Şifre Sıfırlama

Bölünebilme Kuralları

TANIM: Bölme bir büyüklüğün başka bir büyüklük içerisinde kaç defa olduğunu görme işlemidir.

2 İle Bölünebilme

Herhangi bir tamsayının birler basamağındaki rakam çift ise yani {\(0,2,4,6,8\)} rakamlarından birini içeriyorsa o sayı \(2\) ile tam bölünebiliyordur denir. 

ÖRNEK

 \(28\) sayısının birler basamağındaki sayı çift olduğu için \(2\) ile tam bölünmektedir.

3 İle Bölünebilme

Bir tamsayının \(3\) ile bölünebilmesi için o sayının rakamları toplamının da \(3\)' e tam bölünmesi gerekir. Eğer ki bu sayı \(3\)'e tam bölünmüyorsa rakamlarının toplamının \(3\)'e bölünmesinden elde edilen kalan sayımızın \(3\)'e bölümünden kalanı verir.

ÖRNEK

 Aşağıdaki sayılardan hangileri \(3\) ile tam bölünebilmektedir? Bölünemiyorsa kalan kaçtır?

A) \(75 \)    B) \(185\)   C)\(25847\)   D)\(3156\)

ÇÖZÜM

 A) \(75\) sayısının rakamları toplamı \(7+5=12\) 'dir ve \(12\) sayısı \(3\)'e tam bölündüğünden \(75\) sayısı \(3\)'e tam bölünmektedir.

B) \(185 \) sayısının rakamları toplamı \(1+8+5=14\)'tür ve \(14\) sayısı \(3\)'e tam bölünez .Bundan dolayı \(185\) sayısı da \(3\)'e tam bölünmez ve \(185\) sayısının \(3\) ile bölümünden kalan \(14\)'ün \(3\)'e bölümünden kalan \(2\) sayısına eşittir.

C) \(25847\) sayısının rakamları toplamı \(2+5+8+4+7=26\)'dır ve \(26\) sayısı \(3\) ile tam bölünmez.Bundan dolayı \(25847\) sayısı da \(3\) ile tam bölünemeyip \(26\) sayısının \(3\) ile bölümünden kalan \(2\) bize \(25847\) sayısının \(3\) ile bölümünde ki kalanı verir.

D) \(3156 \) sayısının rakamlar toplamı \(3+1+5+6=15\)'tir ve \(15\) sayısı \(3\) ile tam bölündüğünden dolayı \(3156\) sayısı da \(3\)'e tam bölünür.

4 İle Bölünebilme

Bir sayının \(4\)'e bölünebilmesi için son iki basamağındaki sayının \(4\) ile bölünmesi gerekir. Son iki basamaktaki sayının \(4\) ile bölümünden kalan bize o sayının \(4\) ile bölümünden kalanı verir.

ÖRNEK

\(125452\) sayısının \(4\) ile tam bölünmesi için \(52\) sayısının \(4\)'e tam bölünmesi gerekir ki \(52\) sayısı da \(4\)'e tam bölünen bir sayı olduğu için \(125452\) sayısı \(4\)'e tam bölünmektedir.

Bir sayının \(4\)'e tam bölünmesine bakarken şundan dolayı son iki basamağa bakılır: 
Eğer ki \(2\) basamaktan daha çok basamağa sahip olan bir sayı ile uğraşıyorsak yüzler basamağındaki ve daha büyük basamaklardaki sayıların basamak değeri \(100\)'ün katı olacağından buradaki sayılar zaten \(4\)'e tam bölünecektir. Bundan dolayı yüzler basamağı ve daha büyük basamaklardaki sayılara bakmaya gerek yoktur. Örneğin \(ABC\) üç basamaklı sayısına göz atalım. \(ABC\) sayısını \(100A +10B+ C \) şeklinde yazabiliriz. Buradan \(100A /4=25A\) olduğu ve \(25A\)'nın bir tam sayı olduğu görülür. Fakat \(10B\) ve \(C\) sayıları için aynı şeyi söyleyemiyoruz. 

 

5 İle Bölünebilme

Bir sayının \(5\) ile tam bölünebilmesi için o sayının birler basamağındaki sayının '\(0\)' veya '\(5\)' rakamlarından birisi olması gerekir.Birler basamağındaki sayının \(5\) ile bölümünden kalan o sayının \(5\) ile bölümünden kalanı verir.

 

6 İle Bölünebilme

Eğer ki bir tam sayı hem '\(2\)' ye hem de '\(3\)' e tam bölünüyorsa o sayının \(6\) ile de bölündüğünü görülebilir. Yani bir sayının \(6\) ile tam bölünüp bölünemediğini anlamak için '\(2\)' ve '\(3\)' rakamları ile bölünebilirliğini kontrol etmemiz gerekir.

ÖRNEK

 \(186\) sayısının \(6\) ile bölünebilmesi için '\(2\)' ve '\(3\)' sayıların ikisine de bölünmesi gerekir. \(186\) çift sayı olduğu için '\(2\)' ile tam bölünür, \(186\) sayısının rakamları toplamı \(1+8+6=15\)'dir. \(15/3=5\) olduğundan \(186\) sayısı \(3\) ile de tam bölünür.Buradan \(186\) sayısının \(6\) ile bölünebildiği anlaşılır.

 

NOT: \(6\) ile bölünebilme kuralından şu da anlaşılır ; eğer ki bir bölme işleminde bölen sayı başka sayılara bölünebiliyorsa o sayılar da bölünen sayıyı böler. Yani bizim öğrenmiş olduğumuz ve öğrenecek olacağımız bölünebilme kurallarından başka bölünebilme kuralları da çıkarabiliriz. Misal bir sayının \(12\) ile bölünebilmesini incelemek istiyoruz eğer o sayı \(12\)'ye bölünebiliyor ise '\(4\)' ve '\(3\)' e de tam bölünüyordur. Buradan anlaşılır ki bir sayının \(12\) ile bölünebilirliğini incelemek için '\(4\)' ve '\(3\)' e bölünüp bölünmediğine bakılabilir.

 

7 İle Bölünebilme

\(7\) ile bölünme kuralı kısaca şudur: Bir sayının birler basamağından itibaren {\(1,3,2,-1,-3,-2\)} sayıları ile sıra ile çarpma işlemi yapılır ve bulunan sayılar toplanır. Eğer ki bu sayı '\(7\)' nin katı ise bize verilen sayı '\(7\)' ye tam  bölünüyor demektir.

ÖRNEK

\( 3264387\) sayısının \(7\) ile bölünebilirliğini inceleyelim.

Kuralımızı uygulayacak olursak \(7×(1)+8×(3)+3×(2)+4×(-1)+6×(-3)+2×(-2)+3×(1)=14\) bulunur ve \(14/7=2 \)olduğundan \(14\) sayısı \(7\) ye tam bölünebilmektedir. Bu ise bize \(3264387 \) sayısının \(7\) ile tam bölünebildiğini gösterir.

 

8 İle Bölünebilme

Bir tam sayının \(8\) ile tam bölünebilmesi için o sayının son üç basamağının \(8\) e bölünüp bölünmediğine bakmamız yeter. Sayının son üç basamağının \(8\) ile bölümünden kalan bize o sayının \(8\) ile bölümünden kalanı verir.

ÖRNEK

\( 76576\) sayısının \(8\) ile bölünüp bölünmediğini öğrenmek için son \(3\) basamağı olan \(576\) sayısına bakmamız yetecektir. \(576/8=72\)' dir. Yani \(576\) sayısı \(8\) ile tam bölündüğü için \(76576\) sayısı da \(8\) ile tam bölünebilmektedir

 

9 İle Bölünebilme

Bir tam sayının rakamlarının toplamının \(9\)'a tam bölünebilmesi o sayının \(9\)'a bölünmesi anlamına gelmektedir. Yani bir sayını \(9\)'a bölünebilirliği kontrol edilirken o sayının rakamlarının toplamının \(9\)'a bölümüne bakmak yeterli olacaktır. Sayının rakamları toplamının \(9\) ile bölümünden kalan bize o sayının \(9\) ile bölünmesinden elde edilecek kalanı verecektir. 

ÖRNEK

\( 855\) sayısını ele alalım. \(855\) sayısının rakamları toplamı \(8+5+5=18\)' dir. \(18/9=2\) olduğundan \(18\) sayısı \(9\)'a tam bölünebilmekte ve bu yüzden \(855\) sayısı da \(9\) ile tam bölünebilmektedir.

.

10 İle Bölünebilme

Birler basamağında '\(0\)' rakamı olan sayılar \(10\)'a tam bölünür. Birler basamağında bulunan  rakam ise o sayının \(10\) ile bölümünden kalanı verir.

ÖRNEK

\(128\) sayısına baktığımız zaman birler basamağındaki sayı '\(0\)' dan farklı olduğu için '\(10\)' ile tam bölünmez ve birler basamağında '\(8\)' bulunduğundan \(128\)' in \(10\) ile bölümünden kalan \(8\)'dir.

 

11 İle Bölünebilme

Bir sayının \(11\) ile bölümünden kalanı bulmak için o sayının birler basamağından başlanıp sırasıyla '\(+1\)' ve '\(-1\)' sayıları ile çarpılıp bulunan sayılar toplanır ve bu bulunan sayının \(11\)'e bölümünden kalan bize o sayının \(11\) ile bölümünden kalanı verir.Eğer ki kalanımız \(0\) ise bu sayı \(11\) ile tam bölünmektedir.

ÖRNEK

\( 52679\) sayısının \(11\) ile bölünebilirliğini inceleyelim. \(11\) ile bölünebilme kuralı uygulayacak olursak \((+1).9+(-1).7+(+1).6+(-1).2+(+1).5=11\) elde edilir ve \(11/11=1\) olduğundan \(52679 \) sayısı \(11\) ile tam bölünebilmektedir.

Bir Sayının Asal Çarpanları ve Tam Sayı Bölenleri

x,y\(\in\)R ve y\(\neq\)0 olmak koşulu ile x=k.y koşulunu sağlayan bir k doğal sayısı varsa y sayısı x in bir çarpanıdır ve y böler x i denir. Gösterimi y|x biçimindedir.

ASAL SAYI: Kendisi ve 1 den başka böleni olmayan sayılara asal sayı denir ve en küçük asal sayı 2 dir. Ayrıca 1 tane çift asal sayı vardır o da 2 dir.
ARALARINDA ASALLIK: En az iki sayı olacak şekilde; bu sayıların \(1\) den başka böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.Örneğin \(8\) ve \(9\) sayısının \(1\) den başka böleni olmadığı için \(8\) ve \(9\) aralarında asaldır.Görüldüğü gibi \(8\) asal sayı değildir. Buradan şu sonuca varabiliriz iki sayının aralarında asal olması için bu sayıların asal olmasına gerek yoktur.
NOT: Her ardışık iki sayının \(1\) den başka böleni olmadığı için bu tip sayılar kesinlikle aralarında asal sayılardır.

A bir tam sayı x,y,z de birbirinden farklı asal sayılar ve a,b,c doğal sayılar olmak üzere A tam sayısının  A= \(x^a\).\(y^b\).\(z^c\) şeklinde ifade edilmesine asal çarpanların çarpımı ile gösterimi denir.

Bir tam sayının pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için şu adımlar izlenir:

1) Sayımız asal çarpanların çarpımı şeklinde yazılır.

2) Asal sayıların kuvvetlerinin birer fazlası alınır.

3) Ve bu bulunan sayılar çarpılır. 

NOT: Yukarıda bulunan sayı aynı zaman da bize negatif tam sayı bölenlerini de vermektedir. Negatif tam sayı bölenleri ile pozitif tam sayı bölenlerinin sayılarının toplamı bize tam sayı bölenlerinin sayısını verecektir.

 

ÖRNEK

 A bir tam sayı; x,y,z asal sayı; a,b,c doğal sayı ve A=\(x^a\).\(y^b\).\(z^c\) olmak üzere A sayısının pozitif bölenlerinin sayısını, negatif bölenlerinin sayısını ve tam bölenlerinin sayısını veren ifadeler nelerdir?

ÇÖZÜM

 A sayısının pozitif tam sayı bölenlerini bulmak için asal sayıların kuvvetleri olan a,b,c sayılarının birer fazlasını alıp birbirleriyle çarpacağız.Pozitif bölenler sayısı\(:(a+1).(b+1).(c+1)\)' dir. Bu sayı aynı zamanda bize negatif tamsayı bölenlerinin sayısını da verecektir. Pozitif bölenler ve negatif bölenlerin sayısının toplamı da bize tamsayı bölenleri toplamını verecektir.

 

ÖRNEK

\(100\) sayısını asal çarpanlarına ayırıp pozitif bölenlerinin sayısını ,negatif bölenlerinin sayısını ve tamsayı bölenlerinin sayısını bulunuz.

ÇÖZÜM

\(100\) sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \(100\)=\(2^2\).\(5^2\) bulunur. Buradan anlaşılır ki \(100\) sayısının asal bölenleri \(2\) ve \(5\) tir. Pozitif bölenlerinin sayısı \((2+1).(2+1)=9 \)bulunur ve bilindiği üzere bu negatif tam bölenlerinin sayısını da vermektedir. Tam sayı bölenlerinin sayısısı ise \(9+9=18\)' dir.

Tam Sayılarda Ebob ve Ekok

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

\(1\)'den daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen sayılara ortak bölenler denilir.Örneğin \(27\) ve \(45\) sayıları ele alındığında

\(27\) nin pozitif tamsayı bölenleri  \(27→1,3,9,27\)

\(45\) in pozitif tamsayı bölenleri  \(45→ 1,3,5,9,15,45\)

\(27\) ve \(45\) sayılarının ortak bölenleri \(1,3,9\) dur. Buradan \(27\) ve \(45\)'in ortak bölenleri arasındaki sayıların en büyüğü olarak \(9\) görülmektedir. 

Birden fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni(EBOB) yada ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB)'i denir.

\(27\) ve \(45\)'i ortak bölen asal sayıların çarpımı bize bu iki sayının EBOB'unu verir.\( EBOB(27,45)=3.3=9 \) olur.

NOT: Sayıların EBOB 'u bulunurken sayılar asal çarpanlar şeklinde yazılır ve ortak olan asal çarpanlardan kuvveti (üssü) küçük olan sayıların çarpımı bize EBOB' u verir. 

ÖRNEK

 A=\(2^3\).\(3^4\).\(5^2\)   B=\(2^3\).\(3^2\).\(5.11\)  ortak bölenlerinin en büyüğünü bulunuz.

ÇÖZÜM

 İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğünü bulurken en küçük dereceli sayıların çarpılır. EBOB(A,B)=\(2^3\).\(3^2\).\(5\)=\(360\) bulunur. 

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

a ve b pozitif tam sayılar olsun. a ve b sayılarının ikisine de tam bölünebilen doğal sayılar vardır. Bu doğal sayılar arasındaki en küçük sayıya a ve b sayısının EKOK (ya da ortak katların en küçüğü=OKEK) u denir.(Bu durum 3,4,5... tane sayılar için de yapılabilir yapılacak işlemlerde bir şey değişmeyecektir)

NOT: Aralarında asal iki sayının EKOK u bu iki sayının çarpımına eşittir.

Bir sayı topluluğunun EKOK değeri o sayıların birlikte çarpanlarına ayrılarak bulunan bölen değerlerini çarparak bulunabilir.

ÖRNEK

\(14\) ve \(16\) sayısının EKOK' unu bulunuz.

ÇÖZÜM

\(14\) ve \(16\) sayıları çarpanlarına ayrılır.

buradan sonra \(14\) ve \(16\) nın EKOK unu bulmak için yapmamız gereken tek şey sağdaki sayıları çarpmak olacaktır.\(EKOK(14,16)=2.2.2.2.7=112\) dir.

NOT: Sayıların EKOK değeri bulurken şu da yapılabilir: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal sayılardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan sayılar üssü ile birlikte çarpılır. Elde edilen sayı üzerinde çalıştığımız sayıların EKOK unu verecektir.

ÖRNEK

 A=\(2^3.3^5.5^1\), B=\(2^2.3^3.7^2.11\) , C=\(2^4.3^2.5^3.7\)    sayılarının EKOK u kaçtır?

ÇÖZÜM

Yapmamız gereken işlem önce derecesi büyük olan asal çarpanları belirlemektir.Bu çarpanlar A sayısından \(3^5\), B sayısından \(11\) ve \(7^2\) ve C sayısından \(5^3\) ,\(2^4\) sayıları olduğu görülmektedir.Şimdi yapacağımız şey ise bu sayıları çarpmaktır. Buradan EKOK(A,B,C)=\(2^4.3^5.5^3.7^2.11\) bulunur.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

41 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 27.05.2020 12:05
Son Güncelleme: 10.11.2020 13:33

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!