundan çemberin denklemi \((x+r)^2+(y-2)^2=r^2\)
  • Çember \(3.\) bölgede ise çemberin merkezi \(C(-r,-r)\) olduğundan çemberin denklemi \((x+r)^2+(y+2)^2=r^2\)
  • Çember \(4.\) bölgede ise çemberin merkezi \(D(r,-r)\) olduğundan çemberin denklemi \((x-r)^2+(y+2)^2=r^2\) şeklinde olacaktır.
NOT: Analitik düzlemde eksenlere teğet olan çemberlerin merkezleri \(y=x\) ya da \(y=-x\) doğrularından birinin üzerinde olmak zorundadır.

ÖRNEK 

Analitik düzlemde eksenlere teğet ve merkezi  \(2x+5y-28=0\) doğrusu üzerinde bulunan \(1.\) bölgedeki çemberin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

Yukarıda bulunan not içerisinde eksenlere teğet olan çemberlerin merkezinin \(y=x\) ve \(y=-x\) doğrularından birisinin üzerinde olması gerektiğini söylemiştik. Bu çember \(1.\) bölgede bulunduğu için bu merkez \(y=x\) doğrusu üzerinde bulunmak zorundadır. Ayrıca soruda bu merkezin \(2x+5y-28=0\) doğrusu üzerinde de bulunduğunu söylediğinden dolayı bu merkezin kordinatları bu iki doğrunun çözüm kümesidir. \(y=x\) ise \(2x+5y-28=2x+5x-28=7x-28=0\)'dır ve \(x=4\) olur. Bu çember eksenlere teğet ve \(1.\) bölgede olduğundan merkez noktasının apsis ve ordinatı eşit değerlere sahiptir ve bu değer yarıçapa eşittir. O halde çemberimizin denklemi \((x-4)^2+(y-4)^2=16\) olur.

Çemberin Genel Denklemi

Merkezi \(M(a,b)\) olan çemberin standart denklemini açacak olursak:

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

\(x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\)

\(x^2+y^2-2ax-2by+b^2+a^2-r^2=0\)'dir. Burada \(-2a=D\) , \(-2b=E\) ve \(a^2+b^2-r^2=F\) diyecek olursak;

\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) elde edilir ve buna çemberin genel denklemi denir.

NOT: Eğer bize soruda çemberin \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) şeklinde genel denklemi verilip merkezi istenecek olursa bu çemberin merkezi \(M(\cfrac{-D}{2},\cfrac{-E}{2})\)'dir.
NOT: \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) şeklinde genel denklemi verilen çemberin yarıçapı \(r=\cfrac{1}{2}.\sqrt{D^2+E^2-4F}\) 'e eşittir. \(D^2+E^2-4F\) ifadesine  çember denkleminin diskriminantı denir.

Bir çember denkleminin diskriminant değeri bize şunlar söyler:

  • \(D^2+E^2-4F>0\) ise verilem denklem merkezi \(M(\cfrac{-D}{2},\cfrac{-E}{2})\) ve yarıçapı \(r=\cfrac{1}{2}.\sqrt{D^2+E^2-4F}\) olan bir çember olduğunu söyler.
  • \(D^2+E^2-4F=0\) ise denklem bir nokta belirtir ve bu nokta \(M(\cfrac{-D}{2},\cfrac{-E}{2})\)'dir.
  • \(D^2+E^2-4F<0\) ise denklem ne bir çember nede bir nokta belirtir.
BİLGİ: \(Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0\) denkleminin bir çember belirtebilmesi için \(A\) ve \(B\)'nin eşit olması gerekir. Ayrıca bu eşitlik sağlandıktan sonra çemberin merkezi \(M(\cfrac{-D}{2A},\cfrac{-E}{2B})\) olur.

ÖRNEK

\(2x^2+(6-2k)y^2+6x+4y+1=0\) denklemi bir çember belirtiyor ise \(k\) değerini, çemberin merkezini ve yarıçapını ayrıca diskriminantını bulunuz.

ÇÖZÜM

1) \(2x^2+(6-2k)y^2+6x+4y+1=0\) denkleminin bir çember belirtebilmesi için \(x^2\)'li ve \(y^2\)'li terimlerin katsayıları eşit olmak zorundadır. O halde \(2=6-2k\)'dan \(k=2\) bulunur.

2) O halde çemberin genel denklemi \(2x^2+2y^2+6x+4y+1=0\) olur. Bu denklem \(Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0\) şeklinde bir denklem olduğu için merkezi \(M(\cfrac{-6}{4},\cfrac{-4}{4})\) bulunur.

3) Bu çemberin yarıçapı ise \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) şeklindeki denklemlerde \(r=\cfrac{1}{2}.\sqrt{D^2+E^2-4F}\) ifadesiyle bulunurdu. Bu yüzden deklemimizi bu hale getirmemiz gerekir. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ikiye bölmemiz gerekecek. O halde \(x^2+y^2+3x+2y+\cfrac{1}{2}=0\) olur. Şimdi \(r=\cfrac{1}{2}.\sqrt{D^2+E^2-4F}\) formülünü uygulayacak olursak \(r=\cfrac{1}{2}.\sqrt{3^2+2^2-4\cfrac{1}{2}}=\cfrac{\sqrt{11}}{2}\) bulunur.

4)  \(x^2+y^2+3x+2y+\cfrac{1}{2}=0\) denkleminin diskriminantı asıl denklemimizin diskriminantına eşit olacaktır. O halde \(D^2+E^2-4F=3^2+2^2-4.\cfrac{1}{2}=11\) olur. 

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

13 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 25.07.2020 20:50
Son Güncelleme: 26.07.2020 21:11

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!