Şifre Sıfırlama

Birinci Dereceden Denklemler Ve Eşitsizlikler

Gerçek Sayılarda Aralık Kavramları 

a,b\(\in\)R ve b>a olmak üzere

Kapalı Aralık

a ve b sayılarıda dahil olmak üzere a ve b arasındaki tüm sayıları kapsayan kümeye kapalı aralık denir. Gösterimi  [a,b] şeklindedir. 

[a,b]={x|a\(\leq\)x\(\leq\)b, x\(\in\)R}           

 Açık Aralık

a ve b sayıları dahil olmamak üzere a ve b arasındaki tüm sayıları kapsayan kümeye açık aralık denir. Gösterimi (a,b) şeklindedir.

(a,b)= {x|b>x>a,x\(\in\)R}     

Yarı Açık(Yarı Kapalı) Aralık:

a veya b' den birisi dahil olacak şekilde a ve b arsaındaki tüm sayıları kapsayan kümeye yarı açık küme denir.

 (a,b]={x|b\(\geq\)x>a,x\(\in\)R}         

4) Üstten Sınırsız Aralık:

a reel sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere a dan büyük tüm reel sayıları kapsayan kümeye üstten sınırsız aralık denir.  (a,\(\infty\)) üstten sınırsız aralığa örnektir. a reel sayısı bu aralığa dahil edilebilir. Bu aralık türü karşımıza alttan sınırlı aralık olarak ta gelebilir.

5) Alttan Sınırsız Aralık:

a reel sayılar kümesinin bir elemanı olmak üzere a dan küçük tüm reel sayıları kapsayan kümeye alttan sınırsız aralık denir. (-\(\infty\),a) açık aralığı alttan sınırsız aralığa örnektir. Üstten sınırsız aralıkta olduğu gibi burada da a reel sayısı bu aralığa dahil edilebilir. Bu aralık türü karşımıza üstten sınırlı aralık olarak gelebilir.

 

 

Birinci Dereceden Denklemler ve Eşitsizliklerin  Çözümü

 

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü

a ve b gerçel sayıar ve a '\(0\)'  dan farklı olmak üzere  \(ax+b=0\) şeklinde ifade edilebilen ifadelere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir ve bu denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü denir. Ayrıca denklemi sağlayan x değeri ile oluşturulan kümeye çözüm kümesi denir.

Bu kök gerekli cebirsel işlemler (toplama,çıkarma,çarpma ve bölme işlemleri) yapılarak bilinmeyenimiz olan x'i eşitliğin sağ veya sol tarafında yalnız bırakarak bulunur 

 

ÖRNEK:       

\(3x-5=0\)  denklemi 1. dereceden 1 bilinmeyenli bir denklemdir. Denklemi sağlayan x değeri şöyle bulunur:

ÇÖZÜM:

\(3x-5+(5)=0+(5)\)     (eşitliğin her iki tarafına 5 ekledik)

\( {3x \ \over 3}\)=\( {5\ \over 3}\)                           (eşitliğin her iki tarafını 3 e böldük)

\(x\)=\( {5\ \over 3}\)                                 (istediğimiz şey X'in yalnız kalmasıydı ve böylece istediğimiz şeye ulaşmış olduk.)

NOT: Eğer ki yukarıdaki denklemde olduğu gibi X'i yalnız bırakmaya çalışırken sonuç olarak 0=0 eşitliğine ulaşırsak denklemin çözüm kümesi reel sayılardır ,0=R-{0} sonucuna ulaşırsak çözüm kümesi boş kümedir.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli  Denklemler 

a,b,c\(\in\)R ve sıfırdan farklı a,b sayıları için \(ax+by+c=0\) şeklindeki ifadelere \(1.\) dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. Denklemimizde iki tane bilinmeyen olduğundan dolayı denklemin kökleri (x,y) sıralı ikililerinden oluşacaktır.Bu sıralı ikililer sonsuz sayıda olacaktır ve bu sıralı ikililerin analitik düzlemdeki görüntüsü ise bir doğru belirtecektir.

ÖRNEK

\(5x+4y-20=0\) denkleminin sağlayan (x,y) sıralı ikililerini analitik düzlemde grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM

Denklemimizi sağlayacak noktaların analitik düzlemde bir doğru oluşturduğunu biliyorduk. Bu doğru üzerinde belirleyeceğimiz iki nokta bu doğruyu çizmemizde büyük kolaylık sağlayacaktır. Çünkü bilindiği üzere iki noktadan yalnız bir doğru geçer. Ve işi bira daha kolaylaştırmak adına bu doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.

\(x=0\) için \(y=5\) ve \(y=0\) için \(x=4\)'tür. Yani \(5x+4y-20=0\) doğrusu \((0,5)\) ve \((4,0)\) noktalarından geçer. Bu iki nokta birleştirilip uzatıldığında yukarıdaki doğruyu elde ederiz.

Basit Eşitsizlikler

a,b\(\in\)R olmak üzere ab, a\(\leq\)b, a\(\geq\)b şeklindeki ifadeler basit eşitsizlikler olarak adlandırılır. Bu basit eşitsizliklerle ilgili bazı durumlar şunlardır:

1) Bir eşitsizliğin her iki tarafına bir sayının eklenilmesi veya çıkarılması o eşitsizlikte bir şey değiştirmez.

2) Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa veya bölünürse eşitlik bozulmaz fakat neğatif bir sayı ile çarpılır veya bölünür ise eşitlik yön değiştirir.

3) a < b ve b > c ise a'da c'den küçüktür. 

4) Verilen birkaç eşitsizliğin eşitsizlik yönleri aynı ise bu eşitsilikler taraf tarafa toplanabilir. Örneğin \(15>8\) ve \(6>3\) ise \(15+6>8+3\)  yani \(21>11\) olur.(Bu işlemin çarpma çıkarma ve bölme işlemlerinde yapılması eşitsizlikte yön değiştirmeye sebep olabilir.)

5) a ve b sayılarının işaretleri aynı olduğunda her iki tarafın çarpma işlemine göre tersi alındığında eşitsilik yön değiştirir. Örneğin a, b pozitif sayılar ve a>b'dir. O halde \(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\) olur.

6)  Negatif tamsayılar arasındaki eşitsizlikte bu sayıların çift kuvvetleri alındığında eşitsizlik yön değiştirirken tek kuvvetleri alındığında ise eşitsizlik yön değiştirmez. Pozitif sayılardaki eşitsiliklerde ise doğal sayı kuvvetlerinde eşitsizlik yön değiştirmez.

7)  (0,1) aralığında bir sayının doğalsayı kuvvetleri sayının kendisinden küçüktür. Yani a\(\in\)(0,1) ve n\(\in\)N ise   \(a\)>\(a^3\)'tür.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

m sıfırdan farklı ve m,n sayıları reel sayılar kümesinin elemanı (a,b\(\in\)R ve a,b\(\neq\)0) olmak üzere \(mx+n<0, mx+n>0, mx+n\leq0, mx+n\geq0\) şeklindeki ifadelere Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler denir. Yukarıdaki eşitsizliklerde değişken \(x\) olduğu için bu ifadeler \(x \) değişkenine bağlıdır denir. Bu denklemleri sağlayan \(x\) değerleri eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturur ve bu kümeye Eşitsizliğin Çözüm Kümesi denir.

ÖRNEK:

\(8x-(3-4x)<10-(4x+2)\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulup sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.

ÇÖZÜM:

\(8x-3+4x<10-4x-2\) (parantez içinde verilen ifadeleri uygun şekilde parantez dışına çıkardık.)

\(12x-3<-4x+8\) (parantez içindeki ifadeler dışarı çıkarıldıktan sonra aynı derecedeki ifadeler toplandı.)

\(12x-3+(4x+3)<-4x+8+(4x+3)\) (burada ise eşitliğin her iki tarafına \(4x+3\) eklendi)

\(16x<11\)  (tekrar parantez içindeki ifadeler parantez dışına çıkarılıp aynı dereceli ifadeler toplandı)

\(\cfrac{16x}{16}<\cfrac{11}{16} \) ise \(x<\cfrac{11}{16}\)'dır.( bilinmeyenimiz olan \(x\)'i yalnız bırakmak için son olarak eşitsizliğin her iki tarafını \(16\)'ya böldük)

Yani çözüm kümemiz \(\cfrac{11}{16}\) sayısından küçük olan tüm reel sayılarını kapsamaktadır. İfade de küçüktür işareti kullanıldığı için \(\cfrac{11}{16}\) sayısı çözüm kümesine dahil edilmez. O halde çözüm kümemiz 

Ç=\((-\infty,\cfrac{11}{16})\)'dır. Bu çözüm kümesi ise sayı doğrusunda şu şekilde görünür:    

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler

m,n,k reel sayılar kümesinden olup m ve n sayıları '0' dan farklı (m,n,k\(\in\)R ve m,n\(\neq\)0) olmak koşulu ile \(mx+ny+k<0 , mx+ny+k>0 , mx+ny+k\geq0 , mx+ny+k\leq0\) şeklindeki ifadelere Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsilikler denir. Bu eşitsizliği sağlayan \((x,y)\) sıralı ikililerinin tümü ile oluşturulmuş kümeye Eşitsizliğin Çözüm Kümesi denir. Çözüm kümesi analitik düzlemde bir doğrunun altında veya üzerinde kalan bölgeyi gösterir.( Eğer eşitsizliklerde "\(\leq,\geq\)" işaretleri kullanıyorsa çizilen doğru çözüm kümesine dahil edilir fakat "<,>" işaretleri kullanılmış ise dahil edilmez.) 

NOT:  Yukarıda birinci dereceden iki bilinmeyenli bir eşitsizliği analitik düzlemde çözüm kümesini gösterirken bir doğru oluşturulduğunu söylemiştik. Bu doğru denkleminde y eşitsizliğin bir tarafında yalnız bırakılırsa \(y=-\cfrac{m}{n}x-k\) elde edilir. Bu ifadedeki x'in katsayısı olan \(-\cfrac{m}{n}\) ifadesi çizilen doğrunun eğimini vermektedir.

ÖRNEK

\(3x-2y-6<0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

Yapacağımız ilk şey \(3x-2y-6=0\) doğrusunu çizmek olacaktır. Doğruyu çizerken ilk önce \(x=0\) için y değerini ve \(y=0\)için x değerine bakmak olacak. 

\(x=0\) ise \(-2y=6\) olur ve buradan \(y=-3\) olur ve çizeceğimiz doğrunun geçtiği noktalardan biri \((0,-3)\) noktasıdır.

\(y=0\) ise \(3x=6\) olur ve buradan \(x=2\) olur ve çizeceğimiz doğrunun geçtiği noktalardan biri \((2,0)\) noktası olur.

O halde geçtiği iki nokta bilinen doğru çizilir. Daha sonra analitik düzlemde doğru üzerinde olmayan bir nokta belirleriz ki işlem kolaylığı sağlaması açısından \((0,0)\) noktasını seçelim ve eşitsizlikte noktanın kordinatlarını yerlerine yazdığımızda  \(3.0-2.0-6=0-0-6=-6<0\) elde edilir ve nokta denklemi sağladığı için doğrunun böldüğü alanlardan \((0,0)\) noktasının olduğu alanı taramamız gerekir. En sonunda eşitsizlikte "<" işareti kullanıldığından \(3x-2y-6=0\) doğrusu çözüme dahil edilmez ve kesikli öizgi ile çizilir. Bunları uyguladığımızda grafik şu şekilde çizilir:

Birinci Dereceden Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler

TANIM: Gerçek sayılar kümesinde bulunan herhangi bir sayının başlangıç noktasına (yani"0" noktası) olan uzaklığını ifade eden değere o sayının  mutlak değeri denir. Herhangi bir x sayısının mutlak değeri \(|x|\) şeklinde gösterilir.

NOT: Eğer \(x<0\) ise \(|x|=-x\) , \(x=0\) ise \(|x|=0\) ve \(x>0\) ise \(|x|=x\)'tir.

ÖRNEK

\(11>x>6\) olmak üzere \(|x-13|+|x-4|\) ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM

x sayısı 11 ile 6 arasında olduğundan dolayı \(|x-13|\) sayısı negatif bir sayı olacaktır. Bundan dolayı \(|x-13|=13-x\)'tir. \(|x-4|\)'e baktığımızda da x 6 ile 11 arasında olduğundan \(|x-4|=x-4\)'tür. Şimdi bize verilen ifadeyi düzenleyecek olursak \((13-x)+(x-4)=13-x+x-4=9\) bulunur.

Mutlak Değerli Denklemler

TANIM: Eğer bir denklemde mutlak değerli ifade yada ifadeler varsa ve bu ifadeler belirli işlemler uygulanarak "0" a eşitlebilen ifadelere Mutlak Değerli Denklemler denir.

NOT: Mutlak Değerli Denklemleri çözerken normal bir denklem çözer gibi çözülemez mutlak değerin özellikleri dikkate alınarak işlemler yapılmalıdır. 

ÖRNEK

\(|3x-6|-9=0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM

\(|3x-6|=9\)  (denklemin solunda bulunan \(-9\) sayısını denklemin sağına \(+9\) olarak aldık.(yani denklemin her iki tarafına \(9 \) eklemiş olduk))

\(3x-6=9\)  ,\(-(3x-6)=9\) (denklemlerini mutlak değerin özelliğinden elde ederiz.)

\(3x-6=9\) ise \(x=5\)  , \(-(3x-6)=6-3x=9\) ise \(x=1\) bulunur. O halde denklemin çözüm kümesi Ç={-1,5} olarak bulunur.

NOT:  \(|x|=k\) ve \(k<0\)  ise sistemin çözüm kümesi boş kümedir çünkü mutlak değerin anlamı bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve uzaklık negatif değerler alamayacağından dolayı böyle ifadelerin çözüm kümesi boş kümedir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Mutlak değerli denklemlerde bulunan "\(=\)" işareti yerine "\(<,>,\leq,\geq\)" işaretlerinden birisi kullanıldığında oluşan ifadelere Mutlak Değerli Eşitsizlik ifade eder.

NOT: \(k>0\) olduğunda \(|x|\leq k\)'nın çözüm kümesi \(-k\leq x\leq k\)  yani \((-k,k)\) ve \(|x|\geq k\)'nın çözüm kümesi ise \(x\geq k\) ve \(x\leq -k\) yani  \((-\infty,-k)\cup(k,\infty)\) olur.

ÖRNEK

\(|\cfrac{3x}{2}-5|\geq7\) eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM

Çözüm kümesi mutlak değerli eşitsizlik özelliğinden \(\cfrac{3x}{2}-5\geq7\) ve \(\cfrac{3x}{2}-5\leq-7\) yazılır. Çözüm kümesinin bir kısmı \(\cfrac{3x}{2}-5\geq7\) → \(\cfrac{3x}{2}\geq12\)\(3x\geq24\) → \(x\geq8\)'dir. Yani eşitsizliğin bu kısmının çözüm kümesi \([8,\infty)\)'dir. Diğer kısma bakacak olursak \(\cfrac{3x}{2}-5\leq-7\)\(\cfrac{3x}{2}\leq-2\)\(3x\leq-4\)\(x\leq-\cfrac{4}{3}\)'tür. Yani eşitsizliğin bu kısmının çözüm kümesi \((-\infty,-\cfrac{4}{3}]\)'tür.

Buradan eşitsizliği sağlayan x'lerin toplamına gelecek olursak \((-\infty+...+(-9)+(-8)+(-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2))\)+\((+8+9+...\infty)\) sayılarının toplamı olur. Buradaki işlemde görüleceği gibi \(8 \) sayısı ve \(8\)'den büyük tüm sayılar için toplama işlemine göre tersi (bir sayının toplama işlemine göre tersi tersi ile toplanmasıyla "\(0\)" elde edilir.) \(-\cfrac{4}{3}\) sayısından küçük sayılarda bulunmaktadır. Yani bizim aradığımız sayıların toplamı \((-7)+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)=-27\) olur.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

\(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in R\) ve \(a_1,a_2,b_1,b_2\neq0\) olmak üzere x ve y bilinmeyenleri ile oluşturulmuş \(a_1x+b_1y+c_1=0\)\(a_2x+b_2y+c_2=0\) denklemleri ile oluşturulan 

şekildeki sistemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemler denir.

NOT: Bildiğimiz gibi birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem analitik düzlemde bir doğru belirtmektedir. Eğer iki denklemli, birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklem sistemi ile uğraşıyorsak o zaman analitik düzlemde iki doğru oluşturmamız gerekecektir ve bu doğruların birbirine göre durumları ise şöyledir:

\(a_1x+b_1y+c_1=0\) k doğrusu

\(a_2x+b_2y+c_2=0\) L doğrusu olsun

1) Yukarıda belirttiğimiz k ve L doğrularının birbirine paralel olması için gereken şart \(\cfrac{a_1}{a_2}=\cfrac{b_1}{b_2}\)'dir. Eğer bu eşitliğe \(c_1\)'in \(c_2\)'ye oranıda eklenirse yani \(\cfrac{a_1}{a_2}=\cfrac{b_1}{b_2}=\cfrac{c_1}{c_2}\) olursa k ve L doğruları çakışık doğrular olur. Paralellik durumunda çözüm kümesi boş küme iken bu doğruların çakışık oldukları durumda ise doğruların geçtikleri tüm noktalar çözüm kümesine dahil olan noktalardır ve bu noktaların sayısı sonsuzdur.

2) Bu iki doğrunun bir noktada kesişmesi için gereken durum \(a_1\)'in \(a_2\)'ye oranının \(b_1\)'in \(b_2\)'ye oranına eşit olmaması yani \(\cfrac{a_1}{a_2}\neq\cfrac{b_1}{b_2}\) olmasıdır.

ÖRNEK

denklem sisteminde bulunan doğruların önce birbirine göre durumlarına bakın sonrada çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM

\(\cfrac{3}{5}\neq\cfrac{-4}{4}\) olduğundan dolayı bu iki doğru bir noktada kesişmektedir( açıklaması bir önceki not kısmında yapıldı).Denklemlerdeki sabit sayıları eşitliğin sağına atarsak şeklini alır. Sonra taraf tarafa toplayarak y'leri yokederiz ve \(8x=16\) ve \(x=2\) buluruz. Sonra herhangi bir denklemde x'i yerine yazarak y değerini buluruz.\(3.2-4.y=10\)\(6-4y=10\)\(4y=-4\)\(y=-1\) bulunur. Yani bu iki doğrunun kesiştiği noktanın apsisi \(2\) iken ordinatı \(-1\)'dir. O halde çözüm kümemiz olan nokta \((2,-1)\) noktasıdır.

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

TANIM: İki veya daha fazla birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik içeren sistemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemleri denir. Bu sistemlerin çözüm kümesi ise sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimleridir ve bu çözüm kümesi analitik düzlemde doğrularla sınırlandırılmış bir alana denk gelecektir.

ÖRNEK

eşitsizliksisteminin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

Yapmamız gereken ilk şey çözüm kümemizi belirleyecek doğruları bulmak olacaktır.

\(x-2y=4\) doğrusu için \(x=0\) iken \(y=-2\)'dir ve \(y=0\) iken \(x=4\)'tür. Yani \(x-2y=4\) doğrusu \((0,-2)\) ve \((4,0)\) noktalarından geçmektedir. Aynı şeyleri \(2x+3y=6\) doğrusu için de yapalım. \(x=0\) iken \(y=2\) ve \(y=0\) iken \(x=3\)'tür.Yani \(2x+3y=6\) doğrusu \((0,2)\) ve \((3,0)\) noktalarından geçmektedir. Bu iki doğrunun kesiştiği nokta ise vu sınır doğruları ile oluşturulmuş denklem sisteminin çözümüdür yani denklem sisteminin çözümüdür. Bu denklem sistemini çözmek için ilk eşitliği \(3\) ikinci eşitliği ise \(2\) ile çarpıp taraf tarafa toplamalıyız.İlk eşitliği \(3\) ikinci eşitliği \(2\) ile çarptığımızda denklem sistemi elde edilir. Eşitliklerin sağ tarafları ile sol tarafları kendi aralarında toplanırsa \(7x=24\) ve \(x=\cfrac{24}{7}\) elde edilir. Bu elde ettiğimiz \(\cfrac{24}{7}\) sayısını denklemlerin birinde yerine yazdığımızda \(\cfrac{24}{7}-2y=4\) ve \(y=-\cfrac{2}{7}\) elde edilir. Yani sınırlar ile oluşturulmuş denklem sistemini oluşturan doğruların kesim noktası \((\cfrac{24}{7},\cfrac{-2}{7})\) noktasıdır. Daha sonra düzlemde bir nokta belirleriz ve bu nokta eğer eşitsizlik sistemini sağlar ise o noktanın olduğu bölüm taranır.  Yukarıda yaptıklarımıza dayanarak çözüm kümemizin analitik düzlemdeki gösterimi şöyledir:

Burada taralı bölgeyi bulmak için \((0,0)\) noktasını şu şekilde kullandık:

\((0,0)\) noktasını ilk eşitsizlikte yerine yazdığımızda \(0-2.0=0<4\) olduğundan birinci eşitsizlikte bu noktanın olduğu nokta taranır.

Sonra \((0,0)\) noktasının ikinci eşitsizlikte yerine yazıp \(2.0+3.0=0>6\) gibi bir yanlış sonuç buluruz. Bundan dolayı ikinci doğrunun \((0,0)\) noktasını kapsamayan bölge taranır. 

En sonunda bu iki bölgenin kesişimi olan bölge taranır ve böylece üstteki şekil elde edilmiş olur.

Malik ORUÇ

Sosyal Medyada Paylaş

47 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 27.05.2020 13:47
Son Güncelleme: 12.11.2020 09:40

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!