Şifre Sıfırlama

Belirli İntegral ve Uygulamaları

Riemann Toplamı

 

   Yukarıda iki farklı grafik ve bunların \(x=a\)\(x=b\) ve \(x\) ekseni arasındaki alanları verilmiştir. soldaki sarı alanı bulmayı hepimiz biliyoruz. Çünkü düzgün bir dikdörtgen şekli var ve formülü yazıp bulabiliriz. Ancak sağdaki sarı alanı bulmak için herhangi bir formül uygulayamıyoruz. Burada riemann kavramını bilmemiz gerekiyor.

   Rieman toplamı; herhangi bir formül ile bulamadığımız düzlemlerin alanlarını bulabilmek için düzlemin içine dikdörtgenler çizerek yaklaşık bir değer bulmaktır. Riemann toplamı ikiye ayrılır; 

  • Riemann alt toplamı
  • Riemann üst toplamı 

Riemann Alt Toplamı

 Yukarıda kesikli çizgiler ile verilen dikdörtgenlerin alanları toplamı, bize şeklin tamamının alanına yakın bir değer verir. 

\((x_1-x_0).f(x_0)+(x_2-x_1).f(x_1)+(x_3-x_2)f(x_2)\)

formülü ile alanı buluruz. Görüldüğü üzere formülümüz aslında 3 dikdörtgenin alanarı toplamından ibaret.

Burada \([a, b]\) 3 alt aralığa ayrılmıştır. Riemann alt toplamının değerinin eğrinin altında kalan bölgenin alanına yaklaşmasi için daha fazla alt aralığa ayrılmalıdır. Alt aralık sayısı arttıkça sonucun gerçeğe yakkınlığıda artar.

 

Riemann Üst Toplamı

 Yukarıda kesikli çizgiler ile verilen dikdörtgenlerin alanları toplamı, bize şeklin tamamının alanına yakın bir değer verir. 

\((x_1-x_0).f(x_1)+(x_2-x_1).f(x_2)+(x_3-x_2)f(x_3)\)

formülü ile alanı buluruz. Yukarıda olduğu gibi formülümüz yine 3 dikdörtgenin alanarı toplamından ibaret.

Burada \([a, b]\) 3 alt aralığa ayrılmıştır. Riemann üst toplamının değerinin eğrinin altında kalan bölgenin alanına yaklaşmasi için daha fazla alt aralığa ayrılmalıdır. Alt aralık sayısı arttıkça sonucun gerçeğe yakkınlığıda artar.

NOT: Alt aralık sayısı arttığında bulduğumuz alan, gerçek değere yaklaşır. Bunu şu şekilde de görebiliriz. Aralık değeri arttığında dikdörtgen sayısı artar ve (riemann alt toplamda) eğrinin altında kalan boşluk azalır, (riemann üst toplamda) eğrinin üstünde kalan boşluk azalır. 

 

ÖRNEK:


 Yukarıda \([2,6]\) ile tanımlı \(f(x)= (x-2)^2+1\) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu aralığı 4 eşit parçaya bölerek Riemann alt ve üst toplamlarını bulunuz. Ayrıca alt aralığın orta noktasına göre hesaplanan Riemann toplamını da bulunuz.

ÇÖZÜM:
İlk olarak Riemann alt toplamını bulalım.

Formülü yazalım;

\(A=(3-2).f(2)+(4-3).f(3)+(5-4).f(4)+(6-5).f(5)\)

\(f(x)= (x-2)^2+1\) olduğundan.

\(A=1+2+5+10\)

   \(=18\)

 

Şimdi Riemann üst toplamını bulalım.

Formülü yazalım;

\(A=(3-2).f(3)+(4-3).f(4)+(5-4).f(5)+(6-5).f(6)\)

\(f(x)= (x-2)^2+1\) olduğundan

\(A=2+5+10+17\)

   \(=34\)

Şimdi de alt aralığın orta noktasına göre hesaplanan Riemann toplamını bulalım.

 Formülü yazalım;

\(A=(3-2).f({5 \over 2})+(4-3).f({7 \over 2})+(5-4).f({9 \over 2})+(6-5).f({11 \over 2})\)

\(f(x)= (x-2)^2+1\) olduğundan

\(A=({1 \over 2})^2+1+({3 \over 2})^2+1+({5 \over 2})^2+1+({7 \over 2})^2+1\)

   \(={1 \over 4}+{9 \over 4}+{25 \over 4}+{49 \over 4}+4\)

   \(= {84 \over 4}+4\)

   \(= 21+4\)

   \(=25\) bulunur.

 

 

\(\bigtriangleup x={x_n-x_0 \over n}\) olsun (Bu bize aralıkların genişliğini verir. Örn; \(x_1-x_0\) değeri.)

\(y=f(x)\) eğrisinin altında kalan yaklaşık alan \(A\) olsun.

\(A= \bigtriangleup x .f(c_1)+ \bigtriangleup x.f(c_2)+\bigtriangleup x f(c_3)+...+\bigtriangleup x f(c_n)\)

   \(=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \bigtriangleup x.f(c_i)\)

olarak ifade edilir. 

Yukarıda ifade ettiğimiz gibi fonksiyonun altında kalan aralık daha fazla alt aralığa bölünürse daha yakın değerler verir. Bu durumda Riemann toplamı, n değeri sonsuza yaklaşırsa, \(y=f(x)\) fonksiyonu ile x ekseni arasında kalan alanı vermiş olur. 

O halde bunu limit ile ifade edelim.

\(\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \bigtriangleup x.f(c_i) \)

Burada \(f(x)\) değeri pozitifdir. Negatif olduğunda limit değeride negatif olacaktır.

Son olarak şunu ifade edelim \(\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \bigtriangleup x.f(c_i) \) değeri \([x_0, x_n]\) aralığındaki belirli integral değerine eşittir.

\(\lim\limits_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \bigtriangleup x.f(c_i) = \int_{x_0}^{x_n} f(x){d}x\)

 

Belirli İntegral İle Belirsiz İntegral Arasındaki İlişki

   Yukarıdaki grafiteki Taralı alanı hesaplamak için Riemann toplamları yöntemini kullandığımızı öğrendik. Bu alanı bulmanın başka yollarıda vardır. Şimdi integral ile bulmayı öğreneceğiz.

   Belirsiz integrali daha önce öğrenmiştik. Belirli integral konusunda genel olarak belirsiz integral kurallarını kullanacağız.

  \(\int f(x) dx = F(x)+c \) olsun

\(\int_a^bf(x)dx=(F(x)+c)|_a^b\)

                \(=F(b)+c-(F(a)+c)\)

                \(=F(b)-F(a)\)

Bulunur ve bu A alanına eşit olur.

NOT: c sabitleri sadeleştiğinden belirli integral sorularında c sabiti bulunmaz.

 

ÖRNEK:

\(\int _1^3 (2x^2+3)dx\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\int ^3_1 (2x^2+3)dx=(({2x^3 \over 3})+3x)|^3_1\)

                        \(=({2.3^3 \over 3}+3.3)-({2.1^3 \over 3}+3.1)\)

                        \(=18+9-{2 \over 3}-3\)

                        \(={94 \over 3}\)

 

Belirli İntegralin Özellikleri

  • \(\int_a^af(x)dx=0\)

 \(\int_a^af(x)dx=F(x)|^a_a=F(a)-F(a)=0\)

  • \(\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx​​\)

 \(\int_b^af(x)dx=F(x)|^a_b=F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))= -\int_a^bf(x)dx​​\)

  • \(\int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx\)

 \(\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(b)-F(c)+F(c)-F(a)=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx\)

  • \(\int_a^bk.f(x)dx=k.\int_a^bf(x)dx\)

\(\int_a^bk.f(x)dx=(k.F(x))|^b_a=k.F(b)-k.F(a) =k.(F(b)-F(a)) =k.\int_a^bf(x)dx\)

  • \(\int ^b_a[f(x)+g(x)]dx=\int ^b_af(x)dx+\int ^b_ag(x)dx\)

\(\int ^b_a[f(x)+g(x)]dx=\big(F(x)+G(x) \big)|^b_a=F(b)+G(b)- \big (F(a)+ G(a) \big)\)

                             \(=F(b)-F(a)+G(b)-G(a) =\int ^b_af(x)dx+\int ^b_ag(x)dx\)

  • \(\int ^b_a[f(x)-g(x)]dx=\int ^b_af(x)dx-\int ^b_ag(x)dx\)

 \(\int ^b_a[f(x)-g(x)]dx=\big(F(x)-G(x) \big)|^b_a=F(b)-G(b)- \big (F(a)-G(a) \big)\)

                              \(=F(b)-F(a)-G(b)-G(a) =\int ^b_af(x)dx-\int ^b_ag(x)dx\)

 

ÖRNEK:

\(\int^3_1(x+6)dx+\int^5_3(x+6)dx+\int^7_5(x+6)dx\) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:
\(\int^3_1(x+6)dx+\int^5_3(x+6)dx+\int^7_5(x+6)dx=\int^7_1(x+6)dx\)

                                                                     \(=(x^2+6x)|_1^7\)

                                                                     \(=91-7\)

                                                                     \(=84\)

ÖRNEK:

\(\int^2_1f(x)dx=1 \) olduğuna göre \(\int^1_22f(x)dx\) değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\int^1_2f(x)dx=-1 \)

\(2\int^1_2f(x)dx=-2 \)

\(\int^1_22f(x)dx=-2 \)

 

Parçalı Fonksiyonların Belirli İntegrali

\(g(x)\) ve \(h(x)\) integrallenebilir iki fonksiyon ve \(a \leq c\leq b\) olmak üzere

\(f(x) = \begin{cases} g(x) & x

 

Biçiminde tanımlı \(f(x)\) fonksiyonunun \([a,b]\) aralığındaki integralini bulmak için, integral fonksiyonunun değiştiği c noktasına göre

\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cg(x)dx+\int_c^bh(x)dx\)

biçiminde yazılır.

ÖRNEK:
\(f(x) = \begin{cases} 3x^2-1 & x<2\quad \text{ise }\\ 2x+1 & x \geq 2 \quad \text{ise } \end{cases} \) buna göre \(\int^4_1f(x)dx \) ifadesinin değerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

\(\int^4_1f(x)dx =\int^2_1f(x)dx+\int^4_2f(x)dx\)

                \(=\int^2_1(3x^2-1)dx+\int^4_2(2x+1)dx\)

                \(=(x^3-x)|^2_1+ (x^2+x)|_2^4\)

                \(=\big((8-2)-(1-1) \big)+\big((16+4)-(4+2)\big)\)

                \(=20\)

 

Belirli İntegral İle Alan Hesabı

 \(f:[a,b] \to R, y=f(x)\) fonksiyonu integrallenebilen bir fonksiyonudur. \(y=f(x)\) fonksiyonunun
grafiği,  \(x=a\)\(x=b\) doğruları ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı 

\(A= \int^b_a|f(x)|dx\) 

Şeklinde olur.

İntegralde alan hesabını genel olarak üç farklı şekilde inceleyebiliriz.

 

   1)

\(y=f(x)\) fonksiyonu \([a,b]\) aralığında pozitif değer alıyorsa yani \(y=f(x)\) grafiği,  \(x=a\)\(x=b\) doğruları ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı x ekseninin üzerinde kalıyorsa \(|f(x)|=f(x)\) olacağından bu bölgenin alanını 

\(A=\int^b_af(x)dx\) integrali ile buluruz.

 

2)

 \(y=f(x)\) fonksiyonu \([a,b]\) aralığında negatif değer alıyorsa yani \(y=f(x)\) grafiği,  \(x=a\)\(x=b\) doğruları ile x ekseni arasındaki bölgenin alanı x ekseninin altında kalıyorsa \(|f(x)|=-f(x)\) olacağından bu bölgenin alanını 

\(A=-\int^b_af(x)dx\) integrali ile buluruz.

 

3)

 \(y=f(x)\) fonksiyonu \([a,b]\) aralığında pozitif ve negatif değerlerin her ikisinide alıyorsa.

\(|f(x)| = \begin{cases} f(x) & a \leq x \leq c\quad \text{ise }\\ -f(x) & c < x \leq b \quad \text{ise } \end{cases} \)

olduğundan dolayı;

\(A=A_1+A_2=\int_a^cf(x)dx-\int_c^bf(x)dx\)

şeklinde hesaplanır.

NOT: \(A=A_1+A_2=\int_a^cf(x)dx-\int_c^bf(x)dx\) ifadesinde \(-\int_c^bf(x)dx\) integralinin başında eksi olmasının sebebi fonksiyonun o aralığının x ekseninin altında kalması ve integralin negatif çıkmasıdır. Alan negatif olmayacağından ifadeyi " - " ile çarparız. 

ÖRNEK:

Yukarıda \(f(x)={{x^2-10x+21} \over3}\) fonksiyonunun grafiği verilmiştir buna göre \(A=A_1+A_2\) alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Öncelikle grafiğin x eksenini kestiği noktaları bulalım.

\({{x^2-10x+21} \over3}={{(x-3).(x-7)} \over3}\) olduğundan grafik x ekseninin \((3,0)\) ve \((7,0)\) noktalarından keser.

Şimdi sırasıyla \(A_1\) ve \(A_2\) alanlarını bulalım.

\(A_1= \int _0^3f(x)dx\)

      \(=\int _0^3{{x^2-10x+21} \over3}dx\)

      \(={1 \over3}\int _0^3({{x^2-10x+21} )}dx\)

      \(={1 \over3}.({x^3 \over3}-5x^2+21x)|^3_0\)

      \(={1 \over3}.\big(({3^3 \over3}-5.3^2+21.3)-( {0^3 \over3}-5. 0^2+21.0) \big)\)

      \(={1 \over3}.(9-45+63)\)

      \(=3-15+21\)

      \(=9 br^2\)

 

\(A_2= -\int _3^7f(x)dx\)

     \(=-\int _3^7{{x^2-10x+21} \over3}dx\)

      \(=-{1 \over3}\int _3^7({{x^2-10x+21} )}dx\)

      \(=-{1 \over3}.({x^3 \over3}-5x^2+21x)|^7_3\)

      \(=-{1 \over3}.\big(({7^3 \over3}-5.7^2+21.7)-( {3^3 \over3}-5. 3^2+21.3) \big)\)

      \(=-{1 \over3}.\big(({343 \over3}-245+147)-(9-45+63) \big)\)

        \(=-{1 \over3}.\big(({343 \over3}-{735 \over3}+{441 \over3})-{81\over3}\big)\)

        \(=-{1 \over3}.(-{32\over3})\)

        \(={32\over9}br^2\)

      

\(A=A_1+A_2\)

   \(= 9+ {32 \over 9}\)

    \(= {113 \over 9} br^2\)

 

İki Fonksiyonun Grafiği Arasında Kalan Sınırlı Bölgenin Alanı

\(A_1 :\) \(y=f(x)\) fonksiyonu grafiği, \(x=a,x=b\) doğruları ve \(y=g(x)\) fonksiyonunun grafiği arasında kalan bölgenin alanıdır.
 \(A_2 :\) \(y=g(x)\) fonksiyonu grafiği, \(x=a,x=b\) doğruları ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanıdır.

\(\int ^b_af(x)dx=A_1+A_2\)

\(\int ^b_ag(x)dx=A_2\)

\(A_1=\int ^b_af(x)dx-\int ^b_ag(x)dx=\int ^b_a\big(f(x)-g(x) \big)dx\)

 

ÖRNEK:

Yukarıda \(f(x)=x^2-3 x+1\) fonksiyonu ile \(g(x)=-x^2+3 x+1\) fonksiyonları verilmiştir. 
Buna göre \(f(x)\) ve \(g(x)\) eğrileri arasında kalan A sınırlı bölgesinin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:
Eğrilerin birbirini kestikleri noktaları örtak çözüm yöntemi ile belileyelim.

\(x^2-3 x+1\)
\(-x^2+3 x+1\)

\(x^2-3 x+1 = -x^2+3 x+1 \to 2x^2-6x=0\)

                                              \(\to 2x(x-3)=0\)

                                              \(\to x=0\) veya \(x=3\)

\([0,3]\) aralığında \(g(x)\) fonksiyonundan \(f(x) \) fonksiyonu çıkarılarak integral alınırsa 

\(A= \int ^3_0\big(g(x)-f(x) \big)dx\)

    \(=\int ^3_0\big (( -x^2+3 x+1 )-(x^2-3 x+1)\big)dx\)

    \(=\int ^3_0\big ( -2x^2+6 x \big)dx\)

    \(=(-{2x^3 \over 3}+3x^2)|^3_0\)

    \(=(-{2.3^3 \over 3}+3.3^2)-(-{2.0^3 \over 3}+3.0^2)\)

    \(=-18+27-0\)

    \(=9 br^2\)

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

20 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 11.08.2020 09:33
Son Güncelleme: 10.11.2020 13:33

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!