Şifre Sıfırlama

Basit Olayların Olasılıkları

Temel Kavramlar

Olasılık; bir olayla ilgili daha önceden gerçekleşen durumlara bakıp sonrası için tahmin yürütmektir. Olasılık hesabını öğrenmeden önce bazı kavramları inceleyelim.

Önceden sonucu bilinmeyen olayların gerçekleşme durumlarına ilişkin veri toplama sürecine deney adı verilir. madenî paranın yazı tura için havaya atılması veya bir zarın havaya atılması işlemlerinin her biri matematiksel deneylere birer örnektir.

Bir deney sonucunda karşılaşılabilecek olası tüm durumların her birine çıktı (örnek nokta) denir. Örneğin; parayı havaya attığımızda yazı gelme durumu çıktıdır.

Deney sonucunda elde edilen çıktıların kümesine ise örnek uzay (örneklem uzayı) adı verilir ve E ile gösterilir. Örneğin; parayı bir kez havaya attığımızda iki ihtimal vrdır ya yazı gelir ya da tura o halde  örnek uzayımız E={Tura, Yazı}'dan oluşur.

ÖRNEK:

Bir zarın havaya atılması durumundaki çıktıları ve örnek uzayı yazınız.

ÇÖZÜM:

Zar havaya atıldığında altı ihtimal vardır.

Çıktılar: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Örnek uzay: E= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 

 

Bir paranın n kez havaya atıldığında örnek uzayının eleman sayısı

TANIM: Örnek uzayın eleman sayısını bulmayı formülize edebiliriz. Örneğin; bir madeni parayı havaya attığımızda Örnek uzay L={T, Y} olur ve s(L)=2=\(2 ^ 1 \) , iki madeni parayı birlikte attığımızda örnek uzay L={(TT), (TY), (YT), (Y,Y)} olur v s(L)=4=\(2 ^ 2 \)'dir  o halde formülümüz \(2 ^ n \) olur ( \(2 ^ n \) formülündeki "2", madeni para atıldığında yazı ve tura gibi iki ihtimal olmasındandır, "n" ise kaç madeni parayı aynı anda attığımız veya bir madeni parayı peş peşe kaç kez attığımızdır.)

 

Bir zarın n kez havaya atıldığında örnek uzayının eleman sayısı 

TANIM:  bir zarı havaya attığımızda Örnek uzay L={1, 2, 3, 4, 5, 6} olur ve s(L)=6=\(6 ^ 1 \) , iki zarı birlikte attığımızda örnek uzayın eleman sayısı s(L)=36=\(6 ^ 2 \)'dir  o halde formülümüz \(6 ^ n \) olur ( \(6 ^ n \) formülündeki "6", zar atıldığında ön yüze altı sayıdan herhangi biri gelmesinden dolayıdır, "n" ise kaç zarı aynı anda attığımız veya bir zarı peş peşe kaç kez attığımızdır.)

ÖRNEK:

Bir zar peş peşe üç kez havaya atıldığında oluşan çıktıların sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM:

Çıktıların oluşturduğu kümeye örnek uzay denir. Bu kümenin eleman sayısını yukarıda ulaştğımız formül ile hesaplayabiliriz. Ancak belirttiğimiz gibi para için değil zar için bir formül bulmalıyız. 

Zar havaya atıldığında 6 yüzeyinden herhangi biri gelir. O halde formülümüz \(6 ^ n \) olur. Üç zar peş peşe atılacağından n=3 olur.

\(6 ^ n \)=\(6 ^ 3\)=216 olur

 

Örnek Uzayda Olay

TANIM: Herhangi bir örnek uzayın herbir alt kümesine olay  adı verilir. 

NOT: Bir olayın tümleyeni; olay kümesini örnek uzaydan çıkararak bulunur

ÖRNEK: 

Bir madeni paranın iki kez arka arkaya havaya atılması deneyinde en az bir kez yazı gelen durumlar kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

 L={(TT), (TY), (YT), (Y,Y)} olur. En az bir kez yazı gelen durumların kümesi O={(TY), (YT), (Y,Y)} olur ve bu bir olaydır.

Bu olayın tümleyeni  O'={(TT)} olur.

 

Kesin Olay

TANIM: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir. Kesin olayların olasılığı 1'dir. Örneğin bir zarı havaya attığımızda ön yüze gelen sayının 7'den küçük olması kesin olaydır ve olma olasılığı 1'dir.

 

İmkansız Olay

TANIM: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaydır. İmkansız olayın olma olasılığı 0'dır. Örneğin bir madeni parayı havaya attığımızda "4" gelme ihtimali 0'dır. Madeni para ya yazı gelir ya da tura.

 

Ayrık Olay

TANIM: A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyorsa ayrık olay gerçekleşebiliyorsa ayrık olamayan olaydır. Ayrık olaylarda A ve B kümesinin ortak elemanı yoktur.

 

ÖRNEK:

İki madeni para art arda havaya atılsın;

A kümesi en az bir yazı gelen durumlar,

B kümesi en az bir tura gelen durumlar olduğuna göre A ve B kümesinin ayrık olup olmadığını inceleyiniz.

ÇÖZÜM:
L={(TT), (TY), (YT), (Y,Y)}'dir

A={(TY), (YT), (Y,Y)} ve

B={(TT), (TY), (YT)} olur

A∩B={(TY), (YT)} ≠ ∅ olduğundan A ve B ayrık olmayan kümelerdir.

 

Olasılık Hesabı

TANIM: A ⊆ E ve B ⊆ E olsun. A olayının olasılığı P(A) ve B olayının olasılığı P(B) şeklinde gösterilir. 

   Özellikler;

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1  ( Bir olayın olma olasılığı "0" ile "1" arasındadır )
  • P(E) = 1 ve P(∅) = 0 ( Bir olaydaki tüm olasılıkların toplamı "1" dir )
  • P(A) + P(A') = 1 ( Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığı toplamı "1" dir )
  • A ⊆ B ise P(A) ≤ P(B) olur. 

ÖRNEK:

E örnek uzayında A ⊆ E olsun ve P(A) = \({5 \over 6}\) olduğuna göre P(A') kaç olur.

ÇÖZÜM:

P(A) + P(A') = 1 olduğuna göre

\({5 \over 6}\) + P(A') = 1 ise P(A') = 1 - \({5 \over 6}\) = \({1 \over 6}\) olur

 

Eş Olumlu Örnek Uzay

TANIM: E =  {\(e_1,e_2,...,e_n\)} olsun. Bu örnek uzayın her bir elemanının olasılıkları eşit ise yani P(\(e_1\))= P(\(e_2\))=...= P(\(e_n\)) olur. Bu duruma eş olumlu örnek uzayı denir.Eğer bu örnek uzayın bir elemanının olasılığı diğerlerinden farklı ise bu eş olumlu olmayan örnek uzaydır.

NOT:  \(P(A)= {İstenen Durum Sayısı \over Tüm Durum Sayısı}= {s(A) \over s(E)}\)  formülü olasılık hesabının temelini oluşturur.

 

ÖRNEK:

Bir torbada  4 sarı, 2 kırmızı, 3 yeşil bilye vardır. torbadan rasgele seçilen bir bilyenin kırmızı olma ihtimali nedir?

ÇÖZÜM:

Örnek uzayımız, 4+3+2=9 olur

Yani; Tüm durum=9

İstenen Durum= 2 olduğundan 

\(P(A)= {İstenen Durum Sayısı \over Tüm Durum Sayısı}= {2 \over 9}\) olur.

 

 

 

Şerif PAÇACI

Sosyal Medyada Paylaş

32 Görüntülenme

Eklenme Tarihi: 11.06.2020 01:51
Son Güncelleme: 09.11.2020 09:18

0 Yorum

İPTAL
Bu işlemi gerçekleştirebilmek için giriş yapmanız gerekmektedir!