Şifre Sıfırlama

Belirsiz İntegral

Diferansiyel Kavramı

   x değişkeninde meydana gelebilecek sıfıra yakın değişime (sonsuz küçük değişime) dx denir. dx, x'in diferansiyelidir. 

   x deki bu değişime karşılık \(f(x)=y\) fonksiyonundaki değişime ise dy denir. dy, \(f(x)=y\) fonksiyonunun diferansiyeli olarak adlandırılır.

Şimdi türev konusuna tekrardan göz atalım ve integral ile arasındaki bağlantıları araştıralım.

\(y=f(x)\) in x değişkenine bağlı türevinin 

 \(f'(x)={dy \over dx}={df(x) \over dx}\) olduğunu biliyoruz. O halde bu eşitliği şu şekilde yazabiliriz.

\(f'(x)={df(x) \over dx}\) ise \(dx . f'(x)=df(x) \) olduğunu açık bir şekilde görüyoruz.

 

ÖRNEK:
\(f(x)=x^2+2x+5\) fonksiyonunun diferansiyelini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(df(x) =f'(x).dx \) olduğundan \(df(x) =(2x+2)dx\) olur.

 

Belirsiz İntegral

TANIM:  Türevlenebilir \(y=F(x)\) fonksiyonu için \(F'(x)=f(x)\) olsun;

\(c \in R \) olmak üzere \(y=F(x)+c\) fonksiyonunun türevininde \((F(x)+c)'=f(x)\) olduğunu, sabit sayıların türevinin 0 olması dolaysıyla, biliyoruz.

\(y=F(x)\) fonksiyonunu \(f(x)\) fonksiyonuna çevirmek için \(F(x)\) in türevini aldık. Şimdide \(f(x)\) fonksiyonunu \(F(x)\) fonksiyonuna nasıl çevirceğimizi inceleyelim.

x e göre türevi \(f(x)\) olan fonksiyonlar (\(F(x)\) gibi)  \(\int f(x)dx\) şeklinde gösterilir.

\(f(x)=F'(x) \to\int f(x) dx= F(x)+c\)

Yukarıdaki eşitlikte;

  • f(x), integrali alınan fonksiyon
  • F(x), f(x) fonksiyonunun ilkeli, ters türevi veya belirsiz integrali denir.
  • c integral sabiti
  • F(x)+c yi bulduğumuz işleme ise belirsiz integral alma işlemi denir.
\(\int f(x)dx\) ifadesindeki dx diferansiyeli, integralin hangi değişkene göre alınacağını gösterir.

Sonuç olarak şunu anlıyoruz;

\(\int f(x)dx=F(x)+c \to {d \over dx}\int f(x)dx={d \over dx}(F(x)+c)\)

                                 \(\to {d \over dx}\int f(x)dx=f(x)\)

   f(x) fonksiyonunun önce integralini sonra türvini aldığımızda yine f(x) fonksiyonunu elde ediyoruz. Tam tersi durumda ise yani önce türevini sonra integralini alırsak f(x)+c fonksiyonunu elde ederiz.

ÖRNEK:
\(\int (f(x)+2x^2+3x)dx=x.f(x)\) olduğuna göre f fonksiyonunun türevini bulunuz.

ÇÖZÜM:
her iki tarafında türevini alalım,

\((\int (f(x)+2x^2+3x)dx)'=(x.f(x))'\)

\( f(x)+2x^2+3x=f(x)+x.f'(x)\)

\(2x^2+3x=x.f'(x)\)

\(2x+3=f'(x)\) olur.

  

   Özellikler;

  • \({d\over dx}(\int f(x)dx)=f(x)\)
  • \(d(\int f(x)dx)=f(x)dx\)
  • \(\int d(f(x))=\int f'(x)dx=f(x)+c\)

ÖRNEK:
\({d\over dx}(\int xdx+ \int x^2dx)\) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:
\({d\over dx}(\int xdx+ \int x^2dx)={d\over dx}\int (x+x^2)dx=x+x^2\)

 

  •  \(\int k.f(x)dx=k. \int f(x)dx\) , \(k \in R\)
  • \(\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)

ÖRNEK:
\({d}(\int 2f(x)dx+ \int 3f(x)dx)\) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:
    \( {d}(\int 2f(x)dx+ \int 3f(x)dx)\)

\(= {d}(2\int f(x)dx+ 3\int f(x)dx)\)

\(= {d}(5\int f(x)dx)\)

\(=5 .f(x)dx\)

 

  •  \(\int dx=x+c\)
  • \(\int kdx=kx+c\) , \(k \in R\)
  • \(\int x^ndx={x^{n+1} \over n+1}+c\) , \(n ≠-1\)
  • \(\int x ^{-1}dx=\int{1 \over x}dx=ln|x|+c\)

ÖRNEK:
\(\int {1 \over x}dx+\int x^3dx-\int3dx\)  işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

   \(ln|x|+c_1 + {x^4 \over 4}+ c_2 - (3x + c_3)\)

\(=ln|x| + {x^4 \over 4} - 3x+c\)

 

  • a pozitif reel sayı olmak üzere 
  • \( \int a^xdx={a^x \over lna}+ c \\ \int a^{mx+n}dx={a^{mx+n} \over m lna}+ c \)
  •  
  • e doğal logaritma tabanı olmak üzere
  • \( \int e^xdx={e^x \over lne}+ c = e^x+c \\ \int e^{mx+n}dx={e^{mx+n} \over m lne}+ c = {e^{mx+n} \over m }+c \)

ÖRNEK:

\(\int (3^x+ e ^x)dx\) işleminin sonucunu bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\int (3^x+ e ^x)dx= \int3^xdx+\int e^xdx\)

                      \(={3^x \over ln3} + e^x+c\)

NOT: İntegral alma işlemi farklı değişkenlere göre de uygulanabilir. \(\int( v^2+v)dv\) işleminde x e göre değil v ye göre integral alınır.

 

Değişken Değiştirme Yöntemi

Diferansiyel Kavramı

TANIM: Türevlenebilir bir \(f(x)\) fonksiyonunun türevi \({d \over dx }f(x)=f'(x)\) olmak üzere \(d\big(f(x)\big)\) ifadesine \(f(x)\)  fonksiyonunun diferansiyeli denir. 

ÖRNEK:

\(y= u^3-1\) olduğuna göre \(dy\) nin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(dy= (u^3-1)'du =(3u^2)du\)

 

Değişken Değiştirme Yöntemi

TANIM: İntegral alma alma kuralları ile alınamayan ya da alınması zor olan integraller değişken değiştirme yöntemi kullanılarak daha basit hale getirilir ve kolayca integrallenir.

\(n \in Q-\{{-1, 0}\}\)  olmak üzere

\(\int f(x)^n.f'(x)dx\)  şeklindeki integrallere sırası ile aşağıdaki adımlar uygulanır.

\(f(x)=u\)  dönüşümü yapılır ve her iki tarafın türevi alınır.

\(f'(x)=du\)  olduğunu bulduk. bulunan değerleri yerine koyalım 

\(\int f(x)^n.f'(x)dx=\int u^ndu\)  olur. Şimdi integralini alalım 

\(\int u^ndu={u^{n+1} \over n+1}+c\)     u yerine eşiti olan \(f(x)\) yazalım

\({u^{n+1} \over n+1}+c={f(x)^{n+1} \over n+1}+c\)

 

ÖRNEK:

\(\int (2x+4)^3dx\) ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(2x+4=u \implies 2dx=du \\ \)

                      \(\implies dx={1 \over 2} du\)

\(\int (2x+4)^3dx = \int u^3dx\)

                      \(={u^4 \over 4}+c\)

                      \(={(2x+4)^4 \over 4}+c\)

 

ÖRNEK:

\(\int {1 \over (3x+2)^2}dx\) ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:
\(3x+2=u \implies 3dx=du\)

                      \(\implies dx = {1 \over 3}du \)

\(\int {1 \over (3x+2)^2}dx= \int {1 \over u^2}.{1 \over 3}du\)

                       \(= {1 \over 3}\int u^{-2}du\)

                   \(= {1 \over 3}. {u^{-1} \over -1}+c\)

                   \(= {1 \over -3u}+c\)

                   \(= {1 \over -3(3x+2)}+c\)

 

ÖRNEK:

\(\int x.f'(x^2)dx\) ifadesinin eşitini bulunuz.

ÇÖZÜM:
\(x^2=u \implies 2xdx=du\)

            \(\implies xdx={1 \over 2}du\)

\(\int f'(x^2).xdx=\int f'(u).{1\over 2}du\)

                           \(={f(u) \over 2} +c \)

                      \(={f(x^2) \over 2} +c \)

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

126 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 04.08.2020 12:13
Son Güncelleme: 08.08.2020 20:45

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!